数学教学中先行组织者策略应用研究优秀毕业论文.pdf

南京师范大学 硕士学位论文 数学教学中先行组织者策略应用研究 姓名：罗永亮 申请学位级别：硕士 专业：数学教育 指导教师：涂荣豹 20070101 摘要 自美国心理学家奥苏贝尔提出先行组织者概念以来，关于先行组织者的理论和应用 研究受到大家广泛关注。经过长期研究，先行组织者的外延和内涵都得到了很大的发展； 研究的对象范围从儿童扩大到成人；应用范围也从原来的教学领域扩展到教材编写等领 域，尤其，在教学领域先行组织者作为一种教学策略被广泛应用。但前人的诸多研究主 要侧重于先行组织者对学生学习的有效促进方面，而如何根据学习内容和学习者的需要 来合理使用先行组织者的研究相对较少。本文针对这种研究现状，重点探讨了在数学教 学中先行组织者设计的基本原理以及在数学课堂教学中应用先行组织者策略一般方法 和要注意的问题，并通过调查问卷分析了数学教学中使用先行组织者策略组织教学的效 果。 先行组织者教学策略从改变学生的认知变量入手，在已有的旧知识和将要学习的新 知识之间架起桥梁，促进新知识的理解和旧知识的保持。但由于先行组织者种类繁多， 选用种类不同、方法不同对学生学习的促进作用也不尽相同。尤其当这一策略和具体学 科结合时还要考虑该学科的特点设计相应的先行组织者。本文通过行动研究将先行组织 者教学策略引入当前数学教学实践中，对数学教学中先行组织者设计的类型和特点进行 了分析，并总结出不同的学习内容应怎样设计先行组织者以及对不同知识基础的学生应 给予怎样的先行组织者，同时为数学教育教学实践提供了一定的案例。通过调查研究说 明将先行组织者教学策略应用于数学教学中，有助于教师设计教学内容、安排教学顺序， 以适合学生认知结构的特点；有助于知识的学习、保持、迁移和运用；作为一种有效促 进理解的教学策略，尤其有利于中差生学习，提高学生的理解能力和解决问题的能力， 从而大面积地提高教学质量。 关键词：先行组织者数学教学教学策略迁移设计应用 a b s t r a c t s i n c eu sp s y c h o l o g i s td a v i da u s u b e lp r o p o s et h ea d v a n c eo r g a n i z e rc o n c e p t h a s r e c e i v e de v e r y b o d ya b o u tt h ea d v a n c eo r g a n i z e r st h e o r ya n dt h ea p p l i e dr e s e a r c hw i d e l yt o p a ya t t l 剃o l ga t i e ra1 0 n ep e r i o do fr e s e a r c h , t h ea d v m l c eo r g a n i z e r se x t e n s i o na n dt h e c o n n o t a t i o na l io b t a i n e dt h ev e r yb i gd e v e l o p m e n t ；t h er e s e a r c ho b i e c ts c o p ee x p a n d sf i o m t h ec h i l dt ot h ea d u l t ；n e 印叫c a t i o ns c o p ea l s oc x = p a n d sf r o mt h eo r i g i n a lt e a c h i n gd o m a i n t od o m a i n s ds o0 1 1t e a c h i n gm a t e r i a lc o m p i l a t i o n , c s p e c i a l l y , i nt h et e a c h i n gd o m a i n a d v a n c eo r g a n i z e rt o o ko mk i n do ft e a c h i n gs l r a t c g yi sw i d e l ya p p l i e d b u tp r e d e c e s s o r s m a n yr e s e a r c hm a i n l ys t r e s so l lt h ea d v a n c e 讲窨m i z e rt h ee f f e c t i v ep r o m o t i o na 邓l c c lw h i c h s t u d i e s t o t h es t u d 倒t , b 讲h o w n e e d s t o c o l e a c o a r d i n g 幻t h es t u d yc o t h e r l t a n d t h e l e a m e r t o u s et h ea d v a n c e 删汜锄i z e ，sr e s e a r c hr e a s o n a b l yr e l a t i v ef e w t h i sa r t i c l ei nv i e wo f t h i sk i n d o f r e s e a r c hp r e s e n ts i t u a t i o n , h a sw i t he m p h a s i sd i s c u s s e dt h eb a s i cp r i n c i p l ea sw e l la sw h i c h t h ea d v a n c eo r g a l l i t hd e s i g n si nm a t h e m a t i c st e a c h i n ga p p l i e st h eq u e s t i o ni nm a t h e m a t i c s c l a s s r o o mi a 蚶u c t i n nw h i c ht h ea d v a n c eo r g a n i z e rs t r a t e g yg e n e r a lm e t h o da n di l e p x st op a y a l t e - n f i o n , 锄da n a l y z e di nm a t h e m a t i c st e a c h i n gt h r o u 曲t h eq u e s t i o n n a i r et 0u t h ea d v 越i c e o r g m r z e rs t r a t c g yt oo r g a n i z ct h et e a c h i n gt h ee f f e c t ma d v a n c eo r g a n i z e rt e a c h i n gs t r a f e g yf r o mc h a n g e ss t u d e n t sc o g n i t i o nv a r i a b l et o o b t a i n i nh a dt h eo l dk n o w l e d g ea n di sg o i n gt os t u d yb e t w e e nn e wk n o w l e d g eab r i d g e , p r o m o t e s t h e n e w k n o w l e d g e u n d e r s t a n d i n g 锄d t h e o l d k n o w l e d g e m a i n ：t e i , u m c c b u t b e c a l l s e a d v a n c eo r g a a i z c r - t y p em a n y , s e l e c t st h et y p et ob ed i f f c r e n t , t h em e t h o dd i f f e r e n t l yt h e p r o m o t e ra c t i o nw h i c hs t u d i e st ot h es t u d e l l ta l s on o tn e c e s s a r i l yt h e $ , a l i l e e s l x c i a l l yw h 即 t h i ss t r a t e g ya n dc o n c r e l t cd i s c i p 。l i n eu n i o na i s om u s tc o n s i d e rt h i sd i s c i p l i n ec h a r a c t e r i s t i c d e s i g ac o r r e s p o n d i n ga d v a n c eo r g a n i z e r t h i sa r t i c l et h r o u g ht h em o t i o nr e s c a r e ht h ea d v a n c e o l - g a n i z e rt e a c h i n gs t r a t e g yi n 虹o d u c t i o nc u r r e n tm a t h e m a t i c st c a c l 血gp r a c t i c eh 恤et y p e a n dt h ec b a “m 巾靠妣w h i c hi nt h el o g a r i t h ms t u d yt e a c h i n gt h ea d v a n c eo r g a n i z e rd e s i g n e d h a sc a r r i e do nt h ea n a l y s i s , a n dh o ws u l i i m a l j z e 姐t h ed i f f e r e n ts t u d yc o n t e n tt ob es u p p o s e dt o d e s i g nt h ea d v a n c eo r g a n i z e ra sw e l la ss h o u l dg i v ch o wa d v a n c eo 珏丑n i z e rt ot h ed i f f c r e n t k n o w l e d g ef o u n d a t i o ns t u d e n t , s i m u i t a n e e u s l yh a sp r o v i d e dt h ec e r t a i nc a s ef o rm a t h e m a t i c s e d u c a t i o nt e h i n gp r a c t i c e , a p p l i e st h r o u g ht h ei n v e s t i g a t i o na n ds t u d ye x p l a n a t i o nt h e a d v a n c eo r g a n i z e rt e a c h i n gm a t c g yi ni l l a f j l c o l , 缸i c st c 越1 1 i n 岛i sh e l p f u ld e s i g n st h ec o i h 氍 c o n t e n t , t h ea s m a g e m e n tt e a c h i n go r d e rt ot h et e s c h e ns u i t st h es t u d e n tc o g n i t i o ns t m c m r et h e e h a r a c t e d s t i c ；i sh e l p f u lt ot h ek n o w l e d g e 蚰】瓯t h em a i n t e n a n c e ，t h em i g r a t i o na n dt h e u t i l i z a t i o n ；a so n ek i n do fe f f e c t i v ep r o m o t i o nu n d e r s t a n d i n gt e a c l l i i i j gs t r a t e g y , i se s p e c i a l l y a d v a n t a g e o u si nt h ec e n t e rd i f f e r e n c cl i v e st h es t u d y s b a 舢ss t u d e n t su n d e r s t a n d i n ga b i l i t y a n ds o l v e st h eq u e s t i o na b i h 叱t h u st h eb i ga l x mi m p r o v e st h et e a c h i n gq u a l i t y k e yw o r d ：a d v a n c eo r g a n i z e r m a t h e m a t i c st e a c h i n g l e a c h i n g h i e g y t r a a s f e r d 日i 印a p p l e a t i m 学位论文独创性声明 本人郑重声明： l 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。1 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发 表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名： 日期： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位 论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权将学位论文用于 非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入 有关数据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出舨。保密的学位论文在解密 后适用本规定。 作者签名： 日期： 刖雷 美国著名心理学家奥苏贝尔( d a v i da u s u b e l ) 从有意义学习理论出发，把能够适 用于学生学习中的先前基础统称为先行组织者，并通过大量实验证明了先行组织者在 促进学生学习保持中的重要作用。 在教学中，先行组织者作为一个有效的教学策略被广泛采用。在学生学习过程中， 无论是简单的联结学习还是复杂的认知过程，先行组织者都发挥着重要作用。 本论文着重研究先行组织者教学策略在数学教学中应用的一般原理、方法和效 果。下面首先就论文研究的目的意义以及研究方法作简单阐述。 0 1 论文研究的目的意义 o 1 1 从学困生的转变中得到的启示 我曾参与一个学困生的数学学习辅导工作。一开始只是一味地给他讲解学习中的 疑难问题，自以为讲得很细很透，但该生由于基础较差，怎么讲他也不懂，而由于时 间问题又不能把以前学过的知识跟他再讲一遍。怎样改变这一状况呢? 。 一次偶然的机会，他要我给他讲一下“怎样画二次函数的图象? ”根据经验对于 刚学习二次函数的学生来说，画二次函数的图象是一个难点。一方面，对二次函数的 性质还不能深刻理解，部分学生对研究二次函数性质的方法还没能完全掌握，另一方 面，对二次函数图象的形状特征尚未形成明确的表象。鉴于此，我没有直接给他讲二 次函数图象的画法，而是根据他现有的知识结构，让他先完成下面的学习材料： 化简：( x - z ) 2 一l -，2 ( r 1 ) 2 + 3 = ， 配方：，- 4 r l =，2 f 一4 r l =，2 x 2 3 x + 2 = 二次函数州中，由于4 o ，所以) ，_ o ，即函数y 有最值为0 ，此时f 所以此二次函数有最低点，即为此函数顶点。若取y = l ，可得萨 ，得两 点坐标为，这两点关于一对称，若取) 叫呢? 用( 驴o ) 呢? 得到的两组 点均关于对称。即此函数图象上的点关于对称，你能画出它的大致图象 吗? 若尸叫，呢? 用同样的方法研究二次函数) 刭矿一l ，y = 4 ( x - 2 ) 2 y = 4 ( x - - 2 ) 2 - 2 的性质和图象。 由以上可知二次函数尸铽r 妒幢的图象( 抛物线) 是图形，对称轴是一，它 是过顶点且与平行的直线；顶点是，当a o 时，顶点是最点，开 口：当a 0 ， 又一4 c 2 o- a = 0 ， 7 方程有两等根，即a = b 。 如果直接给学生解【题目2 】，恐怕不少人难以下手，如果先让学生解【题目1 】， 再解【题目2 】情况就不一样了。因为【题目1 】是学生认知结构中已有的，而【题 目2 】与【题目l 】结构相似，解题原理相同，这样的组织者使学生很快形成有效的 学习迁移，提高了解决问题的能力。 1 4 第二章数学教学中先行组织者设计原理 在数学教学中，由于数学知识以系统性强为其特点，各部分数学知识形成一条逻 辑链，而教材组织的学习内容本身往往并不都有内在的组织者，编排顺序也不都是逐 渐分化的( 包摄性程度由高到低) 。因此，在数学教学中通过“先行组织者”的设计， 使学生将所学知识与已有知识建立实质性联系，促进学生有意义学习。这里的“先行 组织者”就相当于是逻辑链上两个环节之间的环扣，既有利于巩固旧知识，又促进了 新知识的学习和发展。在设计时，教师应分析学生已有认知结构并深刻剖析新旧知识 问的联系，而后对新旧知识进行加工、提炼或延伸，最后形成组织者。本章就数学教 学中先行组织者设计的类型、层次以及形式特征进行探究和分析。 2 1 数学教学中先行组织者设计的类型 按照奥苏伯尔的观点，组织者可分为两类：一类是“陈述性”组织者，用它的目 的，在于为新的学习提供最适当的类属者，它与新的学习产生一种上位关系；另一类 是“比较性”组织者，用于比较熟悉的学习材料中，目的在于比较新材料与认知结构 中相类似的材料，从而增强似是而非的新旧知识之间的可辨别性。 由以上研究可知，这里所说的先行组织者与奥苏伯尔的经典解释显然有所区别。 根据数学学习的特点，在设计“陈述性”组织者时，不是所有的新知识都能或都需要 一种上位关系的组织者来提供固着点。梅耶先生通过研究说明组织者在抽象和概括性 上既可以高于学习材料，也可以低于学习材料。国内也有专家指出，组织者的设计必 须根据材料的特点，不能完全拘泥于奥苏伯尔的经典定义。因此，数学教学中先行组 织者的设计要根据具体的数学学习材料来进行分类。 2 1 1 陈述性组织者的设计 在数学教学过程中，有的数学知识教材本身在编排时具有一定的逻辑关系，有的 知识，尤其是两个不同的知识模块之间没有明显的逻辑关系；有的学习内容与学生已 有知识之间是上位关系，有的学习内容与学生已有知识之间是下位关系；有的学习内 容学生用已有的思想方法能解决，有的学习内容学生用已有的思想方法不能解决。针 对以上情况，可设计不同类型的陈述性先行组织者。 1 结构型先行组织者 这种结构型先行组织者往往放在一节、一章甚至一册书的开头。由于某一数学知 识模块内部每个知识点之间具有一定的逻辑关系，而且是按照逻辑链的顺序呈现的。 因此在学习之前，通过设计这一模块知识的逻辑结构图作为先行组织者，使学生对这 一部分知识有一个整体的认识，了解学习这一部分内容所要达到的目标以及这些知识 在整个教材中的地位和作用( 即与前后知识的关系) ，从而为学习这一部分内容作好 知识准备和心理准备。这种。先见森林后见木”的认知策略无疑对学习者良好认知结 构的形成和发展起着积极的促进作用。 例如，在学习解析几何课程的具体内容之前，应当设计结构型的先行组织者，着 重介绍解析几何的简史，以及解析几何的基本思想内容体系和特点，并展示如下的 解析几何总体逻辑结构如下表所示： 基本问题 只曲线，求方程 再用方程研究曲一直线形一 直线 线的性质 与圆 特殊化 锥曲 线的 关系 一兰喜雾苎霎羔霎卜 一圆锥曲线一 再用曲线研究方广 i 程的性质l 圆，椭圆，双曲线。抛物线 解析几何总体逻辑结构圈 2 思想观念型先行组织者 数学思想、数学观念的培养和发展已经成为当今日益重要的教学目的。这是因为， 数学思想、数学观念是人们对数学研究对象统一的、本质的认识。但是数学思想、数 学观念不是客观知识的实体，这种一般的思想和观念往往没有用文字的形式给以系统 的描述，而更多地是凭籍教师的言语传授的形式，在教学过程中给以呈现。而这种 思想观念的呈现，往往能使学生很快把握数学知识的本质，有乖j 于学生对新知识的学 习和探究。 例如，数学归纳法的教学中，教师在讲解之前，先推出学生们熟悉的“多米诺” 骨牌游戏，让学生重温游戏的规则，找出骨牌能够一块接一块地倒下去的限制和条件， 并说出它能够一直倒下去的原理。由于“多米诺”骨牌游戏的实质和原理与数学归 纳法的实质和原理相似，它们可以产生类似的智力操作框架，学生们通过对“多米诺 翁凯庆试析数学课程中的先行组织者四川师范大学学报( 自然科学版) 1 9 9 4 年第3 期 1 6 骨牌游戏原理的理解，因而就能够较快地、较深刻地熟悉和理解数学归纳法的思想方 法。 这一类型的先行组织者在解题教学中也起到很关键的作用。例如，要求函数 y ：鱼二! 坚坚的值域。这是一个非常规的三角函数，如果不设计一定的组织者加以引 c o s j 导，以促进知识迁移来解决问题，学生是很难下手的。下面介绍两种解题思想： 一是用反函数求值域的思想，利用“口s i n x + b c o s x i f 石i r s i n ( 什9 ) ”模型，将含 有z 的三角函数表示成y 的代数式，在迸一步求出函数j ，的值域。根据这一思想教师 v 可设计如下三个问题作为组织者：求函数y = 三二的值域，求函数 x y = 2 s i n x + e o s x 一2 的值域，求函数y s i n x + 2 c d s x = 1 的值域。 另一种解题思想是数形结合的思想，将函数j ，看成是过点( - g o s x , s i l l 工) 与点( o ， 2 ) 的直线的斜率。教师可设计如下先行组织者：点( s i n x ，c o s 曲所在的曲线方程是 什么? 过点( s i n x ，? a 3 s 功与点( 3 ，2 ) 的直线的斜率怎样表示? 求过这两点的斜率 的范围。并指出这一过程用的是数形结合的思想。这样设计以后，学生很自然地将这 些解题思想迁移到要解决的问题中去，并得到解决这一类问题的方法。 3 概念类属型先行组织者 数学教材中出现最多的是概念类属型的先行组织者。数学以现实世界的空间形式 和数量关系为其研究对象，并以高度的抽象性和逻辑严谨性为其显著特征，因而数学 学科大都以演绎化、形式化展现其知识结构。这就决定了以概念类属型为特征的先行 组织者在数学学科中比比皆是。譬如，在中学几何教材中，位于概念体系顶端的是点、 线、面的概念：由它们出发，形成三角形、四边形等直线形的概念；由三角形出发， 又可以分化出锐角、直角、钝角三角形的概念；从四边形出发，又可以分化出梯形、 平行四边形等特殊四边形的概念，在涉及这类后继概念及其相关知识为课题的学 习中，前置概念的提出就自然地充当了组织者的角色。这时概念类履型组织者所起的 作用，主要是使得学习者在认知结构中再现对前置概念清晰、稳定的观念，以便使后 继概念在认知结构中找到适当的同化点。 当然，在概念学习中，仅以前置概念作为组织者是不够的，因为每一个数学概念 并不是只和其前置概念有关系，它存在于一定的概念域中。教师要根据概念获得的具 1 7 体方式设计相应的先行组织者。 数学概念的获得有两种方式：概念的同化与概念的形成。概念的同化是学生在新 概念学习中，以原有的数学认知结构为依据，将新概念进行加工，使新知识与原有的 数学认知结构中适当的观念相联系，通过新旧概念的相互作用，将新概念纳入原有的 数学认知结构之中。这里的组织者主要是帮助学生对上位概念本质属性的理解，从而 促进对下位概念的掌握。如上面提到的中学几何教材中用前置概念去同化学习后置概 念的过程，前置概念就是后置概念的上位组织者。 概念的形成是对若干下位概念进行反复感知、分析、比较和抽象，以归纳的方法 概括出它们的本质属性，从而获得上位概念的过程。因此设计的组织者要促进下位概 念向上位概念转化。例如，在函数奇偶性的学习中，可根据概念的形成设计下位组织 者：作出函数f ( x ) = x 2 , g ( x ) = 矿的图象；计算：厂( - 2 ) ，厂( 2 ) ，f ( - 1 ) ，f o ) ，f ( o ) 推 测，( 力与八一功的关系；计算：g ( - 2 ) ，g ( 2 ) ，g ( 一1 ) ，g ( 1 ) ，g ( o ) 推测g ( x ) 与g ( 叫) 的关 系；迸一步举例验证以上推测：如( d = 一一x 2 , g ( d = 算5 + x 3 。通过以上过程归纳 出函数奇偶性的定义，并在概念形成以后，用反例去强化，这样学生就能牢固地掌握 概念。 2 1 2 比较性组织者的设计 当要学习的新材料与学生已有知识体系中的某些习得内容处于并列关系且有若 干相同或相似点时，如果将这些习得的内容作为先行组织者加以呈现，并与要学习的 新材料加以比较或类比，则学习的方式不仅显得自然、和谐，并且往往这种学习还带 有一定的深刻性。这是因为，在比较、类比的学习过程中，学习者常常能探索性地提 出新概念，提出新问题，并在此基础上发现解决问题的合理途经，这对提高学生的创 造性思维能力将产生巨大的作用。 1 数学教学中的比较型组织者 比较型组织者常常出现在比较容易混淆的两个数学概念的教学中，通过呈现比较 型先行组织者，强化新旧概念之间的异同，从而加深对新知识的理解。比如，将一元 一次方程的解法与一元一次不等式的解法进行比较，用一元一次方程的解法和不等式 的性质作为学习一元一次不等式的解法先行组织者，学生很快掌握了解一元一次不等 式基本步骤以及与一元一次方程解法的区别。 1 8 2 数学教学中的类比型组织者 在中学数学教学中，类比型组织者的使用也比较多见，使用得好会产生良好的教 学效果。尤其平面几何中的一些概念或判断常常作为立体几何概念或判断的类比型先 行组织者。比如，“长方形”作为“长方体”的类比型组织者，长方形各边之间的关 系类似于长方体各棱之间的关系：。形”的一边与另一边平行且相等，与其余两边垂 直“体”的一棱与另三棱平行且相等，与其余各棱垂直；“形”的面积公式s = a b “体”的体积公式v = a b c ；“形”的对角线长度为口2 + 6 2 。体”的对角线长度为口2 + 6 2 + c 2 等等。 类比是提出新问题和获得新发现的一个重要源泉，它可以帮助学习者根据已有知 识进行合情推理，猜测出一些重要的数学结论。例如，根据三角形的面积公式可推测 扇形的面积公式，进一步类比可推测圆的面积等于以圆周长为底边，半径为高的三角 形的面积；再类比到空间，球的体积很可能就等于以球面( 面积) 为底面，球半径为 高的棱锥的体积。又如在学习空间四压体的时候可用平面三角形进行类比；由三角形 三个角的平分线交于一点可推测四面体六个二面角的平分面交于一点；由三角形中这 一交点为其内切圆圆心可推测四面体中此交点为内切球的球心。 以上分析了数学教学中先行组织者设计的几种不同类型。在具体应用对，耍根据 教学的具体内容和学生的认知特点来设计先行组织者，以获得真正的学习效果，而不 能盲目应用或流于形式。 2 2 数学教学中先行组织者呈现的形式 根据有意义学习理论，只要学习材料能与学习者的经验建立非人为的、实质性的 联系，就可以导致意义学习。先行组织者正是为新旧知识之间建立这种实质性联系而 设计的。因此，在设计时先行组织者的形式并不重要，关键是它必须容易理解并且与 后继学习内容发生持续的关系。根据数学教学的特点，先行组织者可以是一个故事、 一段数学史料、一个游戏、一次数学实验、一个实际问题或一种类比对象，也可以是 一个概念、一个公式、一道变式题目或一个动画等等。下面分别举例说明。 2 2 1 以故事为先行组织者 在数学课堂教学中，教师选取与所授内容相关的，或寓意深刻、或轻松幽默、或 1 9 鲜为人知、或扣人心弦的故事来引导学习材料，不但对下面的知识学习起着桥梁作用， 而且也是学生喜闻乐见的形式。 例如，在初学“反证法”时，学生难以理解，教师可以设计“路边苦李”的故事 作为先行组织者：古时候有个人名叫王戎，7 岁那年，他与一群小朋友在路边玩，看见 一棵李子树。树上李子很多，树枝都快被压断了。其他小朋友看觅了都跑过去摘，只 有王戎站着不动。有人问他为何不去摘，他说：“树长在路边，李子又那么多，肖定 是苦的。不然，李子早就没有了。”小朋友们摘来一尝，果然李子苦得不能吃。这个 故事非常浅显，其实，王戎运用的就是反证法。如果李子不是苦的。那么长在路边， 肯定早就被人摘完了。而事实上没有被人摘，前后矛盾，说明原来的假设是错误的， 由此得出李子是苦的。这里，将反证法的原理说清楚了，能帮助学生初步理解反证法 的道理。 其实，在数学教学中还有很多内容可以用故事来引导，比如在学习等比数列的求 和公式时，教师首先给出“国王奖赏国际象棋发明者的故事”，然后再引导学生推导 等比数列的求和公式。象这些既包含数学知识又具有趣味性的故事能吸引学生的注意 力，使他们在新课伊始便马上进入到教师所设定的故事情境中，从“要我学”的被动 的学习状态转变为“我要学”的主动的学习状态，充分调动了学习的积极性，并为进 一步学习新知识作好准备。 2 2 2 以数学史料为先行组织者 我们所用的数学教材隐去了数学发现的思维过程，它的内容的抽象性和逻辑性往 往掩盖了数学的本来面貌，这样就使部分学生片面地认为数学就是单纯的知识、技巧 的推砌，就是单纯的逻辑推导的一个天衣无缝的体系，学生很难将数学知识与自己的 经验联系起来，从而丧失学习数学的兴趣。为了弥补教材中的不足，在教学过程中， 可适当的介绍一些数学史和数学家的光辉事迹，尽量将数学的本质呈现出来，这样不 仅培养了学生的学习兴趣，而且使学生了解到知识发生、发展的过程，从而在已知和 未知之间搭起一座桥梁。 例如，初中学习的函数概念是建立在连续变量的基础上的，还停留在十八世纪人 们的认识程度上，这时可以向学生介绍十八世纪时数学家们对函数概念的大讨论，以 加深学生对函数概念的认识。 现在公认的函数概念是由德国数学家莱布尼茨给出的，这可能与他第一个引入 “函数”一词有关。1 6 7 3 年，他在一篇手稿里首先引入“函数”一词并用它来表示所 有与曲线上的点有关的量。也就是说，莱布尼茨把函数看作是随着曲线上点的变动而 变动的几何量。由此可见，函数概念引入初期，人们对它的认识还是相当肤浅的。为 了适应和推动数学的发展，人们对它进行了一次又一次的扩展，使函数概念逐渐地完 整起来。特别地，可以向学生介绍下面两个函数： _羔0 ，三三! 二+ ：，c z ，； ! ：二二二二：。o j x 0 ，o 0 ，则口+ o 2 4 - t y o ，这样，学生只要在口、o 中填入任意两个正数( 或字母、代数式等) ，都可以 得到一个新的不等式，即使程度最差的学生也能完成这一数学活动。在这一过程中， 学生们热悉了公式结构，能够初步应用公式，达到了教学目标。 数学教学中常常运用建立数学模型的方法解决一些实际问题。首先从实际问题中 抽象出数学模型，再利用已有的数学知识求出相应的数学结果，最后将所得结果返回 到原来的实际问题。 例如：把一直径为d = 4 0 0 的圆柱形木料加工成矩形截面的柱子，问怎样锯法可使 废弃的木料最少? 模型1 ：设圆内接矩形a b c d 的面积s ，一边a b 为x ，则另一边为) ，= d 2 一善2 ， 所以s = x 4 d 2 一x 2 。f - j 题转化为求：x 为何值时，函数s 有最大值? 2 模型2 ：如果设a c 与a b 的夹角为0 ，则a b = d c o s o ，b c = d s i n o ，从而s ：l s i n 2 0 。 2 此时，问题转化为求：0 为何值时，函数s 有最大值? 模型3 ：如果设圆内接矩形的两边分别为x 、y ，则由线性规划的知识，问题 转化为由约束条件：x y z = d 2 ( x 0 ，y 0 ) 求目标函数s = x y 的最大值。 教师可根据不同的模型设计相应的组织者，让学生自己去解决问题。学生往往根 据自己已有知识熟练程度的不同，看问题的角度不同，建立的模型也就不尽相同。 2 2 6 以实际问题为先行组织者 由于数学在生产和生活实际中有广泛的应用，很多数学概念、定理、公式和法则 都来自于实践，与日常生产和生活有密切的联系，因此可以选取一些生动形象的实际 例子作为所学数学知识的先行组织者，这样既可以激发学生学习兴趣和学习动机，又 符合学生从实践到理论、从感性到理性知识的认知规律。 例如，在讲解高中数学第二册( 下) 不等式证明例2 时，我这样设计一个应用题： 建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地 板面积的比应不小于1 0 0 , 6 ，并且这个比越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等 窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏了? 分析：设住宅的窗户面积和地板面积分别为a ，b ( 平方单位) ，增加的面积为m ， 则问题转化为在约束条件o a k + l i ( 1 ) 以绝对值的意义和分类思想作为组织者，得到的解法为分段讨论，即分 一 x s 一1 , - l x 5 , 5 3 的几何意义。说出p 一5 1 k + l l 的几何意义。通过以 上组织者，学生很直观地利用数轴求出不等式的解集：( 一c o ，2 ) 学生解决该问题的认知障碍主要是绝对值，即如何将绝对值不等式转化为一般不 等式求解。这三种组织者正是引导学生实现这样的转化。通过对这三种方案的实施， 不仅巩固了知识，而且锻炼了能力，发展了思维。 第三章先行组织者策略的实践与探索 在本课题的研究过程中，我利用在一线教学的有利条件，结合农村中学学生的特 点，在数学课堂教学中认真实施了先行组织者策略。在应用过程中不断分析、不断提 高、不断完善。下面列举两个教学案例加以分析。 3 1 案例1 ：反函数 教学目标： 1 知识目标：正确理解反函数的涵义；能够具体应用原函数与反函数间的关系解 决问题，能够掌握求反函数的方法； 2 能力目标：通过对前后内容进行类比和归纳，培养学生观察、分析、逻辑推理 的能力。 3 个性品质目标：培养学生敢于创新、善于思考、治学严谨的优秀品质。 教学重点和难点：反函数定义的理解是难点也是重点；原函数与反函数的关系、 以及具体应用相关知识点解决问题也是重点。 教学过程设计： 引导性先行组织者：( 提闯形式) 师：我们先回忆一下映射、一一映射以及函数的定义。 生甲：映射的定义两个非空集合a ，b 间的“一对一”或“多对一”的对应。 即 生乙：函数的定义两个非空数集间的映射。即 师：我们再回忆一下什么是一一映射? 生丙：一一映射对于一个从a 到b 的映射而言，如果在这个映射下，对于集 合a 中的不同元素，在集合b 中有不同的像，而且b 中的每一个元素也都有不同的原 像存在一 师：现在我们可以设想一下：对于一个从a 到b 的映射而言，在对应法则f 的逆过 程f 1 作用下，形成的从b 到a 的对应是否也是一个映射或是函数? 生丁：只有特殊的一一映射，反过来时才能够构成从集合b 到集合 的映射。因 为它可以保证：b 中的每一个元素y 通过对应法则f i 的作用下和a 中的唯一元素x 对 应。 即：f 一：b a 每一个元素y 有唯一元素x 与之对应 师：结合以上的例子，我们发现：当原映射是一一映射时，它的逆对应也是映射。 如果原映射对应一个函数原函数，它的逆映射也对应一个函数，这个函数就是原 函数的反函数。可见反函数也是一个函数，它的名称是相对于原函数而言的。有了原 命题与逆命题的对照，我们不难理解“原函数”与“反函数”两个名称是相对而言的。 分析：设计先行组织者的过程就是一个建立联系的过程认上内容的进行首先教 师可以帮助学生建立相关的联系；其次，教师可以了解学生对相关内容的掌握情况， 从而积极调控后面的教学安排；再则，我们可以通过提问的形式帮助学生提取相关信 息原有的认知结构是新知识学习的出发点，也是迁移实现的基础，所以，为了促使 正迁移的实现，就必须用先行组织者来架设桥梁另外我们在数学中定义函数时，引 出了集合、映射这样一些比较抽象的概念这里我们在复习过程中，相应的引入一些 实例可以帮助学生将已有的知识和经验迁移到新内容的学习中来迁移的基础是联 系，只有联系的知识之问才能互相影响；迁移的实现是联想，只有从问题联想到已经 掌握的知识技能，才能找到解决问题的策略这里通过先行组织者使学生顺利发现前 后知识之闻的相同点或是衔接点，体会到新i f l 知识的联系和一体化，从而自觉地进行 学习迁移活动 引入新课： 一反函数的定义： 由以上分析得出反函数的定义：如果映射厂：x o y = ，( 曲是由集合a 到集合b 的 一一映射，那么它的逆映射厂。：y _ x = f 。 ) 所确定的函数x = 厂。o ) 叫做函数 y = f ( x 1 的反函数。反函数的定义域为b ，值域为a 。 举例说明：函数y = 2 x 一1 ，f ：a ! 堡壅! ；b 元素2 元素3 反函数x = 二笋，f 1 ：b 垫! 堕坠笃a 元素3 毒元素2 分析：利用具体实例作为组织者，帮助学生正确把握和理解对应法则f 与f 1 之闻 的关系一一二者互为逆过程。这样的安排和设计会使学生原本不是很客易接纳的f 1 变得通俗易懂起来比较而言具体过程更客易帮助学生进行知识和经验的迁移这符 合学生学习认知的客观规律，有力地促进了学生自主构建自己的知识结构 师：思考：函数y = x 2 g r ) 有没有反函数? 函数y = 工2 b r + ) 有没有反函 数? 函数y = 工2 b 一1 ) 呢? 什么样的函数才有反函数存在? ( 引导学生用数形结合 分析得出结论：一一映射构成的函数。) 分析：这里用正例和反倒作为组织者，使学生明确反函数的特征，加强了概念的 可辨别性 ， 二如何求一个函数的反函数。 师：如何求一个函数的反函数呢? 上面的函数y = 2 x 一1 的反函数是x = 兰芸，告诉 我们求反函数实质上就是如何用y 表示x 。我们来看如何求一个函数的反函数： y = 八工) 表示y 是x 的函数，设定义域为a ，值域为b ，我们从式子y = f ( x ) 中解 出x 得到x = f 1 ( 力，如果对于y 在b 中的任何一个值，通过式子x = 厂1 0 ) ，在a 中都有唯一的x 和它对应，那么x 是自变量y 的函数，这样函数膏= f _ 1 0 ) 成为y = ，( x ) 的反函数。在式子x = f _ 1 ) 中，y 是自变量，x 表示函数值，而在习惯中，我们一般 用x 来表示自变量，y 表示函数。所以对调x = 厂。1o ，) 中的x ，y 改写成：y = f 4 ( 力。 强调：求一个函数的反函数都必须有这一对调过程。如：上面的函数y = 2 x 一1 的反函数 是x ：芝 ，对调x ，y 后得到反函数为y ：之 。 分析：这里利用前面的实例来讲解如何求一个函数的反函数，把抽象的问题具体 化，便于学生理解和接受同时为下面的应用提供类属者 例题1 ：求函数y = ；+ l g o ) 的反函数 分析：让学生根据上述过程自己求解，当求出反函数y = g 1 ) 2 时，问：反函数 的定义域是什么? ( 有学生答r ) 。再问：反函数的定义域与原函数的值域是什么关系? 此时学生才恍然大捂，利用原函数的值域求出反函数的定义域：x2l 所以函数) ，= 石+ l g o ) 的反函数为y = g 1 ) 2 ( 工1 ) 师：谁能结合以上所述小结求反函数的过程? 3 5 生：分四步进行： 1 ) 将y = 厂( x ) 看成方程，从中解出x ，即用y 来表示x 得童= 厂。( y ) ； ( 2 ) 将x ，y 对调，得到：y = f “( 功； ( 3 ) 注明反函数的定义域每一函数后必须注明其定义域； ( 4 ) 下结论。 师：补充说明第三步：一般情况下我们通过求原函数的值域去求反函数的定义域； 仅仅针对分式函数我们可以直接从反函数解析式中求出反函数的定义域。 学生练习：( 必要时，教师做适当的提示) 1 求函数y = x 3 + l g e 置) 的反函数； 2 求函数j ，；垒掣g r ，x 1 ) 的反函数。 ，一1 分析：教师在讲完一个同类型的例题后，安排了相应的练习，一是帮助学生进一 步掌握和巩固该知识点；二是对学生而吉，也正是通过这边讲遗练的形式完成了学习 迁移的过程例题1 连同后面的两个练习题，教师在选编过程中不仅仅是本着取不同 代表性的原则而且在题日出现的先后次序上也有考虎和安排由于在以往的教学过 程中发现学生对于前两个题目中的z ，能够轻易将x 分离出来用y 表示，但是对于练 习2 却不能顺利将x 表示出来，原因多是学生不易将y 看作x 的系数，而学生产生困 难的根源在于对于方程的理解不到位因此教师基于以往教学经验的概括和分析，在 这里傲了相应的考虑和安排，并祷之作为组织者为学习下面的内容作好铺垫 三原函数与反函数的关系：( 依图分析讨论) 原函数：y = ，( 曲 a b 定义域为：a值域为：b 反函数：y = 厂1 ( 力b a 定义域为：b值域为：a 师：我们根据以上分析可以得出以下