高中数学 2.1.1曲线与方程课件 新人教A版选修21 .ppt

第二章圆锥曲线与方程2 1曲线与方程2 1 1曲线与方程 曲线的方程和方程的曲线的概念 这个方程的解 曲线上的点 1 判一判 正确的打 错误的打 1 若以方程f x y 0的解为坐标的点都在曲线c上 则方程f x y 0即为曲线c的方程 2 若曲线c上的点满足方程f x y 0 则坐标不满足方程f x y 0的点不在曲线c上 3 方程x y 2 0是以a 2 0 b 0 2 为端点的线段的方程 解析 1 错误 曲线的方程必须满足两个条件 2 正确 根据曲线的方程和方程的曲线的概念 不满足方程f x y 0的点 显然不在曲线c上 3 错误 以方程的解为坐标的点不一定在线段ab上 如m 4 6 就不在线段ab上 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 写出曲线xy 4x 3y 0上一点的坐标 2 直线c1 x y 0与直线c2 x y 2 0的交点坐标为 3 点a在方程x2 y 1 2 10表示的曲线上 则m 解析 1 取x 1 代入得y 4 3y 0 所以 y 2 故点 1 2 在曲线上 答案 1 2 答案不惟一 2 由得答案 1 1 3 由点在曲线x2 y 1 2 10上 所以 m 1 2 10 解得m 2或m 答案 2或 要点探究 知识点曲线的方程和方程的曲线对曲线的方程与方程的曲线的定义的四点说明 1 定义中的条件 说明曲线上没有点的坐标不是方程的解 即曲线上每个点的坐标都符合这个条件 2 定义中的条件 说明符合条件的所有解构成的点都应在曲线上 3 定义的实质是平面曲线上的点集 m p m 和方程f x y 0的解集 x y f x y 0 之间是一一对应关系 因此平面曲线可以理解为平面内符合某种条件的点的集合 4 从集合角度看 若设曲线c上的点的坐标组成集合a 以方程f x y 0的实数解为坐标的点组成集合b 则a b且b a 所以a b 知识拓展 两曲线的交点坐标与相应方程组的解之间的关系曲线c1 c2的方程分别为f x y 0和g x y 0 1 若p x0 y0 为c1 c2交点 则 2 交点的个数与的解的组数相同 特别地 c1与c2没有公共点 没有解 微思考 1 是否所有曲线都有相应的方程 提示 不一定 有的曲线有方程 有的曲线就没有方程 如图 随意画一条曲线 则求不出方程与之对应 2 怎样判断方程是曲线的方程 提示 判断方程是否是曲线的方程 要从两个方面着手 一是检验曲线上点的坐标是否都适合方程 二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上 即时练 1 已知坐标满足方程f x y 0的点都在曲线c上 那么 a 曲线c上的点的坐标都适合方程f x y 0b 凡坐标不适合f x y 0的点都不在曲线c上c 不在曲线c上的点的坐标必不适合f x y 0d 不在曲线c上的点的坐标有些适合f x y 0 有些不适合f x y 0 解析 选c 满足方程f x y 0的点都在曲线c上 但曲线c上的点的坐标不一定都适合方程f x y 0 故a不正确 坐标不适合f x y 0的点 也可能在曲线c上 故b不正确 因为满足方程f x y 0的点都在曲线c上 故不在曲线c上的点必不适合方程f x y 0 故c正确 d不正确 2 设方程f x y 0的解集非空 如果命题 坐标满足方程f x y 0的点都在曲线c上 是不正确的 则下面命题中正确的是 a 坐标满足f x y 0的点都不在曲线c上b 曲线c上的点的坐标不满足f x y 0c 坐标满足f x y 0的点有些在曲线c上 有些不在曲线c上d 一定有不在曲线c上的点 其坐标满足f x y 0 解析 选d 坐标满足方程f x y 0的点都在曲线c上 不正确 就是说 坐标满足方程f x y 0的点不都在曲线c上 是正确的 这意味着一定有这样的点 x0 y0 虽然满足方程f x0 y0 0 但 x0 y0 c 即一定有不在曲线c上的点 其坐标满足f x y 0 故应选d 题型示范 类型一点与曲线的关系及应用 典例1 1 点p a 1 a 4 在曲线y x2 5x 3上 则a的值是 2 2014 天津高二检测 若曲线y2 xy 2x k通过点 a a a r 则k的取值范围是 解题探究 1 题 1 中由条件点p a 1 a 4 在曲线y x2 5x 3上 能得出什么结论 2 题 2 如何求二次函数y ax2 bx c a 0 的最值 探究提示 1 由条件可得出点的坐标满足方程 2 对y ax2 bx c配方得y 当a 0时 y有最小值当a 0时 y有最大值 自主解答 1 由点p a 1 a 4 在曲线y x2 5x 3上 得a 4 a 1 2 5 a 1 3 即a2 6a 5 0 解得a 1或a 5 答案 1或 5 2 由曲线y2 xy 2x k通过点 a a 所以 a 2 a a 2 a k 即k 2a2 2a 所以k 答案 k 方法技巧 判断点与曲线位置关系的方法如果曲线c的方程是f x y 0 点p的坐标为 x0 y0 1 点p x0 y0 在曲线c f x y 0上 f x0 y0 0 2 点p x0 y0 不在曲线c f x y 0上 f x0 y0 0 变式训练 1 下列四个点中 在曲线xy 1上的是 a 1 1 b 1 1 c 1 1 d 0 0 解析 选c 将点 1 1 的坐标代入xy 1 满足方程 故选c 2 已知曲线的方程为x2 y2 ax by c 0 若曲线过原点 那么必有 a a 0b b 0c c 0d a b c 0 解析 选c 由曲线经过原点 所以原点的坐标 0 0 满足方程 代入可求得c 0 补偿训练 方程x2 x2 1 y2 y2 1 所表示的曲线是c 若点m m 与点n在曲线c上 求m n的值 解析 因为点m m n在曲线c上 所以它们的坐标都是方程的解 所以m2 m2 1 2 1 n2 n2 1 解得 类型二由方程判断其表示的曲线 典例2 1 2014 黄冈高二检测 方程 x y 1 0表示的是 a 两条互相垂直的直线b 两条射线c 一条直线和一条射线d 一个点 2 1 2 如图所示 方程y 表示的曲线是 解题探究 1 题 1 含根式的问题应注意什么 2 题 2 判断该方程表示何种曲线时 首先做什么 探究提示 1 含根式的问题应注意必须使根式有意义 2 判断方程表示何种曲线 首先要对方程进行化简 转化为熟悉的类型 本题应先去绝对值号 解析 1 选c 因为 x y 1 0 所以或x y 3 0 前者表示射线x y 1 0 x 2 后者表示一条直线 2 选b 方程y 可化为 y 作出图象如图 延伸探究 若把题 1 中的方程改为 x y 1 1 0 则结果如何 解题指南 解答本题 要注意题目中的隐含条件x 3 0 解析 因为 x y 1 1 0 所以可得或者 1 0 也就是x y 1 0 x 3 或x 4 故方程表示一条射线和一条直线 方法技巧 1 方程表示的曲线的判断步骤2 判断方程表示曲线的注意事项方程变形前后要等价 否则变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线 另外 当方程中含有绝对值时 常采用分类讨论的思想 变式训练 方程x2 xy x表示的是 a 一个点b 一条直线c 两条直线d 一个点和一条直线 解析 选c 由x2 xy x 得x x y 1 0 表示两条直线x 0与x y 1 0 补偿训练 方程lg x2 y2 1 0所表示的曲线图形是 解析 选d 原方程等价于 0或lg x2 y2 1 0 所以x 1或x2 y2 1 1 即x 1或x2 y2 2 另外 要使方程有意义 必须x 1 0且x2 y2 1 即x 1 且当x 1时y 0 故选d 拓展类型 曲线的交点问题 备选例题 1 若直线x 2y 2k 0与y x k的交点在曲线x2 y2 25上 则k的值是 a 1b 1c 1或 1d 以上都不对 2 求直线y x 与曲线y x2的交点 解析 1 选c 联立得方程组解得交点为 4k 3k 代入圆的方程中 即 4k 2 3k 2 25 所以k 1 2 由把 代入 得x x2 即x2 2x 3 0 解得x1 1 x2 3 将x1 1 x2 3代入 得y1 y2 所以所求交点为 方法技巧 求曲线交点的三个步骤 易错误区 方程变形中不是恒等变形致误 典例 2014 衡水高二检测 方程 x y 2 0表示的曲线是 a 一个圆和一条直线b 半个圆和一条直线c 一个圆和两条射线d 一个圆和一条线段 解析 选c x y 2 0变形为 x2 y2 9 0或表示以原点为圆心 3为半径的圆和直线x y 2 0在圆x2 y2 9 0外面的两条射线 常见误区 防范措施 合理进行转化将方程变形时 前后应保持等价 否则 变形后的方程表