高考数学 选修42 第三节变换的不变量与矩阵的特征向量课件 理.ppt

第三节变换的不变量与矩阵的特征向量 1 矩阵的特征值 特征向量的相关概念非零向量被变换a变到自己的倍向量 称 0为a的特征值 称为a的属于特征值 0的特征向量 非零倍向量 也是属于同一个特征值 0的特征向量 即时应用 1 思考 属于特征值 0的特征向量是否唯一 提示 不唯一 若是矩阵a的属于特征值 0的一个特征向量 则对任意的非零常数k k也是矩阵a的属于特征值 0的特征向量 所以不唯一 2 思考 属于特征值 0的特征向量间是什么关系 提示 属于特征值 0的特征向量有无数个 它们是共线向量 2 矩阵的特征矩阵及特征多项式 2 a d ad bc 即时应用 已知矩阵m 则矩阵m的特征值为 解析 矩阵m的特征多项式为f 2 3 2 令f 0 解得 1 1 2 2 答案 1 2 3 矩阵an的计算 1 矩阵a的特征值为 1 2 其对应的特征向量分别是x1 x2 则 设出矩阵an后列方程组求an 2 若任意向量x t1x1 t2x2 则an t1x1 t2x2 即时应用 矩阵m 有特征向量对向量 计算m4 为 解析 由特征多项式f 2 3 2 令f 0 得 1 2 2 1 特征矩阵为以它为系数矩阵的 方程组是 可知与特征值2 1对应的一个特征向量分别为 1 2 从而设 m 1 n 2得 解得 即 1 2 2 从而答案 热点考向12 2矩阵的特征值与特征向量的求法 方法点睛 求二阶矩阵的特征值与特征向量的步骤第一步 求特征矩阵 由矩阵a 得到特征矩阵 第二步 求特征多项式 2 a d ad bc 第三步 求特征多项式的根 即解 2 a d ad bc 0 第四步 求特征向量 将特征值代入特征矩阵 解以它为系数矩阵的二元一次方程组 得非零解对应的向量即为特征向量 例1 已知矩阵a 其中a r 若点p 1 1 在矩阵a的变换下得到点p 0 3 1 求实数a的值 2 求矩阵a的特征值及特征向量 解题指南 本题条件中矩阵a尚未确定 首先根据条件 利用待定系数法得实数a的值 再根据特征多项式求矩阵a的特征值及特征向量 规范解答 1 由得a 1 3 a 4 2 由 1 知a 矩阵a的特征矩阵为 特征多项式为 1 2 4 即 2 2 3 解 2 2 3 0 得矩阵a的特征值为 1或3 将 1代入特征矩阵得 解方程组 得y 2x x y t 2t t为任意实数 t 0时为特征向量 同理可得当 3时 特征向量为 反思 感悟 1 当特征多项式 2 a d ad bc 0无解时 矩阵无特征值 2 特征向量不唯一 不为零 是共线向量 变式训练 求矩阵m 的特征值和特征向量 解析 矩阵m的特征矩阵为 特征多项式为 1 3 2 即 2 2 8 解 2 2 8 0得矩阵m的特征值为 1 4 2 2 将 1 4代入特征矩阵得 以它为系数矩阵的方程组为解得y 即 x y t 当t 0时得特征向量同理可得当 2 2时的特征向量为 热点考向2已知特征值 特征向量求二阶矩阵 方法点睛 已知特征值 特征向量求二阶矩阵的方法设出矩阵a 利用ax0 0 x0 列出方程组 解方程组即可求出矩阵a 例2 2012 龙岩模拟 已知矩阵a a的一个特征值 2 属于 的一个特征向量是 求矩阵a与其逆矩阵 解题指南 充分利用特征值 特征向量的定义及求解方法列出相应的关系式后求解 规范解答 由得 解得 1 4 2 1 6 互动探究 试求出题中矩阵a的另一个特征值及其特征向量 解析 由例题知a 其特征矩阵为特征多项式为 1 4 2 1 即 2 5 6 解 2 5 6 0得矩阵a的特征值为 1 2 2 3 矩阵a的另一个特征值为3 将 2 3代入特征矩阵得 以它为系数矩阵的方程组为 解得y x 即 x y t t 当t 0时 得特征向量 反思 感悟 求已知矩阵的特征值及其对应的特征向量 解题关键是熟练应用定义 解方程组 热点考向3利用特征值 特征向量求an 方法点睛 1 利用特征值 特征向量求an的步骤第一步 求矩阵a的特征值 1 2 其对应的特征向量分别是x1 x2 第二步 设出an 由定义知第三步 列出方程组 解方程组得an 2 求anx的方法 1 求出矩阵a的特征值 1 2及其对应的特征向量x1 x2 2 令x t1x1 t2x2 列方程组求出t1 t2 3 例3 2012 厦门模拟 已知矩阵m 向量 1 求矩阵m的特征值 1 2和特征向量 1和 2 2 求m6 的值 解题指南 矩阵m 向量 已知 可先根据求特征值 特征向量的步骤求 1 2及 1 2 再求m6 规范解答 1 m 的特征多项式为 7 3 6 4 即 2 4 3 解 2 4 3 0 得矩阵的特征值为 1 1 2 3 当 1 1时 得相应的特征向量 1 t 0 当 2 3时 得相应的特征向量 2 t 0 2 由 1 不妨令t 1 则 1 2 令 m 1 n 2解得 解得m 3 n 1 因此 反思 感悟 1 利用特征值 特征向量可以简化计算an anx的过程 2 要注意分清公式中字母的具体意义 防止代入错误 变式训练 已知矩阵a 求a10 解析 矩阵a的特征矩阵为 特征多项式为 1 1 1 1 即 2 2 解方程 2 2 0 得特征值 1 0 2 2