高考数学总复习 第一章 第一节集合的概念与运算课件 理.ppt

第一节集合的概念与运算 第一章集合与常用逻辑用语 考纲要求 1 集合的含义与表示 1 了解集合的含义 元素与集合的属于关系 2 能用自然语言 图形语言 集合语言 列举法或描述法 描述不同的具体问题 2 集合间的基本关系 1 理解集合之间包含与相等的含义 能识别给定集合的子集 2 在具体情境中了解全集与空集的含义 3 集合的基本运算 1 理解两个集合的并集与交集的含义 会求两个简单集合的并集与交集 2 理解在给定集合中一个子集的补集的含义 会求给定子集的补集 3 能使用韦恩 venn 图表达集合的关系及运算 课前自修 知识梳理 一 集合的含义与表示1 集合的含义 把研究的对象统称为元素 把一些元素组成的总体叫做集合 简称为集 2 元素与集合的关系 集合中元素与集合的关系有属于与不属于两种 分别用符号 和 来表示 3 集合中元素的三个特征 1 确定性 按照明确的判断标准给定一个元素 二者必居其一 不能模棱两可 或者在这个集合里 或者不在0 2 互异性 集合中的元素 3 无序性 在一个给定的集合中 元素之间 4 集合的表示 1 2 3 5 常用数集的符号表示 1 空集 2 正整数集 3 自然数集 4 整数集 5 有理数集 6 实数集 7 复数集 各不相同 不允许重复 无先后次序之分 列举法 描述法 venn图法 n 或n n z q r c 二 集合间的基本关系1 子集 对于两个集合a b 如果集合a的 称集合a为集合b的子集 记作 读作 a包含于b 或 b包含a 用韦恩 venn 图表示两个集合间的 包含 关系 a b 如图 a b 或b a 任意一个元素都是集合b中的元素 2 真子集 如果集合a b 但存在元素x b 且x a 我们称集合a是集合b的真子集 记作a b或b a 3 集合相等 如果 a b 且 b a 此时集合a与集合b的元素是一样的 因此集合a与b相等 记作a b 4 空集 叫空集 记作 规定 是任何集合的 是任何非空集合的 集合a是集合b的子集 集合b为集合a的子集 不含任何元素的集合 子集 真子集 三 集合的分类 根据集合中元素多少 1 2 3 四 集合的运算1 交集 1 定义 由属于集合a且属于集合b的元素组成的集合 称为 的交集 记作 读作 a交b 即 2 性质 a a a a a b b a 有限集 无限集 空集 集合a与集合b a b a b x x a 且x b 2 并集 1 定义 由所有属于集合a或集合b的元素组成的集合 称为 的并集 记作 读作 a并b 即a b x x a 或x b 2 性质 集合a与集合b a b a a a a a a b b a 由全集u中不属于集合a的 所有元素组成的集合 六 区间的概念和记号设a b r 且a b 我们规定 1 满足不等式a x b的实数x的集合叫做 表示为 2 满足不等式 的实数x的集合叫做开区间 表示为 3 满足不等式 或 的实数x的集合叫做半开半闭区间 分别表示为 或 这里的实数a和b叫做相应区间的端点 七 有限集的子集数的求法设有限集a的元素个数为n 则 1 a的子集个数为2n 2 a的真子集个数为2n 1 3 a的非空子集个数为 4 a的非空真子集个数为 闭区间 a b a x b a b a x b a x b a b a b 2n 1 2n 2 1 2012 佛山市二模 设全集u 1 2 3 4 5 集合a 1 2 b 2 3 则a ub a 4 5 b 2 3 c 1 d 1 2 4 5 2 2012 肇庆市一模 已知集合m 0 1 2 集合n满足n m 则集合n的个数是 a 6b 7c 8d 9 c 解析 集合n有 0 1 2 0 1 0 2 1 2 0 1 2 共8个 故选c 解析 a 1 2 ub 1 4 5 a ub 1 故选c c 基础自测 3 2012 辽宁卷 已知全集u 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 集合a 0 1 3 5 8 集合b 2 4 5 6 8 则 ua ub 为 a 5 8 b 7 9 c 0 1 3 d 2 4 6 4 2012 广州市一模 已知集合a x 1 x 2 b x x a 1 若a b a 则实数a的取值范围为 解析 全集u 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 集合a 0 1 3 5 8 集合b 2 4 5 6 8 ua 2 4 6 7 9 ub 0 1 3 7 9 所以 ua ub 为 7 9 故选b b 解析 化简得b x a 1 x 1 a a b a a a 1 1且1 a 2 解得1 a 2 1 2 考点探究 考点一 例1 2012 江西卷 若集合a 1 1 b 0 2 则集合 z z x y x a y b 中的元素的个数为 a 5b 4c 3d 2思路点拨 分x 1 y 0 2和x 1 y 0 2两种情况讨论 解析 x a y b 当x 1时 y 0 2 此时z x y 1 1 当x 1时 y 0 2 此时z x y 1 3 所以集合 z z 1 1 3 1 1 3 共有3个元素 故选c c 集合的概念 点评 理解集合的概念与表示 以及元素与集合之间的从属关系是正确解答本题的关键 变式探究 1 设集合a 1 2 3 4 5 6 b 4 5 6 7 8 则满足s a且s b 的集合s的个数是 a 57b 56c 49d 8 解析 集合a的所有子集共有26 64个 其中不含4 5 6的子集有23 8个 所以集合s共有56个 故选b b 考点二 思路点拨 要注意分辨各集合的代表元素是什么 如果性质相同 但代表元素不同 则它们所表示的集合也是不一样的 因此对于集合问题 要首先确定它属于哪类集合 数集 点集或某类图形 d 集合中元素的准确识别 点评 解集合问题时 对集合元素的准确识别十分重要 要分清各集合的具体类型 如数集 点集等 不允许有半点差错 否则将导致解题的失败 变式探究 答案 ba dc ac bc ad bd 考点三 例3 设集合a x x2 3x 10 0 b x m 1 x 2m 1 若b a 求实数m的取值范围 思路点拨 考查集合间的包含 相等关系 关键搞清a b两集合谁是谁的子集 若b a 说明b是a的子集 即集合b中元素都在集合a中 注意b是 的情况 同样若a b 说明a是b的子集 此时注意b是不是 若a b 说明两集合元素完全相同 集合的基本关系及空集的妙用 解析 化简 得a 2 5 1 若b 则m 1 2m 1 解得m 2 符合b a 2 若b 如图所示 则即2 m 3 由 1 2 知 m的取值范围是 3 变式探究 3 已知集合a x x2 x 6 0 b x m 6 x 2m 1 1 若a b 求实数m的取值范围 2 若a b 求实数m的取值范围 解析 化简 得a 2 3 1 若a b 则必有解得m 即不存在m的值使得a b 2 若a b 则依题意应有解得故2 m 4 所以m的取值范围为 2 4 考点四 例4 1 2012 广东六校联考 已知集合m y y x2 1 x r n x y 则m n a 1 b 1 c d 2 2012 四川卷 设全集u a b c d 集合a a b b b c d 则 ua ub 解析 1 m y y 1 2 x2 0 x2 2 得 x n x x m n 1 故选b 2 ua c d ub a ua ub a c d b a c d 集合的运算 点评 求两个集合之间的 交 并 补 运算时 一般应先把各个参与运算的集合化到最简形式 然后充分利用venn图或数轴的直观性 优化解题过程 第 1 题求两个集合的交集与表示集合中元素的字母无关 变式探究 4 2013 惠州市调研 集合m 4 5 3m n 9 3 若m n 则实数m的值为 a 3或 1b 3c 3或 3d 1 解析 由m n 可知 3m 9或 3m 3 故选a a 考点五 例5 2012 黄山市质检 记全集u 1 2 3 4 5 6 7 8 a 1 2 3 5 b 2 4 6 则图中阴影部分所表示的集合是 a 2 b 7 8 c 4 6 7 8 d 1 2 3 4 5 6 解析 阴影部分的集合是 u a b 由题意得a b 1 2 3 4 5 6 u a b 7 8 故选b b venn图的运用 变式探究 5 2012 揭阳市调研 设全集u r a x 2x x 2 1 b x y ln 1 x 则图中阴影部分表示的集合为 a x x 1 b x 1 x 2 c x 0 x 1 d x x 1 解析 化简得a 0 2 b 1 图中阴影部分表示的集合为a ub 0 2 1 1 2 故选b b 考点六 例6 2013 珠海市一模 设u为全集 对集合x y 定义运算 满足x y ux y 则对于任意集合x y z x y z a x y uz b x y uz c ux uy zd ux uy z d 解析 因为x y ux y 所以y z uy z 所以x y z ux y z ux uy z 故选d 集合新定义问题 变式探究 6 设s是整数集z的非空子集 如果 a b s 有ab s 则称s关于数的乘法是封闭的 若t v是z的两个不相交的非空子集 t v z 且 a b c t 有abc t x y z v 有xyz v 则下列结论恒成立的是 a t v中至少有一个关于乘法是封闭的b t v中至多有一个关于乘法是封闭的c t v中有且只有一个关于乘法是封闭的d t v中每一个关于乘法都是封闭的 a 易错警示 案例 已知集合a b x mx 1 0 且a b a 求实数m的值组成的集合 错解 a 2 3 a b a b a 由mx 1 0 得x b a a 2或 3 得m 或 符合题意的m的集合为 忽略空集致误 错因分析 忽略b 的情形而导致错误 事实上由a b a 得b a 当b 时 也满足b a 由于空集是一个特殊的集合 在研究集合之间的关系及运算时必须要注意 正解 化简a 2 3 a b a b a 当m 0时 b 满足b a 当m 0时 由mx 1 0 得x b a a 2或 3 得m 或 符合题意的m的集合为 课时升华 1 常见的集合有两种类型 点集和数集 与函数有关的集合通常是函数的定义域和值域 解题时要注意分清 对于用列举法表示的数集进行运算时 可充分利用venn图 对于用描述法表示的数集进行运算时 可充分利用数轴 对于点集的运算 可用图象法 画出集合中表示点集的曲线 借助几何直观转化为代数运算 可使过程简化 2 解决与集合有关的问题常用的思想方法 1 数形结合思想 在进行集合运算时 要强化借助venn图 数轴和图形的直观性的意识 以达到提高解题速度的目的 2 分类讨论思想 当集合中的元素含有参数时 就不可避免的要讨论 3 转化与化归思想 集合是解决问题的工具 在函数 不等式 方程等问题中应用广泛 注意将集合语言与自然语言和其他数学语言之间进行转化 还要熟练掌握集合运算与集合关系之间的转化 3 集合问题中有可能出现错误的几种情况 1 元素与集合是从属关系 集合与集合是包含 包括相等 关系 2 集合中的元素是互异的 列方程 组 求解集合中的有关参数时 要对结论进行检验 以免出错 3 在数轴上讨论集合的运算关系时 注意表示集合的线段的端点是否取到 4 在集合运算的讨论中要注意空集问题 如a b 则要分a 和a 两种情况进行讨论 感悟高考 品味高考 高考预测 1