（教育学原理专业论文）小学生数学学习中错误的研究.pdf

原创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤洼竖垫盘堂或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 论文作者签名：专降诠日期砂噼6 月2 曰 研究生学位论文使用授权说明 ( 必须装订在提交学校图书馆的印刷本) 本人完全了解天津师范大学关于收集、保存、使用研究生学位论文的规定， 按照学校要求向图书馆提交学位论文的印刷本和电子版本； 图书馆有权保存学位论文的印刷本和电子版，并通过校园网向本校读者 提供全文与阅览服务。 图书馆可以采用数字化或其它手段保存论文； 因某种特殊原因需要延迟发布学位论文，按学位论文保密规定处理，保 密论文在解密后遵守此规定。 论誉笔室骝繇常夏支 日期：沙f 。年6 月日 。 、 、 l i 摘要 在数学学习和课堂教学中，小学生由于种种原因会产生很多始料未及的错误。对于 这些错误，如果我们能进一步分析学生犯错误的原因，并能透过错误发现有关问题，在 错误上面做些文章，就可变“废”为“宝 ，利用错误这一资源为教学服务。 本文主要利用质的研究方法，选取具有典型代表性的研究对象，对其进行访谈、观 察、作业及其试卷分析等，得出结论，学生在数学学习中出错是一种必然和普遍的现象。 通过对一线教师的访谈、课堂观察等，发现教师对学生的数学错误存在着错误的态度及 处理不当的现象，从而影响着学生对待错误的态度。通过让学生自己叙述错误的原因， 并与教师对其错误的归因进行比较，找出学生容易出错的原因，从而得出学生与教师对 数学错误归因不同的原因，主要是由于学生的认知方式、思维方式、心理和生理特点等 与成人( 教师) 不同而引起。并在此基础上，提出对数学错误的纠正策略：暴露原错误 思维，创设情境、制造冲突等，供广大教师作为参考。最后，分析错误对学生的价值： 可以反省所学知识和提高对数学的思考能力；以及学生的错误对教师的价值：可以更好 的理解学生和促进自身教师专业化的发展。进而得出结论：错误有其自身的价值，可以 作为一种有效的教学资源供一线教师加以利用。 文章的最后，因为采用质的研究方法，所以从研究效度问题、伦理问题和外部推论 问题三个方面对文章进行了讨论。 关键字：数学学习错误质的研究方法 i i 一 a b s 仃a c t i nm a t h e m a t i c sl e a r n i n ga n dt e a c h i n gi np r i m a r ys c h o o l ，p u p i l sw i l lh a v eal o to f u n e x p e c t e de r r o r s f o rt h o s ee r r o r s ，i fw ec a nf u r t h e ra n a l y z et h e r e a s o n sa n de x p l o r et h e p o t e n t i a lp r o b l e m so ft h o s ew r o n g s ，w ec a nt r a n s f o r mt h e ”w a s t e ”t ot h e ”t r e a s u r e ”a n dm a k e u s eo ft h i sr e s o u r c e - - t h o s ee r r o r st ob e t t e rs e r v eo u rt e a c h i n g i nt h i s p a p e r , w eu s eq u a l i t a t i v e r e s e a r c hm e t h o d st os e l e c tat y p i c a ls t u d yt a r g e t ， i n t e r v i e w i n g ，o b s e r v i n g ，w o r k i n ga n dp a p e r - a n a l y z i n gt oc o n c l u d et h a tt h ep u p i l s c o m m i t m e n t o fe r r o r si nm a t h e m a t i c sl e a r n i n gi sa ni n e v i t a b l ea n du n i v e r s a lp h e n o m e n o n t h r o u g h i n t e r v i e w sw i t hf r o n t 1 i n et e a c h e r sa n dc l a s s r o o mo b s e r v a t i o n , w ef o u n dt h a to u rt e a c h e r sh a v e 强i n c o r r e c ta t t i t u d et ot h ep u p i l s e r r o r si nm a t h e m a t i c sa n dd e a lw i t ht h e mi naq u i t e l y i n a p p r o p r i a t eb e h a v i o r , a n dc o n s e q u e n t l y a f f e c tt h ep u p i l s a t t i t u d et o w a r d st h e i re r r o r s c o m p a r e dt h er e a s o n so fe r r o r sw h i c hw e r en a r r a t e db yp u p i l st h e m s e l v e sw i t ht h er e a s o n s a n a l y z e db yt h et e a c h e r s ，w ec a no b t a i nt h a tt h e i rr e a s o n s a r ed i f f e r e n t ，w h i c hd e r i v e sf r o mt h e d i f f e r e n c eo ft h ew a yo fc o g n i t i o n , t h i n k i n ga n dt h ep s y c h o l o g i c a la n dp h y s i o l o g i c a l c h a r a c t e r i s t i c sb e t w e e nt h ep u p i l sa n dt h et e a c h e r s a n do nt h i sb a s i s ，w ep u tf o r w a r dt h e c o r r e c t i o ns t r a t e g i e so fm a t h e m a t i c a le r r o r s ：e x p o s u r et ot h eo r i g i n a lm i s t a k eo ft h i n k i n g ，t h e c r e a t i o no fc o n t e x t sa n dr e a p p e a r a n c eo ft h ec o n f l i c tf o rt h ev a s tn u m b e ro ft e a c h e r sa sa r e f e r e n c e f i n a l l y , w ea n a l y z eo ft h ev a l u eo ft h ee r r o ro fs t u d e n t s ，w h i c hc o u l dr e f l e c tt h e k n o w l e d g et h es t u d e n t sl e a r n e da n di m p r o v et h es t u d e n t s t h i n k i n ga b i l i t yo f m a t h e m a t i c s a n d t h ev a l u eo fp u p i l s e r r o r st ot e a c h e r s ，w h i c hc o u l db e t t e ru n d e r s t a n dt h ep u p i p sa n di m p r o v e t h ep r o f e s s i o n a ld e v e l o p m e n to ft h et e a c h e r st h e m s e l v e s a n dt h u sf u r t h e rc o n c l u d et h ee r r o r h a si t so w nm e r i ta n di tb e n e f i tt h ef r o n tl i n et e a c h e ra sa 1 1u s e f u lt e a c h i n gr e s o u r c e t h ea r t i c l ef i n a l l y , s i n c et h eu s eo fq u a l i t a t i v er e s e a r c hm e t h o d s ，d i s c u s s e st h et h e m e a g a i nf r o mt h ep e r s p e c t i v eo fs t u d ye f f e c t i v e n e s s ，e t h i c a li s s u e sa n de x t e r n a li n f e r e n c e k e y w o r d s ：m a t h e m a t i c sl e a r n i n g e r r o r q u a l i t a t i v er e s e a r c h 2 目录 一、 绪论1 ( 一) 问题的提出及意义- 1 ( 二) 研究目的3 二、文献综述3 ( 一) 对错误的有关界定3 1 哲学上对错误的界定3 2 一般意义上对错误的界定3 3 数学学科角度上对错误的界定3 ( 二) 国内外对于数学错误的相关研究4 1 基于数学学科视角的分析- - 4 ( 1 ) 关于数学概念方面的研究4 ( 2 ) 关于数学计算方面的研究4 ( 3 ) 关于数学语言理解方面的研究- 5 2 基于心理情感视角的分析- - 5 ( 1 ) 思维过程的错误- 5 ( 2 ) 信息加工的错误5 ( 3 ) 认知方面的错误6 ( 4 ) 情感因素的错误6 3 基于错误利用视角的分析- 7 ( 1 ) 错误的合理性- 7 ( 2 ) 错误可以作为_ 种有效的教学资源7 三、研究方法- 一一7 ( 一) 质的研究方法8 1 质的研究方法的定义- 8 2 质的研究方法与量的研究方法的区别8 3 采用质的研究方法的原因- 一”一一”9 4 如何使用质的研究方法一”一一一一一一一一一”9 ( 二) 抽样目的型抽样一一一一”一”一9 i ( 三) 收集资料的方法9 1 参与型观察9 2 半开放型访谈- - 1 0 3 实物分析1 0 四、 研究过程10 ( 一) 关于选定研究对象1 0 1 与带队老师的初次接触- 10 2 第一次走迸课堂及过后的访谈11 3 第二次走进课堂及访谈。；。t e ee e ，1 2 4 关于团体纸笔测验试题1 3 5 关于判作业的情况一13 6 向方老师了解丙2 和乙5 等易出错的同学的情况1 4 7 初定研究对象- 15 ( 二) 对研究对象的追踪调查15 1 针对月考试卷的访谈15 2 几次听课的详细记录1 6 3 关于讲课的一次记录18 4 对期中考试试卷的分析及访谈- 一一一2 0 5 关于丙2 和乙5 期末考试的试卷2 3 6 关于两次听课的记录一“2 3 ( 三) 关于教师对数学错误的利用程度的观察及其访谈2 5 1 对宋老师的观察及访谈一2 5 2 对其他老师的问卷和访谈一2 6 五、研究结论”一一一一”一3 0 ( 一) 小学生出错的现象- ”一”3 0 1 学生出错的普遍性和必然性一”一”3 0 2 教师对待学生错误的“错误”态度一3 0 ( 二) 学生与教师对学生数学错误归因的比较一3 0 1 学生容易出错的原因一”一”“”3 0 4 2 学生与教师对数学错误归因不同一一一31 ( 三) 对于数学错误的纠正策略3 2 1 诱发学生暴露原有思维过程是纠正数学错误的前提3 2 2 创设情境，制造冲突是纠正数学错误的关键3 2 ( 四) 错误可以作为一种有效的教学资源加以利用33 1 数学错误对学生的价值3 3 2 数学错误对教师的价值3 3 3 学生的错误可以作为一种有效的教学资源供教师利用3 4 六、讨论与反思- - - 。；t = 。e ee 3 4 ( 一) 对研究效度的讨论- 3 4 ( 二) 对伦理问题的讨论35 ( 三) 对研究的外部推论的讨论- 35 参考文献一一一“一”3 7 附录一- 一一一一一一”一“”一4 1 附录二”一4 3 附录三一一一一一”一4 4 小学生数学学习中错误的研究 一、绪论 ( 一) 问题的提出及意义 一直以来，错误被人们视为“洪水猛兽”。日常生活中，人人都会犯错误，人人都怕 犯错误，有的人屡屡犯同样的错误，有的人则知错能改，甚至把自己的错误作为自己的 警钟，时时提醒自己不再犯同样的错误。同样，在学习中、在课堂上，学生甚至老师也 会犯错误，口误、笔误、知识性、技能上的错误等等。数学学习中错误更比比皆是，且 类型繁多，让老师和学生“应接不暇 。教师最怕学生犯错误，很多教师不知是为了提高 课堂效率还是怕学生的回答出现错误而否定自己的成绩，他们在课堂提问中总叫“好学 生”来回答问题，其余的就只能在模棱两可中跳过这个知识点。学生在考试、作业及其 课堂上也怕犯错误，尤其在课堂上，学生最怕犯错误，因为它得不到老师和同学的肯定， 而只能招来老师的一顿教训和同学们的一片哈哈大笑。但实际上“每个人在数学学习的 过程中都会犯错”。法国数学家阿达马( h a d a m a r d ) 也说：“即使优秀的数学家也经常犯 错误，不过他们可以很快地发现并改正。 著名的法国数学家柯西，在他的解析数学讲 义中曾阐述过，级数在某区间连续和收敛以及某级数和的连续还是收敛的问题，柯西 认为是连续的，但后来由年轻的挪威数学家阿贝尔举出反例证明了柯西的结论是错误。 即使伟大的数学家都犯错误，更何况是学习之中的小学生呢。 孔子曾说过：“知错能改，善莫大焉。”赖斯曼对于错误曾做过一个很恰当的比喻：“如 果将学生数学基础的缺陷形象化，可以将它想象成一个梯子中间坏了的或不牢固的横撑， 它会阻碍你继续向上爬；即使你跨越了它，你也会不自在，因为你知道那里是坏的。梯 子的横撑是到达顶点所必须的条件的。 学生的错误如果没有得到及时的纠正，就会像 滚雪球一样越积越多，也正如郑毓信所指出的：学生所形成的错误观念对新的数学学习 活动会产生严重的消极影响，而新的数学学习活动的失败反过来又会进一步强化原先的 错误观念这样不断反复，直至学生最终完全丧失对数学学习的兴趣和信心。 这样就要 求老师善于观察，及时发现问题，并采取正确的措施，帮助学生克服困难。也正如德国 。郜舒竹数学教学基础【m 】北京：教育科学出版社2 0 0 7 年，第1 0 6 页 。郜舒竹数学教学基础【m 】北京：教育科学出版社2 0 0 7 年，第1 1 0 页 。郑毓信数学教育哲学 m 四川：四川教育出版社2 0 0 1 年，第3 2 页 的埃里克( e r i c am e l i s ，2 0 0 4 ) 所说，“学生在数学学习中所犯的错误是数学学习的重要 资源 。 美国有一位著名的数学老师，他每次讲课之前都会告诉学生，“我这节课讲的内容有 三个地方是错误的，你们课后的作业就是找出这三处地方 。呵见这位老师对错误的重 视和利用程度。我国数学教育专家郑毓信也为教师对待学生数学错误的态度提出了建议。 他认为数学教育应该特别强调观念转变，相对于传统的观念而言，教师对于学生的错误 应该采取一种更为“宽容”的态度，应当努力去发现在学生错误中所包含的合理成分。 因此，分析错误的原因及类型，才能找出对策帮助学生预防和避免错误的产生。 然而，根据目前我国部分学者的研究表明，当前数学教师对待学生的数学错误的态 度存在问题。总体说来，这些问题主要表现在：教师常用“粗心大意 、“思维呆板 来 解释学生的错误，并对反复出现错误的学生加以责备。教师常常对学生在数学学习过程 中产生的错误重视不够，或是视而不见，只是简单的将正确的、“标准 的答案再重复一 遍；教师将学生的数学错误归于学生自己没有认真听、好好学，甚至归罪于学生基础差， 接受能力差等；简单地归咎于学生审题不细心等。囝这些研究也分析了因此而可能引起的 后果：形成学生心理定势，加重了“粗心大意 、“思维呆板 等倾向性；因错误反复出 现而经常受到老师责备的学生会变得忧虑、焦躁，最终表现出更为恶化的情形；简单、 武断地判断学生的错误无益于学生对数学内容的真正理解和掌握，也无益于培养学生对 数学学习的积极情感和态度；泛泛而论或“形式化”的总结对教学不能提供行之有效的 具体指导。这些研究的结果表明，许多数学教师对学生的数学错误缺乏科学的认识，从 而导致对学生的错误作出了种种不合理的处理。而所有这些，正是目前中小学数学教学 中普遍存在、迫切需要研究的问题。 错误并不可怕，可怕的是对错误的疏忽与置之不理。本研究主要利用质的研究方法， 选取具有典型代表性的研究对象，对其进行访谈、观察等，让其自己叙述错误的原因， 通过学生“出声的思维”，让学生自己归因出错的原因，找出错误的价值所在，从而利用 错误，避免类似错误的产生。同时也让一线教师认识到学生数学错误的重要性，并把学 郜舒竹数学教学基础口咽北京：教育科学出版社2 0 0 7 年，第1 l l 页 o 郜舒竹数学教学基础 m 1 北京：教育科学出版社2 0 0 7 年，第1 5 4 页 印郑毓信数学教育哲学嗍四川：四川教育出版社2 0 0 1 年，第1 9 5 页 o 李善良现代认知观下的数学概念学习与教学嗍江苏：江苏教育出版社2 0 0 5 ，第2 0 3 页 o 周友士数学教学中要善待学生的错误 j 当代教育科学，2 0 0 5 ( 3 ) o 彭爱辉初中数学教师错误分析能力研究 d 西南大学博士学位论文，2 0 0 7 6 2 生错误作为一种有效的教学资源。 ( 二) 研究问题 本研究主要采用质的研究方法让学生自己归因数学学习中的错误，而非教师的主观 推断。另外，本研究还想对学生对错误的归因与一线教师对错误的归因做一下比较，找 出相同与不同之处，以供一线教师作为参考，在实践方面希望有所贡献，使本文章能较 好地实现其外部推论。因此本文所研究的问题主要有以下两个： 第一，学生对数学错误的归因是否与一线教师对数学错误的归因相同，如果不同， 其差异之处在哪里? 第二，学生对数学错误的归因是否可以作为一种有效的教学资源加以利用? 二、文献综述 ( 一) 对错误的有关界定 1 哲学上的错误 “错误”在哲学领域中被成为“谬误”，意义与“真理 相对。谬误指主观对客观的 歪曲反映，它是主观的、片面的( 范彬，1 9 8 5 ) 。在哲学上的真理属于认识的范畴，所 以这里的错误也是属于认识的范畴，即只指错误的认识，不指错误的行为。但是错误或 谬误只有在通过行为表现出来时才能被人们识别，因此仅把错误归为认识范畴是有限的。 2 一般意义的错误 错误一词在生活中经常提到，是一个很普遍的概念，现代汉语词典中对错误的界 定为：不正确；与客观实际不符合。不正确的事物、行为等。从这里可以看出，错 误的概念是相对于正确来说的，而正确是“符合事实、道理或某种公认的标准 。 因此 错误又可以界定为不符合事实、道理或某种公认标准的事物或行为。 3 数学学科角度的错误 对于学生在数学学习过程中出现的错误应该有其特殊所指。郑毓信认为：教师往往 把“学生在学习过程中所产生的各种不同于标准观念( 或标准做法) 的想法( 或 做法) 看成完全错误的，从而也就必须彻底予以纠正”。这个定义包含了两个要点，一 是错误的标准问题，不符合标准观念或做法的称之为错误，而这里所说的标准观念( 或 标准做法) 多指教材或参考书中的规定；而是错误的表现，即错误可以通过学习者的 。郜舒竹数学教学基础【m 】北京：教育科学出版社2 0 0 7 年，第1 1 6 页 o 中国社会科学院语言研究所词典编辑室2 0 0 5 年 。中国社会科学院语言研究所词典编辑室2 0 0 5 年 。李善良数学概念学习中的错误分析【j 】数学教育学报，2 0 0 2 ，l l ( 3 ) ：6 一i i 行为表现出来，也可以是没有付诸行动的观念，这一点与哲学领域对错误的认识是一致 的。但值得注意的是，上述说法并不是郑毓信对数学错误的定义，只是他个人概况出的 教师对待学生错误的一般看法。 ( 二) 国内外对于数学错误的相关研究 关于错误分析的研究在数学教育中有着很长的历史。荷兰教育学家弗赖登塔尔曾经 说过，其实数学教育中正式研究的第一个课题就是关于错误的，研究的是学习者的 数学错误。在美国，早在近一个世纪之前，b u s w e l l & j u d d ( 1 9 2 5 ) 就引用了近3 0 项关于算 术错误诊断的研究，与此同时，德国也有着大量类似主题的研究。错误分析最初主要针 对学生在算术计算方面的错误而展开的，近几十年来，错误分析再一次引起了研究者的 兴趣，而且不再将错误局限于算术计算，也不再是单一因素的研究，而是综合各种因素 分析学生错误，以及提出预防措施及其对策，还有其利用价值。研究表明，学生的数学 错误的类型之多、产生错误的原因之复杂，因此必须寻找一个合适的切入点，对这些错 误分析的研究从宏观和整体上进行较为系统而全面的梳理。我主要从以下三个方面将数 学错误的原因归类如下： 1 基于数学学科视角的分析 ( 1 ) 关于数学概念方面的研究 李善良在数学概念学习中的错误分析 将数学概念学习中的错误分为2 种：一为 过程性错误，二为“合理性 错误。前者指数学概念形成过程中，从实例到意象、意象 到定义、联系到网络、运用到体系、批判到创新的各个环节中，出现错误的或不完全的 反应与操作。后者主要指概念学习中阶段、水平的转变，不同的个性倾向等所带来的概 念学习的障碍而造成的错误。他认为，过程性错误具有短暂性、外显性，是可以“预防 与“避免 的。而合理性错误则具有隐蔽性、长期性，带有“合理性”、“规律性”和“不 可避免性 。错误的合理性有助于教师正确地看待学生的错误，从而减少学生的学习焦虑。 ( 2 ) 关于数学计算方面的研究 邱学华在小学生计算错误的研究 一书中对小学数学中的计算错误进行了详细的 分类和论述。此书将小学生的计算分成六个内容，分别是整数四则计算、小数的四则运 算、分数的四则运算、四则混合运算、与几何形体有关的计算和正负数的四则运算。并 。柯普兰儿童怎样学习数学 m 】上海：上海教育出版社，1 9 8 5 年1 2 月第1 版 。李善良数学概念学习中的错误分析川数学教育学报，2 0 0 2 ，1 1 ( 3 ) ：6 1 1 。邱学华小学生计算错误的研究d 咽江苏：江苏人民出版社，1 9 7 9 年5 月第l 版 4 在每一个内容中对学生常犯的错误进行了分析，认为教师在教学中应该注重学生的操练， 这样学生可以在熟练中少犯错误。 普启跃在其计算中常见的几种错误中指出：书写不当、数学规律应用性差、四 则运算顺序不清、计算方法混淆是造成学生计算错误的主要原因。 ( 3 ) 关于数学语言理解方面的研究 付海伦在数学语言学习中的心理性错误分析圆一文中表明师生的种种数学活动， 都以数学语言为基础。学生在用数学语言表达数学对象时，难免会出现种种错误，而这 些错误会影响到学生的数学学习。并从心理方面介绍了数学语言学习中的错误，如心理 能力不足和缺乏正确的心理势态导致的错误。 2 基于心理情感视角的分析 ( 1 ) 思维过程的错误 雷格( g r a y ) 和多尔( d a l l ，1 9 9 1 ) 固看到学生在学习上存在很大差异，有的学生成 绩优异，有的则困难重重。为此，他们对造成学优生和学困生成绩上存在质性差异的原 因进行了分析，证明造成学生成绩存在显著差异的原因在于他们的思维过程。学困生往 往采用比较安全的方式来进行运算，而学优生很快就发展了一种更灵活的方式，即他们 能够把符号看做是一个可以得出结果的过程，同时还把它看出是一个可以在更高一级水 平使用的概念。 ( 2 ) 信息加工的错误 德国学者h e n d r i kr a d a t z ( 1 9 7 9 ) 用信息加工的观点，对学生的数学错误提出了自 己的看法。r a d a t z 认为数学学习可以看成是一个对信息进行加工的过程。因而对于学生 的数学错误，可以按信息处理的过程进行分类，即数学任务中信息的获得、处理、保持 和再生产的机制。从而，错误的产生可以看成是：( 1 ) 由于语言困难产生的错误。对于许 多学生而言，数学概念、符号和语言类似于一门“外语 学习的问题。例如，在解决文 字题时，需要从自然语言的句子中提取有着丰富背景的数学信息。( 2 ) 由于获得空间信息 困难产生的错误。( 3 ) 由于前提技能、事实和概念掌握不牢而产生的错误。( 4 ) 由于不正 确的联系或思维的顽固性产生的错误。( 5 ) 由于不正确的规则或策略的应用而产生的错 普启跃计算中常见的几种错误川小学数学参考，2 0 0 2 ( 4 ) 圆傅海伦数学语言学习中的心理性错误分析阴数学通报，1 9 9 6 ，( 1 2 ) ：1 3 。邰舒竹数学教学基础 m 】北京：教育科学出版社2 0 0 7 年，第1 3 2 页 由郜舒竹数学教学基础嗍北京：教育科学出版社2 0 0 7 年，第1 3 0 页 误。 ( 3 ) 认知方面的错误 布鲁索提出了认知障碍观( t h ec o n c e p to fo b s t a c l e ) 的理论( b r o u s s e a u ，1 9 5 3 ) 回。 认知障碍原意指潜藏于认知活动本身、与认知行为同时并存但被当下的认知活动所无法 逾越的一种障碍。认知障碍观指的是学习者已有的一些知识存在两面性，一方面是进一 步学习、理解的基础或必经之路，另一方面因包括有错误的或不够全面的成分，就有可 能妨碍新知识的建立和运用，若正确掌握和运用新知识，就必须对新旧知识之间的分歧 有着清楚的认识。认知障碍观如今已经成为数学教育领域中解释学生的数学错误的一个 十分有用的观点。在8 0 年代，大量的研究表明，许多国家的学生在解决文字题时有一种 忽视情境现实性的普遍趋向。有一道著名的“船长的年龄 问题，相信大家都听说过：“在 一条船上，有2 6 条绵羊和1 9 条山羊，问船长多少岁? ”显然，这一问题是没有任何逻辑 答案的，但事实上许多学生却给出了答案。另一个例子是：“在一畜群中有1 2 5 条绵羊和 5 条狗，问牧羊人有多大? 学生中一种典型的回答是：1 2 5 + 5 = 1 3 0 ，这个数太大，1 2 5 5 = 1 2 0 仍然太大，而1 2 5 - - 5 = 2 5 刚好合适。所以我认为答案是2 5 。对于学生关于类似问 题的回答，布鲁索( 1 9 8 4 ) 提出了教学契约观( t h ec o n c e p to fd i d a c t i cc o n t r a c t ) ，给 出了合理的解释。布鲁索( 1 9 8 4 ) 认为：在所有的教学情境中，会发生教学契约的一种协商 ( n e g o t i a t i o n ) ，教学契约中有三个元素存在：学生( 被教的人) 、教师( 教的人) 和知识( 用 来教的材料) ；教学契约的作用在于调整教师与学生之间关于将要获得的知识的互动。而 学生在学校中所面临的问题有着某些共同之处：( 1 ) 课堂上的问题有且只有一个答案；( 2 ) 为了得出这一答案：所有的数据都必须用到：没有其它的暗示；合适地使用数据意味着能 合理地组合各种熟悉的程序。这就是“船长的年龄 这一类似问题产生的原因。 陈燕、罗增儒、赵建斌( 2 0 0 9 ) 在从认知负荷理论看数学错误中指出，错误是学 生对数学学习内容、材料理解的一种反应，是对数学知识的一种体验。从而提出了认知 负荷理论，他的特点是工作记忆容量的有限性以及注意对信息选择中认知资源的有限性。 认知负荷理论强调工作记忆容量的有限性以及图式构建的作用。工作记忆负荷与学生活 动以及材料的内在本质、材料的呈现形式有关，影响数学问题解决中信息的提取和存储。 图式的有效构建可以降低认知负荷，减少数学错误。 ( 4 ) 情感因素的错误 。彭爱辉初中数学教师错误分析能力研究 d 西南大学博士学位论文，2 0 0 7 6 6 意大利学者g i o r g i ot b a g n i 咐学生错误原因的分析比较注重心理方面中的情感因 素，他认为学生出错的原因主要是以下两方面：首先，学生喜欢简单、更容易和著名的 方法、思想；其次，学生害怕困难的东西，害怕题目无解圆。 3 基于错误利用视角的分析 ( 1 ) 错误的合理性 美国学者e r l w a n g e r ，a s h l o c k ，g i n s b u r g 等人对数学学习中的错误做了研究，而且更 强调错误的合理性。他们认为，从现实的错误类型中可清楚的看出，很多错误是有规律 的而不是偶然的，从学习者身上观察的一系列错误表明，错误不是教给的，而是学习者 构造了自己特有的概念与程式造成的 。 ( 2 ) 错误可以作为一种有效的教学资源 德国教授e r i c am e l i s ( u n i v e r s i t a td e ss a a r l a n d e s ) 很重注重错误案例的教育功 能，指出错误案例的正确运用会激发学生的元认知，并且还可以引起学生自我解释、反 思、探究、批判性的思考。 王鹏飞在尝试错误”教学法初探一文中指出错误是学生在学习中自然存在的现 象，在数学教学中企图完全避免错误是没有必要的。相反，在某些情况下却需要有意识 地让学生专门进行“尝试错误 的活动。这样，一方面可充分暴露学生思维的薄弱环节， 有利于对症下药；另一方面能使学生认识到错误之所在，有利于自诊自治，提高对错误 的“免疫力”。 喻其容、李德明在数学习题教学中“错的有理 一文中认为在教学过程中，根据 内容的需要，有意把习题错解或解得不严密，让学生来发现其中的问题，可以收到了很 好的教学效果。 韩华球在错误一笔重要的教学资源中认为课堂教学中学生出现的错误是一笔 重要的教学资源，应着力挖掘其教学价值。 三、研究方法 ( 一) 质的研究方法 o c y p r u sn i c o s i a i ni n v e s t i g a t i o no fs o m em i s c o n c e p t i o ni nh i g hs c h o o ls t u d e n t s m i s t a k e sl e a r n i n gi n m a t h e m a t i c sa n ds c i e n c ea n de d u c a t i o n a lt e c h n o l o g y j i n t e r - c o l l e g ep r e s s ，2 0 0 1 年 圆郜舒竹数学教学基础【m 】北京：教育科学出版社2 0 0 7 年，第1 3 4 页 o p a u le r n e s t m a t h e m a t i c se d u c a t i o n a lp h i l o s o p h y d 咽齐建华译上海：上海教育出版社1 9 9 8 年 。王鹏飞“尝试错误”教学法初探明中学数学教学参考，1 9 9 8 ，( 7 ) ；9 1 1 西喻其容，李德明数学 - 3 题教学中“错的有理”阴数学教学通讯，2 0 0 5 ，( 1 2 ) ：2 1 2 3 o 韩华球错误一笔重要的教学资源叨课程教材教法，2 0 0 5 ，2 5 ( 3 ) ：2 6 2 9 7 1 质的研究方法的定义 质的研究方法的英文名称是“q u a l i t a t i v er e s e a r c h 。它是以研究者本人作为研 究工具、在自然情境下采用多种资料收集方法对社会现象进行整体性探究、使用归纳法 分析资料和形成理论、通过与研究对象互动对其行为和意义建构获得解释性理解的一种 活动。它包括以下几方面的内容，即研究环境、研究者的角色、收集资料的方法、结论 和理论的形成方式、理解的视角和研究关系。质的研究方法主要体现在对研究对象的访 谈上。比如对学生的错误原因进行访谈，让学生自己叙述出错的思维过程( “出声的思 维”) ，从而了解学生错误的原因。同时通过访谈，还可以了解学生的数学学习特点及心 理特点，为下一步的纠正错误做好准备。意大利的拜格尼( g i o r g i ot b a c n t ) 关于情感 因素是导致线性映射错误和平衡误解错误阐述原因的结论就是在其对学生进行访谈的基 础上的得到的。 这个定义包括以下几个方面的意思： ( 1 ) 研究环境：在自然环境而非人工控制环境中进行研究。 ( 2 ) 研究者的角色：研究者本人是研究的工具，通过长期深入实地体验生活从事研究， 研究者本人的素质对研究的实施十分重要。 ( 3 ) 收集资料的方法：采用多种方法，如开放型访谈、参与型和非参与型观察、实物 分析等收集资料，一般不使用量表或其他测量工具。 ( 4 ) 结论和或理论的形成方式：归纳法，自下而上在资料的基础上提升出分析类别 和理论假设。 ( 5 ) 理解的视角：主体间性的角度，通过研究者与被研究者之间的互动理解后者的行 为及其意义解释。 ( 6 ) 研究者与被研究者的关系：互动的关系，在研究中要考虑研究者个人及其与被研 究者的关系对研究的影响，要反思有关的伦理道德问题和权力问题。 2 质的研究方法与量的研究方法的区别 量的方法比较适合在宏观层面对事物进行大规模的调查和预测；质的研究比较适合 在微观层面对个别事物进行细致、动态的描述和分析。量的研究证实的是有关社会现象 的平均情况，因而对抽样总体具有代表性；而质的研究擅长于对特殊现象进行探讨，以 。陈向明教师如何作质的研究 m 北京：教育科学出版社，2 0 0 1 6 ，第1 2 页 。陈向明质的研究方法和社会科学研究 m 北京：教育科学出版社，2 0 0 0 年1 月版 8 求发现问题或提出新的看问题的视角。量的研究将事物在某一时刻凝固起来，然后进行 数量上的计算；而质的研究使用语言和图像作为表述的手段，在时间的流动中追踪事件 的变化过程。量的研究从研究者自己事先设定的假设出发，收集数据对其进行验证；而 质的研究强调从当事人的角度了解他们的看法，注意他们的心理状态和意义建构。量的 研究极力排除研究者本人对研究的影响，尽量做到价值中立；而质的研究十分重视研究 者对研究过程和结果的影响，要求研究者对自己的行为进行不断的反思。 3 采用质的研究方法的原因 教育的研究方法一般包括质性研究和定量研究两种。目前对数学错误的研究，学者 们多侧重一种方法，也有个别学者综合采用这两种方法。一般来说，首先对资料整理， 明确错误的标准，接着就是要了解