高考数学 14直角三角形的射影定理课件 新人教A版选修41.ppt

第4课时直角三角形的射影定理 课标要求 1 理解直角三角形的射影定理 2 理解直角三角形射影定理的逆定理 核心扫描 用射影定理解决直角三角形的有关问题 重 难点 自学导引1 射影的有关概念 1 点在直线上的正射影 从一点向一直线所引垂线的垂足 叫做这个点在这条直线上的 2 线段在直线上的正射影 一条线段在直线上的正射影 是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段 正射影 2 直角三角形的射影定理 1 直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的 两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的 2 符号表示 如图 cd是rt abc的斜边ab上的高 则 1 ac2 2 bc2 3 cd2 比例中项 比例中项 ad ab bd ba ad bd 名师点睛1 应用射影定理有两个条件 一是直角三角形 二是斜边上的高 应用射影定理可求直角三角形的边长 面积等有关量 还可研究相似问题 比例式等问题 2 直角三角形射影定理的逆定理如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项 那么这个三角形是直角三角形 符号表示 如图 在 abc中 cd ab于d 若cd2 ad bd 则 abc为直角三角形 证明 cd ab cda bdc 90 又 cd2 ad bd 即ad cd cd bd acd cbd cad bcd 又 acd cad 90 acb acd bcd acd cad 90 即 abc为直角三角形 3 利用射影定理作两线段的比例中项根据直角三角形的射影定理 存在三组线段中其中一条线段是另两条线段的比例中项的关系 我们可以构造一个直角三角形 使其中的两条线段为已知线段 从而可找出它们的比例中项 如图所示 在rt abc中 acb 90 cd ab 法一先作出ad bd等于已知线段 作出直角三角形就可以得到已知两线段的比例中项cd 法二先作出ad ab等于已知线段 作出直角三角形就可得到已知线段的比例中项ac 题型一射影的概念 例1 如图所示 ad bc fe bc 求点a b c d e f g和线段ab ac af fg在直线bc上的射影 思维启迪 要求已知点和线段在直线bc上的射影 需过这些点或线段的端点 作bc边的垂线 解由ad bc fe bc知 a在bc上的射影是d b在bc上的射影是b c在bc上的射影是c e f g在bc上的射影都是e ab在bc上的射影是db ac在bc上的射影是dc af在bc上的射影是de fg在bc上的射影是点e 反思感悟求点和线段在直线上的射影 1 点在直线上的射影就是由点向直线引垂线 垂足即为射影 2 线段在直线上的射影就是由线段的两端点向直线引垂线 两垂足间的线段就是所求射影 题型二射影定理的应用 例2 如图所示 在rt abc中 bac 90 ad bc于d df ac于f de ab于e 试证明 1 ab ac ad bc 2 ad3 bc be cf 思维启迪 本题第 1 问是等积法求得的 在第 2 问中 在rt bac中 有ab ac ad bc ad2 bd dc 在rt adb中 有bd2 be ab 在rt adc中 有cd2 cf ac 由这些关系式便可得到待证式 变式2 如图 cd是rt abc的斜边ab上的高线 求证 cd ac bc ad 证明在rt abc中 cd ab cd2 bd ad bc2 bd ab ac2 ad ab cd2 ac2 bd ab ad2 bc2 ad2 cd