如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(2,3),B(6,1),C(0,-2)._第1页
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如图，已知抛物线y=ax2bxc经过点A（2，3），B（6，1），C（0，2）（1）求此抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为顶点式；（2）点P是抛物线对称轴上的动点，当APCP时，求点P的坐标；（3）设直线BC与x轴交于点D，点H是抛物线与x轴的一个交点，点E（t，n）是抛物线上的动点，四边形OEDC的面积为S当S取何值时，满足条件的点E只有一个？当S取何值时，满足条件的点E有两个？【答案】解：（1）将A，B，C三点坐标代入y=ax2bxc中，得，解得。y=x2x2=（x）2。（2）设点P（，m），分别过A、C两点作对称轴的垂线，垂足为A，C。APCP，AAPPCC。，即，解得m1=，m2=。P（，）或（，）。（3）由B（6，1），C（0，2），得直线BC的解析式为y=x2，D（4，0）。四边形OEDC只能在x上方，n0。又S=SCDOSEDO=，。点E（t，n）在抛物线上，n =t 2t2，代入，得关于t的方程t 27 tS=0，方程根的判别式=494S。当=0时，S=，此时方程只有一解，满足条件的点E只有一个，位于抛物线顶点处（图1）。当0时，S，由S4，所以4S。此时点E的情况如下：设B是抛物线上点B关于对称轴的对称点，即n =1，S=6。由t 27 t6=0得t=1或t=6。此时点E的坐标为（1，1）或（6，1），即满足条件的点E与点B或B重合（图2）。当6S时，方程有两个不相等的根，此时，1t6，1n，故满足条件的点E位于直线BB上方的抛物线上。故此时满足条件的点E有两个（图3）。当4S6时，方程有两个不相等的根，此时，0n1，而满足条件的点E只能在点H与点B之间的抛物线上。故此时满足条件的点E只有一个（图4）。 综上所述，当4S6或S=时，满足条件的点E有一个；当6S时，满足条件的点E有两个。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的对称性，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式。【分析】（1）将A、B、C三点坐标代入y=ax2+bx+c中，列方程组求抛物线解析式，再用配方法求顶点式。（2）当APCP时，分别过A、C两点作对称轴的垂线，垂足为A，C，利用互余关系得角相等，证明AAPPCC，利用相似比求P点坐标。（3）分别求出点E为抛物线顶点，E，B重合时，图形的面积，当E点为抛物线顶点
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