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第三节 三重积分 换元法计算三重积分 一 柱面坐标求三重积分二 球面坐标求三重积分 1 回顾三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想 采用 引例 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的 物质 求分布在 内的物质的 可得 分割 近似 求和 取极限 解决方法 质量M 密度函数为 2 定义 设 存在 称为体积元素 若对 作任意分割 任意取点 则称此极限为函数 在 上的三重积分 在直角坐标系下常写作 下列 乘 积和式 极限 3 1 利用直角坐标计算三重积分 方法1 投影法 先一后二 方法2 截面法 先二后一 先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算 最后 推广到一般可积函数的积分计算 的密度函数 方法 4 方法1 投影法 先一后二 找及在面投影区域D 过D上一点 穿线 确定的积分上下限 完成了 先一 这一步 定积分 进而按照二重积分的计算步骤计算投影区域D上的二重积分 完成 后二 这一步 5 方法2 截面法 先二后一 为底 dz为高的柱形薄片质量为 该物体的质量为 面密度 6 2 利用柱坐标计算三重积分 就称为点M的柱坐标 直角坐标与柱面坐标的关系 坐标面分别为 圆柱面 半平面 平面 7 如图所示 在柱面坐标系中体积元素为 在二重积分的时候我们讲过极坐标的转化面积微元为 因此 其中 适用范围 1 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 2 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离 体积微元 8 其中 为由 例1 计算三重积分 所围 解 在柱面坐标系下 及平面 柱面 成半圆柱体 先二后一 9 例2 计算三重积分 解 在柱面坐标系下 所围成 与平面 其中 由抛物面 原式 10 例3 计算三重积分 解 在柱面坐标系下 所围立体 其中 与球面 注 这个式子虽容易写出 但是要求积分结果非常难 我们能不能找到更加简便的方法来研究这道题目呢 11 3 利用球坐标计算三重积分 就称为点M的球坐标 直角坐标与球面坐标的关系 坐标面分别为 12 如图所示 在球面坐标系中体积元素为 因此有 其中 适用范围 1 积分域表面用球面坐标表示时方程简单 2 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离 13 例5 计算三重积分 解 在球面坐标系下 所围立体 其中 与球面 这种方法简单多了 14 内容小结 积分区域多由坐标面 被积函数形式简洁 或 说明 三重积分也有类似二重积分的换元积分公式 对应雅可比行列式为 变量可分离 围成 15 1 若空间闭区域关于平面对称 即 即被积函数关于z为偶函数时 即被积函数关于z为奇函数时 则当 当 其中是位于平面上侧的部分 积分区域关于其它坐标平面 对称 且被积 函数分别是的奇 偶函数 也有上述类似的结论 一 利用空间区域的对称性或被积函数的奇偶性计算三重积分 16 2 若空间区域具有轮换对称性 即 则 也就是三字母轮换积分区域不改变 17
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