高三数学二轮复习（核心自查++热点高考探究+方法专项突破+备选高效演练）点、直线、平面之间的位置关系课件 文.ppt

点 直线 平面之间的位置关系 一 主干知识1 线面平行与垂直的判定定理 性质定理 2 面面平行与垂直的判定定理 性质定理 二 重要关系的转化1 平行关系的转化 2 垂直关系的转化 线线垂直线面垂直面面垂直 判定定理性质定理 判定定理性质定理 1 2013 浙江高考 设m n是两条不同的直线 是两个不同的平面 a 若m n 则m nb 若m m 则 c 若m n m 则n d 若m 则m 解析 选c a项 当m n 时 m n可能平行 可能相交 也可能异面 故错误 b项 当m m 时 可能平行也可能相交 故错误 c项 当m n m 时 n 故正确 d项 当m 时 m可能与 平行 可能在 内 也可能与 相交 故错误 故选c 2 2013 新课标全国卷 已知m n为异面直线 m 平面 n 平面 直线l满足l m l n l l 则 a 且l b 且l c 与 相交 且交线垂直于ld 与 相交 且交线平行于l 解析 选d 根据所给的已知条件作图 如图所示 由图可知 与 相交 且交线平行于l 故选d 3 2013 济南模拟 已知两条直线a b与两个平面 b 则下列命题中正确的是 若a 则a b 若a b 则a 若b 则 若 则b a b c d 解析 选a 根据线面垂直的性质可知 正确 中 当a b时 也有可能为a 所以 错误 中垂直于同一直线的两个平面平行 所以正确 中的结论也有可能为b 所以错误 所以命题正确的有 选a 4 2013 昆明模拟 若 是两个不同的平面 下列四个条件 存在一条直线a a a 存在一个平面 存在两条平行直线a b a b a b 存在两条异面直线a b a b a b 其中可以是 的充分条件的有 a 4个b 3个c 2个d 1个 解析 选c 可以 也有可能相交 所以不正确 也有可能相交 所以不正确 根据异面直线的性质可知 可以 所以可以是 的充分条件的有2个 选c 热点考向1空间位置关系命题真假的判断 典例1 1 已知m n是两条不同直线 是两个不同平面 给出四个命题 m n n m 则 m m 则 m n m n 则 m n m n 则 其中正确的命题是 a b c d 2 2013 济南模拟 设m n是空间两条直线 是空间两个平面 则下列选项中不正确的是 a 当m 时 n 是 m n 的必要不充分条件b 当m 时 m 是 的充分不必要条件c 当n 时 n 是 成立的充要条件d 当m 时 n 是 m n 的充分不必要条件 解题探究 1 m m n 则n与平面 有怎样的位置关系 提示 n 或n在平面 内 2 m n m 则n与平面 有怎样的位置关系 提示 n 或n在平面 内 解析 1 选b 由面面平行的判定定理知 正确 中由m m n知n 或n在平面 内 又n 从而 故 正确 不正确 选b 2 选a 对于选项a 当m n m 时n 或n在平面 内 故a不正确 方法总结 求解空间线面位置关系的组合判断题的两大思路 1 借助空间线面平行 面面平行 线面垂直 面面垂直的判定定理和性质定理逐项判断 2 借助空间几何模型 如从长方体模型 四面体模型等模型中观察线面位置关系 结合有关定理 进行肯定或否定 变式训练 2013 杭州模拟 设l是直线 是两个不同的平面 a 若l l 则 b 若l l 则 c 若 l 则l d 若 l 则l 解析 选b 对于a 若l l 则 可能相交 故a错 对于b 若l 则平面 内必存在一条直线m与l平行 则m 又m 故 从而b正确 对于c 若 l 则l可能在平面 内 故c错 对于d 若 l 则l可能与 平行 故d错 热点考向2平行关系的证明 典例2 在如图所示的多面体abcde中 ab 平面acd de 平面acd 且ac ad cd de 2 ab 1 1 请在线段ce上找到点f的位置 使得恰有直线bf 平面acd 并证明 2 求多面体abcde的体积 解题探究 1 证明bf 平面acd的两个关键 由ab 平面acd de 平面acd可得到结论 根据及ab与de的关系可联想到点f的位置是 2 求多面体abcde体积的两个要点 多面体abcde是规则图形吗 提示 多面体abcde是以点c为顶点 平面abed为底面的四棱锥 多面体abcde的高易求吗 提示 acd中ad边的中线长就是多面体abcde的高 ab ed 点f 是ce的中点 解析 如图 1 由已知ab 平面acd de 平面acd 所以ab ed 设f为线段ce的中点 h是线段cd的中点 连接fh ah 则fh所以fhab 所以四边形abfh是平行四边形 所以bf ah 又因为bf 平面acd ah 平面acd 所以bf 平面acd 2 取ad中点g 连接cg 因为ab 平面acd 所以cg ab 又cg ad ab ad a 所以cg 平面abed 即cg为四棱锥c abed的高 求得所以vc abed 互动探究 若本题条件不变 试求直线ce与平面abed所成角的正弦值 解析 连接eg 由本题 2 解析知cg 平面abed 所以 ceg即为直线ce与平面abed所成的角 设为 在rt ceg中 有 方法总结 1 证明线线平行的常用方法 1 利用平行公理 即证明两直线同时和第三条直线平行 2 利用平行四边形进行转换 3 利用三角形中位线定理证明 4 利用线面平行 面面平行的性质定理证明 2 证明线面平行的常用方法 1 利用线面平行的判定定理 把证明线面平行转化为证明线线平行 2 利用面面平行的性质定理 把证明线面平行转化为证明面面平行 3 证明面面平行的方法证明面面平行 依据判定定理 只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可 从而将证明面面平行转化为证明线面平行 再转化为证明线线平行 变式备选 如图所示 已知六棱锥p abcdef的底面是正六边形 pa 平面abc ab 2 m是pa的中点 1 求证 平面pcd 平面mbe 2 求四棱锥m bcde的体积 解析 1 连接ad交be于点g 连接mg 则点g是正六边形的中心 所以g是线段ad的中点 因为m是pa的中点 所以mg pd 因为pd 平面mbe mg 平面mbe 所以pd 平面mbe 因为dc be dc 平面mbe be 平面mbe 所以dc 平面mbe 因为pd dc d 所以平面pcd 平面mbe 2 因为六棱锥p abcdef的底面是正六边形 pa 平面abc ab 2 m是pa的中点 所以所求棱锥的高为底面面积为所以所求棱锥的体积为 热点考向3垂直关系的证明 典例3 2013 黄冈模拟 如图 三棱柱abc a1b1c1的侧面aa1b1b为正方形 侧面bb1c1c为菱形 cbb1 60 ab b1c 1 求证 平面aa1b1b 平面bb1c1c 2 若ab 2 求三棱柱abc a1b1c1的体积 解题探究 1 根据条件和面面垂直的判定定理可知 要证平面aa1b1b 平面bb1c1c 只需证明什么 提示 只需证明ab 平面bb1c1c 2 求三棱柱abc a1b1c1体积的两个关键 由平面aa1b1b 平面bb1c1c可求得点c到平面aa1b1b的距离为 从而可求三棱锥的体积为 根据知 三棱柱abc a1b1c1与三棱锥c abb1的体积的关系是 解析 1 由侧面aa1b1b为正方形 知ab bb1 又ab b1c bb1 b1c b1 所以ab 平面bb1c1c 又ab 平面aa1b1b 所以平面aa1b1b 平面bb1c1c 2 由题意 cb cb1 设o是bb1的中点 连接co 则co bb1 由 1 知 co 平面aa1b1b 且连接ab1 则因为故三棱柱abc a1b1c1的体积 方法总结 1 证明线线垂直的常用方法 1 利用特殊平面图形的性质 如利用直角三角形 矩形 菱形 等腰三角形等得到线线垂直 2 利用勾股定理逆定理 3 利用线面垂直的性质 即要证明线线垂直 只需证明一线垂直于另一线所在平面即可 2 证明线面垂直的常用方法 1 利用线面垂直的判定定理 把线面垂直的判定转化为证明线线垂直 2 利用面面垂直的性质定理 把证明线面垂直转化为证明面面垂直 3 利用常见结论 如两条平行线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于这个平面等 3 证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理 即证明一个面过另一个面的一条垂线 将证明面面垂直转化为证明线面垂直 一般先从现有直线中寻找 若图中不存在这样的直线 则借助中点 高线或添加辅助线解决 变式训练 2013 江西高考 如图 直四棱柱abcd a1b1c1d1中 ab cd ad ab ab 2 ad aa1 3 e为cd上一点 de 1 ec 3 1 证明 be 平面bb1c1c 2 求点b1到平面ea1c1的距离 解析 1 过点b作cd的垂线交cd于点f 则ef ab de 1 fc 2 在rt bfe中 在rt cfb中 在 bec中 因为be2 bc2 9 ec2 所以be bc 又由bb1 平面abcd得be bb1 又bb1 bc b 故be 平面bb1c1c 2 在rt a1d1c1中 同理 则设点b1到平面ea1c1的距离为d 则三棱锥b1 ea1c1的体积为从而 典例 如图1 在rt abc中 c 90 d e分别为ac ab的中点 点f为线段cd上的一点 将 ade沿de折起到 a1de的位置 使a1f cd 如图2 1 求证 de 平面a1cb 2 求证 a1f be 3 线段a1b上是否存在点q 使a1c 平面deq 说明理由 解析 1 因为d e分别是ac ab的中点 所以de bc 又因为de 平面a1cb bc 平面a1cb 所以de 平面a1cb 2 因为de bc ac bc 所以de ac 所以de a1d de cd 因为a1d cd d 所以de 平面a1dc 因为a1f 平面a1dc 所以de a1f 又因为a1f cd cd de d 所以a1f 平面bcde 因为be 平面bcde 所以a1f be 3 存在 取a1b的中点q a1c的中点p 连接dp pq qe 则pq bc 所以pq de 由 2 知de 平面a1dc 所以de a1c 所以pq a1c 因为a1d dc 所以 a1dc是等腰三角形 又因为点p为a1c的中点 所以a1c pd 因为pd pq p 所以a1c 平面pqed 即a1c 平面deq 方法总结 1 解决折叠问题的关键点 1 搞清翻折前后哪些量改变 哪些量不变 抓住翻折前后不变的量 充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口 2 把平面图形翻折后 经过恰当连线就能得到三棱锥 四棱锥 从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决 2 求解探索性问题的一般步骤 1 假设其存在 被探索的点一般为线段的中点 三等分 四等分点或垂足 2 在假设下进行推理论证 如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设 如果得到了矛盾结论就否定假设 转化与化归思想 解决立体几何中的探索性问题 思想诠释 1 主要类型 1 对平行或垂直关系的探索 2 对条件或结论不完备的开放性问题的探索 2 解题思路 首先假设其存在 然后在这个假设下推理论证 如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设 若推出了矛盾就否定假设 3 注意事项 1 解决此类问题的关键是通过条件与所求把要探索的问题确定下来 2 在转化过程中要有理有据 不能凭空猜测 典例 12分 2013 西城模拟 如图 直三棱柱abc a1b1c1中 ac bc ac bc cc1 2 m n分别为ac b1c1的中点 1 求线段mn的长 2 求证 mn 平面abb1a1 3 线段cc1上是否存在点q 使a1b 平面mnq 说明理由 审题 分析信息 形成思路 1 切入点 从证明ac 平面bcc1b1入手 关注点 注意条件cc1 平面abc的应用 2 切入点 根据m n分别为ac b1c1的中点 联想到三角形中位线 从而作出辅助线 关注点 注意侧面bcc1b1是正方形 3 切入点 从确定点q的位置入手 关注点 点q的位置确定后 以此为条件进行证明 解题 规范步骤 水到渠成 1 连接cn 因为abc a1b1c1是直三棱柱 所以cc1 平面abc 所以ac cc1 2分因为ac bc 所以ac 平面bcc1b1 因为mc 1 cn 所以 4分 2 取ab中点d 连接dm db1 在 abc中 因为m为ac的中点 所以dm bc 在矩形b1bcc1中 因为n为b1c1的中点 所以b1n bc 所以dm b1n dm b1n 所以四边形mdb1n为平行四边形 所以mn db1 7分因为mn 平面abb1a1 db1 平面abb1a1 所以mn 平面abb1a1 8分 3 线段cc1上存在点q 且q为cc1中点时 有a1b 平面mnq 证明如下 连接bc1 nq mq 在正方形bb1c1c中易证qn bc1 又a1c1 平面bb1c1c 所以a1c1 qn 从而qn 平面a1bc1 10分所以a1b qn 同理可得a1b mq 所以a1b 平面mnq 故线段cc1上存在点q 使得a1b 平面mnq 12分 点题 规避误区 失分警示 变题 变式训练 能力迁移 2013 北京模拟 在如图所示的几何体中 四边形abcd是菱形 adnm是矩形 平面adnm 平面abcd p为dn的中点