高中数学 6.1不等式的性质及应用配套课件 理 新人教A版.ppt

第一节不等式的性质及应用 完全与教材同步 主干知识精心提炼 素质和能力源于基础 基础知识是耕作 半亩方塘 的工具 视角从 考纲点击 中切入 思维从 考点梳理 中拓展 智慧从 即时应用 中升华 科学的训练式梳理峰回路转 别有洞天 去尽情畅游吧 它会带你走进不一样的精彩 三年4考高考指数 1 理解不等式的性质 2 掌握两个 不扩展到三个 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理 并会简单的应用 1 结合对所给结论的判断考查不等式的性质 2 以考查均值不等式的应用为重点 兼顾考查代数式的变形 化简能力 3 运用比较法证明不等式 与其他知识结合考查均值不等式是高考的重点 4 题型以选择题和填空题为主 考查两式大小的比较或求最值 也可能出以函数为载体的解答题 1 不等式的性质 1 不等式的基本性质 a b b a a b b c a c a b a c b c a b c 0 ac bc a b c 0 ac bc 2 不等式的运算性质 a b c d a c b d a b 0 c d 0 ac bd a b 0 0 c d ab 0 a b a b 0 n n an bn a b 0 n n 即时应用 1 思考 a b an bn n n 一定成立吗 提示 若n为奇数 则不等式成立 若n为偶数 则不等式不一定成立 2 判断下列命题是否正确 请在括号中填 或 a b ac2 bc2 a b lga lgb a b a b 解析 错 当c 0时不成立 错 当a 0或b 0时不成立 错 当ab 0时不成立 由性质可知 成立 答案 3 已知a 0 1 b 0 那么a ab ab2的大小关系是 解析 由 1 b 0 可得b b2 1 又a 0 所以a ab2 ab 答案 a ab2 ab 4 下列不等式 a 0 b b a 0 b 0 a 0 b a 其中能使 成立的充分条件有 填序号 解析 0 b a与ab异号 能使b a与ab异号 答案 2 算术平均数与几何平均数定理 或称均值不等式 如果a b是正数 当且仅当a b时取等号 即时应用 1 若a 0 则a 2 a2 b2 2ab 解析 1 a 2 其中当且仅当a 1时取等号 2 a2 b2 2 ab 2ab 其中当且仅当a b时取等号 答案 1 2 2 3 利用均值不等式解决最值问题 1 如果x y 0 且xy p 定值 则当且仅当x y时x y有最小值为 2 如果x y 0 且x y s 定值 则当且仅当x y时xy有最大值为 即时应用 1 若x 0 则x 的最小值是 2 若x 0 y 0且x 2y 1 则xy的最大值为 解析 1 x 0 x 其中当且仅当x 时取等号 2 x 0 y 0 x 2y 1 xy x 2y 其中当且仅当x 2y 即x y 时取等号 答案 1 2 例题归类全面精准 核心知识深入解读 本栏目科学归纳考向 紧扣高考重点 方法点睛 推门只见窗前月 突出解题方法 要领 答题技巧的指导与归纳 经典例题 投石冲破水中天 例题按层级分梯度进行设计 层层推进 流畅自然 配以形异神似的变式题 帮你举一反三 触类旁通 题型与方法贯通 才能高考无忧 不等式的性质 方法点睛 不等式性质的应用问题 1 应用不等式性质时一定要分清条件和结论 使解题过程有理有据 2 函数方程 不等式经常相互渗透 涉及到多个参变量求范围时 可借用方程的思想进行整体换元 再利用不等式的性质求解 例1 1 2011 浙江高考 若a b为实数 则 0 ab 1 是 a 或b 的 a 充分而不必要条件 b 必要而不充分条件 c 充分必要条件 d 既不充分也不必要条件 2 已知函数f x ax2 bx 且1 f 1 2 2 f 1 4 求f 2 的取值范围 解题指南 1 准确使用不等式的基本性质进行判断 2 可利用待定系数法寻找目标式f 2 与已知式f 1 f 1 之间的关系 即用f 1 f 1 表示f 2 再利用不等式的性质求f 2 的范围 规范解答 1 选a 0 ab 1可分为两种情况 当a 0 b 0时 由0 ab 1两边同除以b可得a 当a 0 b 0时 两边同除以a可得b 0 ab 1 是 a 或b 的充分条件 反之 当a 或b 时 可能有ab 0 0 ab 1 是 a 或b 的不必要条件 故应为充分而不必要条件 2 设f 2 mf 1 nf 1 m n为待定系数 则4a 2b m a b n a b 即4a 2b m n a n m b 于是得 解得 f 2 3f 1 f 1 又 1 f 1 2 2 f 1 4 5 3f 1 f 1 10 故5 f 2 10 互动探究 若本例 2 中的条件不变 求f 2 的取值范围 解析 设f 2 mf 1 nf 1 m n为待定系数 则4a 2b m a b n a b 即4a 2b m n a n m b 于是得 即 所以f 2 f 1 3f 1 又1 f 1 2 2 f 1 4 7 f 1 3f 1 14 故7 f 2 14 故f 2 的取值范围为 7 14 反思 感悟 1 利用不等式的性质判断一个命题是否为另一个命题的充要条件 1 找到与命题相关的性质 2 明确不等式性质成立的条件 3 对于选择题 填空题更要注意特殊值法的应用 2 应用整体代换思想可在不等式等价变换中减少因范围扩大或缩小带来的错误 变式备选 适当增加不等式的条件使下列命题成立 1 若a b 则ac bc 2 若ac2 bc2 则a2 b2 3 若a b 则lg a 1 lg b 1 4 若a b c d 则 5 若a b 则 解析 1 原命题改为 若a b且c 0 则ac bc 故可增加条件 c 0 2 由ac2 bc2可得a b 当b 0时 有a2 b2 故可增加条件 b 0 3 由a b可得a 1 b 1 但作为对数的真数应有b 1 0 故应增加条件 b 1 4 当a b 0 c d 0时 一定有 故可增加条件 b 0 d 0 5 由ab 0 a b 知 可增加条件 ab 0 答案不唯一 实数 代数式 大小的比较 方法点睛 比较两实数或两代数式的大小的常用方法 1 作差法 作差 变形 判断符号 得出结论 2 作商法 验证两实数或两代数式都为正 或负 作商 变形 判断与1的大小 得出结论 适用于两代数式都为幂的形式的大小比较 3 赋值法 特殊值代入 求值比较 得出结论 此法一般不作为正面证明的依据 提醒 在应用作商法比较大小时 一定要注意被比较的数或代数式的正负 例2 1 已知a 1且a r 试比较与1 a的大小 2 若a 0 b 0 试比较aabb与abba的大小 解题指南 第 1 题适用作差法比较 注意对a分类讨论 第 2 题适用作商法 注意对a b的大小分类讨论 规范解答 1 1 a 当a 0时 0 1 a 当a 1且a 0时 0 1 a 当a 1时 0 1 a 综上所述 a 0时 1 a a 1且a 0时 1 a a 1时 1 a 2 由a 0 b 0知aabb 0 abba 0 而 因此当a b时 1 a b 0 从而 1 即aabb abba 当a b时 aabb abba 当a b时 0 1 a b 0 从而 1 即aabb abba 综上所述 aabb abba 其中当且仅当a b时取等号 互动探究 若本例 2 条件不变 结论改为 试比较aabb与的大小 应如何求解 解析 由a 0 b 0知aabb 0 0 而 因此当a b时 1 0 从而 1 即aabb 当a b时 1 0 从而 1 即aabb 当a b时 0 1 0 从而 1 即aabb 综上所述aabb 其中当且仅当a b时取等号 反思 感悟 1 在作差法的变形中 要注意将关系式分解因式或变为完全平方式的和等易于判断式子整体符号的形式 2 当关系式中含有字母时要注意分类讨论 3 作商比较法主要解决含有幂式 指数式的数或式的大小问题 变式备选 已知正数a b c成等比数列 比较a2 b2 c2与 a b c 2的大小 解析 a b c成等比数列 ac b2 b 0 a2 b2 c2 a b c 2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 2ab 4b2 2bc 2b a 2b c 0 a2 b2 c2 a b c 2 其中当且仅当a c时取等号 均值不等式及其应用 方法点睛 利用均值不等式求最值需注意的问题1 各数 式 均为正 和或积为定值 等号能否成立 即 一正 二定 三相等 三者缺一不可 2 变形技巧 合理拆分项或配凑因式是常用的技巧 而拆与凑的目的在于使等号成立 且每项为正值 必要时出现积为定值或和为定值 例3 2011 北京高考 某车间分批生产某种产品 每批的生产准备费用为800元 若每批生产x件 则平均仓储时间为天 且每件产品每天的仓储费用为1元 为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小 每批应生产产品 a 60件 b 80件 c 100件 d 120件 解题指南 写出平均每件产品费用的函数 再利用均值不等式求出最值 规范解答 选b 平均每件产品的费用为y 20 当且仅当 即x 80时取等号 所以每批应生产产品80件 才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小 反思 感悟 1 利用均值不等式求最值要创设应用均值不等式的条件 2 在利用均值不等式处理问题时 列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤 而且也是检验转换是否有误的一种方法 变式训练 1 2011 福建高考 若a 0 b 0 且函数f x 4x3 ax2 2bx 2在x 1处有极值 则ab的最大值等于 a 2 b 3 c 6 d 9 解析 选d 由题意得f x 12x2 2ax 2b 函数f x 在x 1处有极值 f 1 0 12 2a 2b 0 即a b 6 又 a 0 b 0 由均值不等式得 ab 9 故ab的最大值是9 其中当且仅当a b时取等号 2 求函数的最小值 解析 x 1 x 1 0 y x 1 5 5 9 当且仅当x 1 即x 1时 等号成立 当x 1时 函数y 取得最小值为9 把握高考命题动向 体现区域化考试特点 本栏目以最新的高考试题为研究素材 解析经典考题 洞悉命题趋势 展示现场评卷规则 对例题不仅仅是详解评析 更是从命题层面评价考题 从备考角度提示规律方法 拓展思维 警示误区 考题体验 让你零距离体验高考 亲历高考氛围 提升应战能力 为你顺利穿越数学高考时空增添活力 运筹帷幄 决胜千里 易错误区 应用均值不等式求最值的易错点 典例 2011 湖南高考 设x y r 且xy 0 则 x2 4y2 的最小值为 解题指南 将代数式展开利用均值不等式求解 规范解答 9 当且仅当x2y2 时等号成立 答案 9 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2011 上海高考 若a b r 且ab 0 则下列不等式中 恒成立的是 a a2 b2 2ab b a b d 2 解析 选d 2 2012 河池模拟 a b且c d 是 a c b d 的 a 充分不必要条件 b 充分必要条件 c 必要不充分条件 d 既不充分也不必要条件 解析 选a a b且c d 则a c b d 而当a c b d时 则不能推出a b且c d 比如当a 5 b 2 c 1 d 3时 5 1 2 3 但5 2 1 3 3