高中数学 第1部分 第二章 2.1 2.1.3 函数的单调性课件 新人教B版必修1 .ppt

2 1函数 2 1 3函数的单调性 理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练 第二章函数 考点一 考点二 考点三 观察下列函数图象 问题1 从图象上看 自变量x增大时 函数f x 的值如何变化 提示 甲图中 函数f x 的值随x增大而增大 乙图中 函数f x 的值随x增大而减小 丙图中 在y轴左侧函数f x 的值随x的增大而减小 在y轴右侧 函数f x 的值随x的增大而增大 问题2 甲 乙两图中 若x1f x2 问题3 丙图中若x1 x2 f x1 f x2 自变量x属于哪个区间 提示 0 设函数y f x 的定义域为a 区间m a 如果取区间m中的两个值x1 x2 改变量 则当时 就称函数y f x 在区间m上是增函数 如图 1 当时 就称函数y f x 在区间m上是减函数 如图 2 x x2 x1 0 任意 y f x2 f x1 0 y f x2 f x1 0 如果函数y f x 在某个区间m上是增函数或是减函数 就说y f x 在这个区间m上具有 区间m称为单调区间 单调性 1 函数单调性定义的理解一是任意性 即 任意取x1 x2 不能取两个特殊值 二是x1 x2有大小 通常规定 x x2 x1 0 三是x1 x2同属于定义域的某个子区间 2 函数的单调性是对定义域内某个区间而言的 即单调区间是定义域的子集 如函数y x2的定义域为r 当x 0 时是增函数 当x 0 时是减函数 思路点拨 函数解析式和区间已给出 要证明函数是增函数 只需用定义证明即可 一点通 利用定义证明函数单调性的步骤如下 1 证明 函数f x 2x2 4x在 1 上是减函数 证明 设x10 y f x2 f x1 2x 4x2 2x 4x1 2 x x 4 x2 x1 2 x2 x1 x1 x2 2 x1 x2 1 x1 x2 2 0 y 0 f x 在 1 上是减函数 例2 画出函数y x2 2 x 1的图象并写出函数的单调区间 一点通 利用函数图象确定函数的单调区间 具体做法是 先化简函数解析式 然后画出它的草图 最后根据函数定义域与草图的位置 状态 确定函数的单调区间 注意 当单调性相同的区间多于一个时 用 和 或 连接 不能用 连接 3 函数y x 在区间 1 1 上的增区间为 答案 0 1 解 1 函数的单调减区间是 0 0 2 y x2 2x 3的对称轴方程是x 1 并且开口向上 所以其单调减区间是 1 单调增区间是 1 例3 12分 已知y f x 在定义域 1 1 上是减函数 且f 1 a f 2a 1 求a的取值范围 思路点拨 不等式f 1 a f 2a 1 为抽象不等式 不能直接解 考虑到函数的单调性 可将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系 即转化为具体不等式来求解 一点通 解决此类与抽象函数有关的变量的取值范围问题 关键是利用单调性 脱去 函数符号 f 从而转化为熟悉的不等式 若函数y f x 在区间d上是增函数 对任意x1 d x2 d 且f x1 x2 但需要注意的是 不要忘记函数的定义域 6 若函数y f x 在r上为增函数 则f 3 与f 的大小关系是 答案 f 3 f 答案 c 8 已知函数f x x2 2 1 a x 2在 4 上是减函数 求实数a的取值范围 解 f x x2 2 1 a x 2 x 1 a 2 2 1 a 2 f x 的减区间是 1 a 又 已知f x 在 4 上是减函数 1 a 4 即a 3 所求实数a的取值范围是 3 1 函数的单调性是函数在定义域的某个子集上的性质 这个子集可以是整个定义域 也