高中数学 （主干知识+典例精析）2.1函数及其表示课件 理 新人教B版.ppt

第一节函数及其表示 三年9考高考指数 1 了解构成函数的要素 会求一些简单函数的定义域和值域 了解映射的概念 2 在实际情境中 会根据不同的需要选择恰当的方法 如图象法 列表法 解析法 表示函数 3 了解简单的分段函数 并能简单的应用 1 函数的概念 定义域及表示法 特别是分段函数 是近几年高考命题的热点 2 常和对数 指数 函数的性质等相结合考查 有时也会命制新定义问题 3 题型主要以选择 填空题为主 属中低档题 1 函数与映射的概念 对非空数集a中的任意数x 按照确定的法则f 都有唯一确定的数y与它对应 则这种对应关系叫做集合a上的一个函数 y f x x a f a bx f x a b是两个非空集合 按照某种对应法则f 对a中的任意一个元素x 在b中有一个且仅有一个元素y与x对应 则称f是集合a到集合b的映射 这时 称y是x在映射f的作用下的象 记作f x 于是y f x x称作y的原象 即时应用 1 判断下列对应法则f是否是从a到b的函数 请在括号中填 是 或 否 a r b x x 0 f x x a r b r f x x2 a z b r f x a z b z f x x2 3 2 设a 0 1 2 4 b 0 1 2 6 8 判断下列对应法则是否是a到b的映射 请在括号中填 是 或 否 f x x3 1 f x x 1 2 f x 2x 1 f x 2x 解析 1 否 因为a中的元素0在b中没有对应元素 否 因为a中的元素为负数时在b中没有对应元素 是 满足函数的定义 是从a到b的函数 2 是 满足映射的定义 是从a到b的映射 不是 当a中的x 0 2 4时在b中没有对应元素 不是 当a中的x 4时在b中没有对应元素 不是 当a中的x 2时在b中没有对应元素 答案 1 否 是 否 是 2 否 否 是 否 2 函数的构成要素函数由 三个要素构成 对函数y f x x a 其中 1 定义域 自变量x的 2 值域 定义域 值域 对应法则 取值范围 数集a 函数值的集合 y y f x x a 即时应用 1 判断下列各组函数中 是否是同一函数 请在括号中填 是 或 否 f x x与g x f x x 与g x f x x x 与g x f x 与g t t 1 t 1 2 函数y x2 2x的定义域为 0 1 2 3 那么其值域为 3 设集合a x y 集合b y y x2 x r 则a b 解析 1 否 函数f x 与g x 的定义域不同 否 函数f x 与g x 的对应法则不同 否 函数f x 与g x 的定义域不同 是 函数f x x 1 x 1 与g t t 1 t 1 是同一函数 2 当x取0 1 2 3时 对应的函数y的值依次为0 1 0 3 所以其值域为 1 0 3 3 已知a x x 2 0 x x 2 b y y 0 a b x x 2 答案 1 否 否 否 是 2 1 0 3 3 x x 2 3 函数的表示方法表示函数的常用方法有 和 解析法 列表法 图象法 即时应用 1 判断下列四个图象是否是函数f x x 的图象 请在括号中填 是 或 否 2 若f 1 x 2 则f x 的解析式为 解析 1 f x 是 否 否 否 2 方法一 令t 则x t 1 2 t 1 代入原式有f t t 1 2 2 t 1 t2 1 f x x2 1 x 1 方法二 x 1 2 1 f 1 1 2 1 又 1 1 f x x2 1 x 1 答案 1 是 否 否 否 2 f x x2 1 x 1 4 分段函数在函数的定义域内 对于 的不同取值区间 有着不同的对应法则 这样的函数叫做分段函数 自变量x 即时应用 1 已知函数f x 则f f 2 设f x 若f x 3 则x 解析 1 f 3 f f f 1 2 当x 1时 x 2 3 得x 1 符合要求 当 1 x 2时 x2 3 得x 只有符合要求 当x 2时 2x 3 得x 不符合要求 综上可知 x 1或答案 1 2 1或 求函数的定义域 值域 方法点睛 1 求函数的定义域的方法 1 若已知函数的解析式 则构造使解析式有意义的不等式 组 求解 2 实际问题 由实际意义及函数解析式 列不等式 组 求解 3 求抽象函数的定义域 若已知函数f x 的定义域为 a b 则复合函数f g x 的定义域由不等式a g x b求出 若已知函数f g x 的定义域为 a b 则f x 的定义域为g x 在x a b 时的值域 2 求简单函数值域的方法 1 观察法 2 图象观察法 3 单调性法 4 分离常数法 5 均值不等式法 6 换元法 例1 1 2012 大连模拟 求函数f x 的定义域 2 已知函数f 2x 的定义域是 1 1 求f x 的定义域 3 求下列函数的值域 y x2 2x x 0 3 y log3x logx3 1 y 解题指南 1 根据解析式求定义域 只需构建使解析式有意义的不等式组求解即可 2 求抽象函数的定义域 要明确2x与f x 中x的含义 3 根据解析式的特点 分别选用 图象观察法 均值不等式法 单调性法求值域 规范解答 1 要使该函数有意义 需要则有 解得 3 x 0或2 x 3 所以所求函数的定义域为 3 0 2 3 2 f 2x 的定义域为 1 1 即 1 x 1 2x 2 故f x 的定义域为 2 由图象知 0 y 32 2 3 15 所以y 0 15 3 y x 1 2 1 在 0 3 上的图象如图所示 y log3x 1 定义域为 0 1 1 当0 x 1时 y 2 1 3 当x 1时 y 1 1 综上可知 y 3 1 因为x2 1 1 又y 2x在r上为增函数 y 1 2 1 故值域为 互动探究 若本例 2 中条件不变 求f log2x 的定义域 解析 由本例 中知f x 的定义域为 2 函数y f log2x 中 log2x 2 即 log2 log2x log24 x 4 故函数f log2x 的定义域为 4 反思 感悟 1 求函数的定义域 其实质就是以函数解析式有意义为准则 列出不等式 组 则不等式组的解集就是定义域 2 f g x 的定义域为 a b 指的是x的取值范围是 a b 而不是g x 的取值范围是 a b 3 求函数的值域时 若能画出图象 则用图象观察法求解 若能判断单调性则用单调性法求解 若能满足用均值不等式的条件 则用均值不等式求解 变式备选 若函数f x 的定义域为r 则a的取值范围为 解析 因为函数f x 的定义域为r 即 1 0 对x r恒成立 亦即x2 2ax a 0恒成立 需 2a 2 4 a 4a2 4a 0即可 解得 1 a 0 答案 a 1 a 0 分段函数及其应用 方法点睛 分段函数求值 解不等式及求解析式的方法处理分段函数的求值 解不等式及求解析式等相关问题时 首先要确定自变量的值属于哪个区间 其次选定相应关系代入计算求解 特别要注意分段区间端点的取舍 当自变量的值不确定时 要分类讨论 提醒 分段函数虽由几个部分组成 但它表示的是一个函数 例2 1 2012 北京模拟 已知函数f x 则f x f x 1的解集为 a 1 1 b 1 0 1 c 0 1 d 1 0 1 解题指南 1 求解分段函数有关的不等式 一般的思路是根据每一段的解析式分类求解 再求其并集 2 已知图象形状 求解析式 可用待定系数法 2 已知函数y f x 的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成 求函数的解析式 规范解答 1 选b 当 1 x 0时 0 x 1 此时f x x 1 f x x 1 x 1 f x f x 1化为 2x 2 1 得x 则 1 x 当0 x 1时 1 x 0 此时 f x x 1 f x x 1 x 1 f x f x 1化为 x 1 x 1 1 解得x 则0 x 1 故所求不等式的解集为 1 0 1 2 根据图象 设左侧的射线对应的解析式为y kx b x 1 点 1 1 0 2 在射线上 解得 左侧射线对应函数的解析式为y x 2 x 1 同理 x 3时 函数的解析式为y x 2 x 3 再设抛物线对应的二次函数解析式为y a x 2 2 2 1 x 3 a 0 点 1 1 在抛物线上 a 2 1 a 1 1 x 3时 函数的解析式为y x2 4x 2 1 x 3 综上 函数的解析式为y 互动探究 本例 2 的条件不变 求函数y f x 的值域 解析 方法一 由函数y f x 的图象可得其值域为y 1 所以函数y f x 的值域为 y y 1 方法二 由函数y f x 的解析式可知 当x 1时 y 1 当1 x 3时 y 1 2 当x 3时 y 1 所求函数的值域为 1 反思 感悟 分段函数的定义域是各段定义域的并集 值域是各段值域的并集 故解答有关分段函数的问题时要分段解决 变式备选 1 2012 吉林模拟 设函数f x 若f 2 f 0 f 1 3 则关于x的方程f x x的解的个数为 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 选b 由已知得解得 f x 当x 0时 由f x x得 x2 2x 2 x 得x 2或x 1 又x 0 故x 1舍去 当x 0时 由f x x得x 2 所以方程f x x有两个解 2 甲 乙两地相距150千米 某货车从甲地运送货物到乙地 以每小时50千米的速度行驶 到达乙地后将货物卸下用了1小时 然后以每小时60千米的速度返回甲地 从货车离开甲地起到货车返回甲地为止 设货车离开甲地的时间和距离分别为x小时和y千米 试写出y与x的函数解析式 解析 由题意 可知货车从甲地前往乙地用了3小时 而从乙地返回甲地用了2 5小时 当货车从甲地前往乙地时 由题意 可知y 50 x 0 x 3 当货车卸货时 y 150 3 x 4 当货车从乙地返回甲地时 由题意 知y 150 60 x 4 4 x 6 5 所以y 求函数值 方法点睛 求函数值的类型及解法 1 f g x 型 求f g x 类型的函数值时 遵循先内后外的原则 2 分段函数型 对于分段函数的求值问题 应根据自变量值所在区间对应求值 不确定时要分类讨论 3 含有函数性质型 对具有奇偶性 周期性 对称性的函数求值 要用好其函数性质 将待求值调节到已知区间上求解 4 抽象函数型 对于抽象函数求函数值 要用好抽象的函数关系 适当赋值 从而求得待求函数值 例3 已知函数f x 是定义在实数集r上的不恒为零的偶函数 且对任意实数x都有xf x 1 1 x f x 求f f 的值 解题指南 求解该题 需知道f x f x 1 满足的关系式 将f x 1 用f x 表示 然后再给x赋值 先求出f 再求f f 的值 规范解答 若x 0 则有f x 1 f x 取x 则有f f 1 f f f x 是偶函数 f f 由此得f 0 于是 f f 1 f f f 1 f 5f 0 若x 0 则0f 0 1 1 0 f 0 有f 0 0 f f f 0 0 反思 感悟 对于抽象函数的求值问题 求解时应根据该抽象的函数关系的结构特征 结合待求值的特点 给变量赋予特殊值 从而使问题具体化 简单化 达到求出函数值的目的 变式训练 1 已知f x 则的值等于 a 2 b 1 c 2 d 3 解析 选d 2 已知定义域为 x x r 且x 1 的函数f x 满足则f 3 解析 f 3 2 答案 2 变式备选 设对任意实数x y均有f x y 2f y x2 2xy y2 3x 3y 1 求f 0 2 求f x 的解析式 解析 1 令x y 0 f 0 0 2 当x为任意实数 y 0时 f x 2f 0 x2 3x f x x2 3x 创新探究 与函数有关的新定义问题 典例 2011 广东高考 设f x g x h x 是r上的任意实值函数 如下定义两个函数和 f g x 对任意x r f g x f g x f x g x 则下列等式恒成立的是 解题指南 根据新的定义逐个选项验证其真伪 从而作出判断 规范解答 选b 根据新函数的定义分析如下表 阅卷人点拨 通过对本题的深入研究 我们可以得到以下创新点拨和备考建议 1 2011 江西高考 若则f x 的定义域为 a 0 b 0 c d 0 解析 选a 由题意得 2 2011 北京高考 根据统计 一名工人组装第x件某产品所用的时间 单位 分钟 为已知工人组装第4件产品用时30分钟 组装第a件产品用时15分钟 那么c和a的值分别是 a 75 25 b 75 16 c 60 25 d 60 16 解析 选d 当a 4时 解得c 60 a 16 当a 4时 无解 3 2012 青岛模拟 若函数f 2x 1 x2 2x 则f 3 解析 由2x 1 3得x 1 f 3 12 2 1 1 答案 1 4 2011 湖南高考 给定k n 设函数f n n 满足 对于