高中数学 （主干知识+典例精析）3.3三角函数的图象与性质课件 理 新人教B版.ppt

第三节三角函数的图象与性质 三年10考高考指数 1 能画出y sinx y cosx y tanx的图象 了解三角函数的周期性 2 理解正弦函数 余弦函数在 0 2 上的性质 如单调性 最大值和最小值 图象与x轴的交点等 理解正切函数在内的单调性 1 三角函数的图象和性质是考查的重点 特别是定义域 值域 周期性 奇偶性和单调性的应用 2 在复习时要把图象与性质结合起来 借助图象的直观性理解函数的性质 3 主要以选择题 填空题的形式考查 性质的综合应用有时会在解答题中考查 属中档题 1 周期函数和最小正周期 1 周期函数的定义对于函数f x 如果存在一个非零常数t 使得定义域内的每一个x值 都满足 那么函数f x 就叫做周期函数 非零常数t叫做这个函数的周期 2 最小正周期对于一个周期函数f x 如果在它的所有周期中 存在一个最小的正数 那么这个 正数就叫做它的 f x t f x 最小 最小正周期 即时应用 1 思考 常函数f x a a r 是否为周期函数 有无最小正周期 提示 是周期函数 每一个非零实数均为其周期 故它没有最小正周期 2 思考 若函数f x 满足f x 2 f x 函数f x 是周期函数 对吗 提示 对 因为f x 4 f x 2 f x 所以f x 是周期函数 最小正周期是4 3 函数y 2sin的最小正周期是 解析 y 2sin 2sin 2 2sin x 4 由周期函数的定义知原函数的最小正周期是4 答案 4 2 正弦函数 余弦函数 正切函数的图象和性质 x r x r 1 1 1 1 x r且x k k z r 单调性 递增区间是 2k 2k k z 递减区间是 2k 2k k z 递增区间是 2k 2k k z 递减区间是 2k 2k k z 递增区间是 k k k z 无最大值和最小值 最值 x 时 ymax 1 x 时 ymin 1 x 时 ymax 1 x 时 ymin 1 2k k z 2k k z 2k k z 2k k z 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 对称中心 对称轴 k 0 k z k 0 k z 0 k z x k k z x k k z 无对称轴 最小正周期 2 2 即时应用 1 判断下列命题的正误 请在括号中填 或 y sinx在第一 第四象限是增函数 y sinx在x 上是增函数 y tanx在定义域上是增函数 y sin x 是偶函数 y sin2x的周期为2 y cos2x的对称中心为 k 0 k z 2 若直线y a与函数y sinx x 2 2 的图象有4个交点 则a的取值范围是 3 函数y tan x 的定义域是 解析 1 由y sinx的递增区间是 2k 2k k z 可知 不正确 正确 由y tanx在 k k k z 上是增函数可知 不正确 由sin x sin x 可知 正确 由y sin2x的周期为 知 不正确 由余弦函数y cosx的对称中心为 k 0 k z 可得 0 k z 为y cos2x的对称中心 故 不正确 2 如图所示 y sinx x 2 2 有两个周期 故若y sinx与y a有4个交点 则 1 a 1 3 由x k k z得x k k z 所以y tan x 的定义域为 x x k k z 答案 1 2 1 a 1 3 x x k k z 三角函数的定义域和值域 方法点睛 1 三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式 组 常借助三角函数线或三角函数图象来求解 2 三角函数值域的不同求法 1 利用sinx和cosx的值域直接求 2 把所给的三角函数式变换成y asin x 的形式求值域 3 把sinx或cosx看作一个整体 转换成二次函数求值域 4 利用sinx cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域 例1 1 函数y 的定义域为 2 已知f x 的定义域为 0 1 则f cosx 的定义域为 3 当x 时 函数y 3 sinx 2cos2x的最小值是 最大值是 解题指南 1 由tanx 1 0 且x k k z 2 利用cosx 0 1 求得x 3 利用同角三角函数关系式转化成sinx的二次函数求解 规范解答 1 由tanx 1 0 且x k k z得x k 且x k k z 所以函数的定义域为 x x k 且x k k z 答案 x x k 且x k k z 2 0 cosx 1 2k x 2k k z 所求函数的定义域为 2k 2k k z 答案 2k 2k k z 3 因为x sinx 1 y 3 sinx 2cos2x 2sin2x sinx 1 2 sinx 2 所以当sinx 时 ymin 当sinx 1或时 ymax 2 答案 2 互动探究 把本例 2 中的cosx改为sinx 如何求解 解析 要使0 sinx 1 则2k x 2k k z 所求函数的定义域为 2k 2k k z 反思 感悟 1 求三角函数的定义域主要是解三角不等式 求交集时可以利用单位圆 2 在求三角函数的值域时 很多时候要进行三角变换或三角转化 这时候一定要注意所给的角的范围和有关三角函数式的范围 变式备选 1 函数y 的定义域为 2 函数y f cosx 的定义域为 2k 2k k z 则函数y f x 的定义域为 3 求函数y sinx cosx sinxcosx x 0 的最大值和最小值 解析 1 由 1 0得0 sinx 1 2k x 2k k z 答案 2k 2k k z 2 由2k x 2k 得 cosx 1 所以函数y f x 的定义域为 1 答案 1 3 设sinx cosx t t sin x x sin x 1得t 1 sinxcosx y t t t 1 2 1 当t 1时 ymax 1 当t 1时 ymin 1 三角函数的单调性 方法点睛 三角函数的单调区间的求法 1 代换法所谓代换法 就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角 或t 利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间 这就要求同学们熟练掌握基本三角函数的单调区间 2 图象法函数的单调性表现在图象上是 从左到右 图象上升趋势的区间为单调递增区间 图象下降趋势的区间为单调递减区间 如果能画出三角函数的图象 那它的单调区间就直观明了了 例2 1 函数f x sin 2x 的单调减区间为 2 2012 威海模拟 函数y tan x 的单调增区间为 解题指南 1 把2x 看作一个整体 运用正弦函数的单调性求解 2 把x 看作一个整体 运用正切函数的单调性求解 规范解答 1 f x sin 2x 由 2k 2x 2k 解得 k x k k z f x sin 2x 的单调减区间为 k k k z 答案 k k k z 2 y tan x 由 k x k 得 k x k 函数y tan x 的单调增区间为 k k k z 答案 k k k z 反思 感悟 1 熟记正弦 余弦 正切函数的单调区间是求较复杂的三角函数单调区间的基础 2 求形如y asin x 的单调区间时 只需把 x 看作一个整体代入y sinx的相应单调区间内求得x的区间即可 求y acos x 和y atan x 的单调区间类似 变式训练 求下列函数的单调递增区间 1 y cos 2x 2 y 3sin 解析 1 设 2x 则y cos 当2k 2k k z 时 y cosu随u的增大而增大 又 2x 随x的增大而增大 x r 当2k 2x 2k k z 即k x k k z 时 y随x增大而增大 y cos 2x 的单调递增区间为 k k k z 2 设 则y 3sin 当2k 2k k z 时 y 3sin 随u增大而减小 又 随x增大而减小 x r 当2k 2k k z 即 4k x 4k k z 时 y随x增大而增大 y 3sin 的单调递增区间为 4k 4k k z 三角函数的奇偶性和周期性 方法点睛 1 三角函数的奇偶性的判断技巧首先要知道基本三角函数的奇偶性 再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性 也可以根据图象做判断 2 求三角函数周期的方法 1 利用周期函数的定义 2 利用公式 y asin x 和y acos x 的最小正周期为y tan x 的最小正周期为 3 利用图象 3 三角函数的对称性正 余弦函数的图象既是中心对称图形 又是轴对称图形 正切函数的图象只是中心对称图形 应熟记它们的对称轴和对称中心 并注意数形结合思想的应用 提醒 判断函数的奇偶性时 要注意以下两种情况 一是是否考虑了原函数的定义域 是否关于原点对称 二是化简时是否是等价变形 例3 设函数f x sin x 0 给出以下四个论断 它的最小正周期为 它的图象关于直线x 成轴对称图形 它的图象关于点 0 成中心对称图形 在区间 0 上是增函数 以其中两个论断作为条件 另两个论断作为结论 写出你认为正确的一个命题 用序号表示即可 解题指南 本题是一个开放性题目 依据正弦函数的图象及单调性 周期性以及对称性逐一判断 规范解答 若 成立 则 2 令k z 且 故k 0 此时f x sin 2x 当x 时 sin 2x sin 0 f x 的图象关于 0 成中心对称 又f x 在 上是增函数 在 0 上也是增函数 因此 用类似的分析可得 因此填 或 答案 也可填 反思 感悟 三角函数的周期性 对称性是三角函数的特有性质 要切实掌握 而且经常考查 解决时要注意结合三角函数的图象 其中对称性包含轴对称和中心对称 变式训练 2012 德州模拟 函数f x 2sin x cos x 1 x r 是 a 最小正周期为2 的奇函数 b 最小正周期为 的奇函数 c 最小正周期为2 的偶函数 d 最小正周期为 的偶函数 解析 选b f x 2sin x cos x 1 2sin x cos x 1 2sin x sin x 1 2sin2 x 1 cos2 x cos 2x sin2x f x 是最小正周期为 的奇函数 变式备选 已知函数f x sin x 其中 0 1 若coscos sinsin 0 求 的值 2 在 1 的条件下 若函数f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于求函数f x 的解析式 并求最小正实数m 使得函数f x 的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数 解析 1 由coscos sinsin 0得coscos sinsin 0 即cos 0 又 2 由 1 得 f x sin x 依题意 又t 故 3 f x sin 3x 设函数f x 的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g x sin 3 x m 当且仅当3m k k z 即m k z g x 是偶函数 从而 最小正实数m 易错误区 有关三角函数图象与性质的易错点 典例 2011 安徽高考 设f x asin2x bcos2x 其中a b r ab 0 若f x f 对一切x r恒成立 则 f 0 f f f x 既不是奇函数也不是偶函数 f x 的单调递增区间是 k z 存在经过点 a b 的直线与函数f x 的图象不相交 以上结论正确的是 写出正确结论的编号 解题指南 先将f x asin2x bcos2x a b r ab 0 变形为f x sin 2x 然后根据性质顺次判断命题的正误 规范解答 由f x f 对一切x r恒成立知 直线x 是f x 的对称轴 又f x sin 2x 其中tan 的周期为 f f 可看作x 的值加了个周期 f 0 故 正确 和与对称轴的距离相等 f f 故 不正确 x 是对称轴 sin 2 1 2k k z 2k 或 2k k z tan f x 2 b sin 2x 或f x 2 b sin 2x f x 既不是奇函数也不是偶函数 故 正确 由以上知 f x 2 b sin 2x 的单调递增区间为 k k k z f x 2 b sin 2x 的单调递增区间为 k k k z 由于f x 的解析式不确定 单调递增区间也不确定 故 不正确 f x asin2x bcos2x sin 2x 其中tan f x 又 ab 0 a 0 b 0 b 过点 a b 的直线必与函数f x 图象相交 故 不正确 答案 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2011 新课标全国卷 设函数f x sin 2x cos 2x 则 a y f x 在 0 内单调递增 其图象关于直线x 对称 b y f x 在 0 内单调递增 其图象关于直线x 对称 c y f x 在 0 内单调递减 其图象关于直线x 对称 d y f x 在 0 内单调递减 其图象关于直线x 对称 解析 选d f x si