高三数学二轮复习（核心自查++热点高考探究+方法专项突破+备选高效演练）不等式、线性规划课件 文.ppt

不等式 线性规划 一 主干知识1 二元一次不等式与平面区域的关系 2 基本不等式 当a 0 b 0时 当且仅当a b时取 3 利用基本不等式求最值 若p s为常数 a b 0 1 当ab s时 a b 当且仅当a b时等号成立 即两数的积是定值 则两数的和有最小值 2 当a b p时 ab 当且仅当a b时等号成立 即两数的和是定值 则两数的积有最大值 二 必记公式1 a 0 a2 0 a r 2 a2 b2 a b r 3 ab 4 2ab 三 常用结论1 ax2 bx c 0 a 0 恒成立的条件是2 ax2 bx c 0 a 0 恒成立的条件是 1 2013 天津高考 设变量x y满足约束条件则目标函数z y 2x的最小值为 a 7b 4c 1d 2 解析 选a 由z y 2x 得y 2x z 作出不等式组对应的平面区域abc 作直线y 2x 平移直线y 2x z 由图象知当直线经过点b时 y 2x z的截距最小 此时z最小 由代入z y 2x得z 3 2 5 7 所以最小值为 7 2 2013 重庆高考 关于x的不等式x2 2ax 8a20 的解集为 x1 x2 且x2 x1 15 则a 解析 选a 由题意知 不等式x2 2ax 8a20 的解集为 2a 4a 因为x2 x1 15 所以4a 2a 15 解得 3 2013 济宁模拟 实数x y满足若目标函数z x y取得最大值4 则实数a的值为 a 4b 3c 2d 解析 选c 由z x y得y x z 作出不等式组对应的平面区域 平移直线y x z 由图象可知当直线y x z经过点d时 直线的截距最大 为4 所以由即d 2 2 所以a 2 4 2013 陕西高考 在如图所示的锐角三角形空地中 欲建一个面积最大的内接矩形花园 阴影部分 则其边长x为 m 解析 设矩形高为y 由三角形相似得 且x 0 y 0 x 40 y 40 40 x y 当且仅当x y 20时 矩形的面积s xy取最大值400 答案 20 热点考向1比较大小与不等式的解法 典例1 1 设00的解集为其中a b为常数 则不等式2x2 bx a 0的解集是 a 3 2 b 2 3 c 3 3 d 2 2 3 已知函数若f x0 1 则x0的取值范围是 a 0 1 b 1 c 1 0 d 0 1 解题探究 1 作差法比较两个实数 代数式 大小的步骤是什么 提示 作差 变形 判断符号 得出结论 2 方程ax2 bx 2 0的解是多少 提示 由一元二次不等式与一元二次方程 二次函数的关系可知 方程ax2 bx 2 0的解为 3 不知x0的取值 如何处理f x0 适用的解析式 提示 应先考虑x0的范围 即分类讨论 解析 1 选c 因为0 x 1 所以所以只需比较1 x与的大小 因为所以故选c 2 选b 依题意知 是一元二次方程ax2 bx 2 0的两根 且a 0 则解得于是 不等式 2x2 bx a1等价于解得x01 故选d 方法总结 1 比较两数 代数式 大小的 两种 思路 1 利用不等式的性质 基本不等式比较大小 2 利用函数的单调性比较大小 必要时需构造函数 2 确定含参二次不等式的四个分类标准标准一 二次项系数是否为零 目的是讨论不等式是否为二次不等式 标准二 二次项系数的正负 目的是讨论二次函数图象的开口方向 标准三 判别式的正负 目的是讨论对应二次方程是否有解 标准四 讨论两根差的正负 目的是比较根的大小 变式训练 1 2013 上海模拟 若则下列结论不正确的是 a a2 b2b ab b2c d 解析 选d 由可知 b a 0 所以推不出选d 2 2013 北京高考 设a b c r 且a b 则 a ac bcb c a2 b2d a3 b3 解析 选d y x3在 上为增函数 所以a3 b3 热点考向2基本不等式及其应用 典例2 1 2013 福建高考 若2x 2y 1 则x y的取值范围是 a 0 2 b 2 0 c 2 d 2 2 某楼盘的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成 已知土地使用权费为2000元 m2 材料工程费在建造第一层时为400元 m2 以后每增加一层 费用增加40元 m2 要使平均每平方米建筑面积的成本费最低 则应把楼盘的楼房设计成 层 解题探究 1 2x 2y与之间有什么关系 提示 因为2x 0 2y 0 所以 2 各层的费用构成什么样的数列 如x表示楼层 y表示每层的面积 写出平均成本费用的表达式 提示 各层的费用构成等差数列 平均成本费用的表达式为 解析 1 选d 2x 2y 1 所以2x y 即2x y 2 2 所以x y 2 2 设应把楼房设计成x层 每层的面积为ym2 则平均每平方米建筑面积的成本费为k 当且仅当 20 x 即x 10时取等号 故应把楼房设计成10层 答案 10 方法总结 1 利用基本不等式求最值的注意点 1 在运用基本不等式求最值时 必须保证 一正 二定 三相等 凑出定值是关键 2 若两次连用基本不等式 要注意等号的取得条件的一致性 否则就会出错 2 求条件最值问题的两种方法一是借助条件转化为所学过的函数 如一次函数 二次函数 指数函数 对数函数 借助于函数单调性求最值 二是可考虑通过变形直接利用基本不等式解决 变式训练 1 2013 天津高考 设a b 2 b 0 则的最小值为 解析 因为a b 2 b 0 所以当且仅当时等号成立 此时a 2或 若a 2 则若则所以的最小值为答案 2 某种饮料分两次提价 提价方案有两种 方案甲 第一次提价p 第二次提价q 方案乙 每次都提价 若p q 0 则提价多的方案是 解析 设原价为1 则提价后的价格 方案甲 1 p 1 q 乙 因为 因为p q 0 所以即所以提价多的是方案乙 答案 乙 热点考向3线性规划问题 典例3 1 已知实数x y满足约束条件则z 2x y的最小值是 a 4b 2c 0d 2 2 2013 枣庄模拟 设z x y 其中实数x y满足若z的最大值为6 则z的最小值为 a 3b 2c 1d 0 解题探究 1 z 2x y中z的几何意义是什么 提示 z 2x y中z的几何意义是直线2x y z 0在y轴上的截距 2 z x y 且z的最大值为6 则x y满足什么条件 提示 z x y 且z的最大值为6 则x y 6 解析 1 选b 作出满足题设条件的可行域 如图 则当直线y 2x z经过点a 2 2 时 截距z取得最小值 即zmin 2 2 2 2 2 选a 由z x y得y x z 作出的可行域bco 平移直线y x z 由图象可知当直线经过c时 直线的截距最大 此时z 6 由解得所以k 3 解得b 6 3 代入z x y得最小值为z 6 3 3 选a 互动探究 若题 2 中的条件不变 求的取值范围 解析 因为表示点 x y 与d 7 0 连线的斜率 由 2 解析可得kdo 0 因此 0 3 方法总结 线性规划中常见目标函数的转化公式 1 截距型 z ax by 与直线的截距相关联 若b 0 则的最值情况和z的一致 若b 0 则的最值情况和z的相反 2 斜率型 即为点 a b 与 x y 连线的斜率 常见的变形形式为 3 点点距离型 z x2 y2 ax by c 表示 x y 与两点距离的平方与的代数和 4 点线距离型 z ax by c 表示点 x y 到直线ax by c 0的距离的倍 变式备选 2013 北京模拟 已知区域则x2 y2的最小值是 若圆c x a 2 y 2 2 2与区域d有公共点 则实数a的取值范围是 解析 画出不等式组对应的平面区域 则x2 y2 x 0 2 y 0 2 显然过点 0 2 时 x2 y2 min 4 当圆 x a 2 y 2 2 2与直线x y 2 0和x y 1 0分别相切时 利用点到直线的距离公式求得a 2和a 5 显然当a 2 5 时圆c与区域d有公共点 答案 4 2 5 典例 2013 山东高考 在平面直角坐标系xoy中 m为不等式组 所表示的区域上一动点 则直线om斜率的最小值为 a 2b 1c d 解析 选c 作出可行域如图由图象可知当m位于点d处时 om的斜率最小 由得即d 3 1 此时om的斜率为 方法总结 1 平面区域的确定方法平面区域的确定方法是 直线定界 特殊点定域 二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的区域的交集 2 线性目标函数z ax by最值的确定方法线性目标函数z ax by中的z不是直线ax by z在y轴上的截距 把目标函数化为可知是直线ax by z在y轴上的截距 要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值 什么情况下取得最小值 转化与化归思想 解决不等式中的有关问题 思想诠释 1 主要类型 1 不等式恒成立问题中 求参数的取值范围 2 已知不等式求函数的最值 2 解题思路 往往采用分离变量或适当变形 或变换主元 或构造函数 再利用函数的单调性或基本不等式进行求解 最值问题常常转化为利用基本不等式求解 3 注意事项 1 在不等式的转化过程中要注意不等号的方向 2 利用基本不等式时要注意 一正 二定 三相等 典例 已知不等式x2 ax 1 0 1 若不等式对于一切x 0 2 恒成立 则a的取值范围为 2 若不等式对一切x 2 2 恒成立 则a的取值范围为 3 若不等式对一切a 2 2 恒成立 则x的取值范围为 审题 分析信息 形成思路 1 切入点 分离参数求解 关注点 注意应用基本不等式 2 切入点 转化为恒成立问题求解 关注点 注意对x分类讨论 3 切入点 利用函数求解 关注点 注意自变量 解题 规范步骤 水到渠成 1 原不等式可化为a 而当且仅当x 1时等号成立 所以a的取值范围是 2 答案 2 2 因为x 2 2 当x 0时 原式为02 a 0 1 0恒成立 此时a r 当x 0时 则当x 0 2 时 由 1 知a 2 所以当x 2 0 时 可得 令f x 由函数的单调性可知 f x max f 1 2 所以a 2 综上可知 a的取值范围是 2 2 答案 2 2 3 因为a 2 2 则可把原式看作关于a的函数 即g a xa x2 1 0 由题意可知 解之得x r 所以x的取值范围是 答案 点题 规避误区 易错警示 变题 变式训练 能力迁移若不等式x2 ax 1 0对一切x 恒成立 则a的最小值为 a 0b 2c d 3 解析 选c 设f x x2 ax 1 则对称轴为若即a 1时 则f x 在上单调递减 应有若即a 0时 则f x 在上单调递增 应有f 0 1 0恒成立 故a 0 若即 1 a 0 则应有恒成立 故 1 a 0 综上所述 a的取值范围为 a a 所以a的最小值为 1 已知a b为正实数 且若a b c 0对于满足条件的a b恒成立 则c的取值范围为 a b 3 c 6 d 解析 选a 因为a b为正实数 且那么可知所以a b 当且仅当时取等号 因此可知c小于等于a b的最小值即可 故有c的取值范围是选a 2 正数a b满足2a b 1 且恒成立 则实数t的取值范围是 解析 选b 因为a 0 b 0 2a b 1 所以4a2 b2 1 4ab 所以恒成立 转化为t 恒成立 令f a b 又由a 0 b 0 2a b 1得 1 2a b 所以ab 当且仅当时取 所以f a b max 所以t 3 已知a b c 且恒成立 则实数k的最大值为 a 17b 16c 10d 9 解析 选b a b c 且 0恒成立 所以两边同乘以a c得 k 又当且仅当3 b c a b时等号成立 所以k 16 故实数k的最大值为16 4 已知f x x2 2ax 2 当x 1 时 f x a恒成立 则a的取值范围为 解析 设f x x2 2ax 2 a 则问题的条件变为当x 1 时 f x 0