高考数学复习专题四立体几何第三讲空间向量与立体几何教案理.docx

第三讲空间向量与立体几何年份卷别考查角度及命题位置命题分析及学科素养2018卷面面垂直及线面角求法T18命题分析高考中此部分命题较为稳定，以解答题的形式考查空间平行关系和垂直关系的证明，空间几何体表面积和体积的计算，异面直线所成的角、线面角和二面角的求解，简单的空间距离的求解，难度中等偏上其中解答题的基本模式是既有证明也有计算，其中的计算离不开证明，以考查证明为主学科素养几何中的向量方法主要是通过向量法求解空间角问题，重点考查了学生直观想象与数学运算素养能力.卷线面垂直及线面角求法T20卷面面垂直及二面角求法T192017卷面面垂直与二面角求法T18卷异面直线所成角求法T10线面平行与二面角求法T19卷线与线所成角问题T16面面垂直与二面角求法T192016卷面面垂直的证明及二面角的求解T18卷线面垂直证明及二面角的求解T19卷线面平行的证明及线面角的求解T19向量法证明线面平行、垂直关系授课提示：对应学生用书第40页悟通方法结论1用向量证明平行的方法(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线(2)线面平行：证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；直线的方向向量与平面内两不共线向量共面(3)面面平行：证明两平面的法向量为共线向量；转化为线面平行、线线平行问题2用向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示全练快速解答1在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，BC2，CC14，点E在线段BB1上，且EB11，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点求证：(1)B1D平面ABD；(2)平面EGF平面ABD.证明：(1)以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设BAa，则A(a,0,0)，所以(a,0,0，)，(0,2,2)，(0,2，2)，0，0440，所以，即，.又BABDB，BA平面ABD，BD平面ABD，因此B1D平面ABD.(2)由(1)知，E(0,0,3)，G(，1,4)，F(0,1,4)，则(，1,1)，(0,1,1)，0220，0220，所以，即B1DEG，B1DEF.又EGEFE，EG平面EGF，EF平面EGF，因此B1D平面EGF.结合(1)可知平面EGF平面ABD.2如图所示，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PAAB1，BC2.(1)求证：EF平面PAB；(2)求证：平面PAD平面PDC.证明：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以E，F，(0,0,1)，(0,2,0)，(1,0,0)，(1,0,0)(1)因为，所以，即EFAB.又AB平面PAB，EF平面PAB，所以EF平面PAB.(2)因为(0,0,1)(1,0,0)0，(0,2,0)(1,0,0)0，所以，即APDC，ADDC.又因为APADA，AP平面PAD，AD平面PAD，所以DC平面PAD.因为DC平面PDC，所以平面PAD平面PDC.向量法证明平行与垂直的步骤(1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系；(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；(3)通过空间向量的运算求出平面向量或法向量，再研究平行、垂直关系；(4)根据运算结果解释相关问题向量法求空间角大小授课提示：对应学生用书第41页悟通方法结论1向量法求异面直线所成的角若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为，则cos|cosa，b|.2向量法求线面所成的角求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为，则sin |cosn，a|.3向量法求二面角求出二面角l的两个半平面与的法向量n1，n2，若二面角l所成的角为锐角，则cos |cosn1，n2|；若二面角l所成的角为钝角，则cos |cosn1，n2|.(2017高考全国卷)(12分)如图，四面体ABCD中，(1) (2)过AC的平面交BD于点E，若，求二面角DAEC的余弦值学审题条件信息想到方法注意什么信息：ABC为正三角形，ACD是直角三角形特殊三角形中的特殊的边角：ABC中三边相等，ACD中的直角(1)建系时要证明哪三条线两两垂直，进而可作为坐标轴(2)两平面法向量的夹角不一定是所求的二面角，也有可能是两法向量夹角的补角，因此必须说明角的范围信息：ABDCBD，ABBD边角相等关系可证两三角形全等，进而可证ADDC，ADC90信息：证明：平面ACD平面ABC面面垂直的证明方法：几何法或定义法信息：体积相等由体积的大小关系转化到点到面的距离的大小关系，进而知点E为DB的中点规范解答(1)证明：由题设可得，ABDCBD，从而ADDC.又ACD是直角三角形，所以ADC90.取AC的中点O，连接DO，BO，则DOAC，DOAO.又因为ABC是正三角形，所以BOAC.所以DOB为二面角DACB的平面角 (2分)在RtAOB中，BO2AO2AB2.又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90.所以平面ACD平面ABC. (4分)(2)由题设及(1)知，OA，OB，OD两两垂直以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(1,0,0)，B(0，0)，C(1,0,0)，D(0，0,1) (5分)由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得E.6分故(1,0,1)，(2,0,0)，.设n(x1，y1，z1)是平面DAE的法向量，则即可取n. (8分)设m(x2，y2，z2)是平面AEC的法向量，则即可取m(0，1，)则cosn，m. (10分)由图知二面角DAEC为锐角，所以二面角DAEC的余弦值为. (12分)1用向量法求解空间角的四个要点：(1)“建系”，构建恰当的空间直角坐标系，如本题利用线面垂直关系构建空间直角坐标系；(2)“求坐标”，准确求解相关点的坐标；(3)“求法向量”，求出平面的法向量；(4)“应用公式”，熟记空间角的公式，即可求出空间角2利用向量法求直线与平面所成角时易混淆直线与平面所成角与直线方向向量和平面的法向量的夹角的关系，一定要注意线面角与夹角的关系为sin |cos |.3求二面角，主要通过两平面的法向量n，m的夹角求得，即先求|cosn，m|，再根据所求二面角是钝角还是锐角写出其余弦值若为锐角，则cos |cosn，m|；若为钝角，则cos |cosn，m|.练通即学即用(2018郑州一模)在如图所示的多面体中，四边形ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形，ED平面ABCD，ABD，AB2AD.(1)求证：平面BDEF平面ADE；(2)若EDBD，求直线AF与平面AEC所成角的正弦值解析：(1)证明：在ABD中，ABD，AB2AD，由余弦定理，得BDAD，从而BD2AD2AB2，故BDAD，因为DE平面ABCD，BD平面ABCD，所以DEBD.又ADDED，所以BD平面ADE.因为BD平面BDEF，所以平面BDEF平面ADE.(2)由(1)可得，在RtABD中，BAD，BDAD，又由EDBD，设AD1，则BDED.因为DE平面ABCD，BDAD，所以可以点D为坐标原点，DA，DB，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示则A(1,0,0)，C(1，0)，E(0,0，)，F(0，)，所以(1,0，)，(2，0)设平面AEC的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，得n(，2,1)，为平面AEC的一个法向量因为(1，)，所以cosn，所以直线AF与平面AEC所成角的正弦值为.立体几何中的探索性问题授课提示：对应学生用书第43页悟通方法结论解决立体几何中探索性问题的3个步骤及1个注意点(1)3个步骤通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理；若能推导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立，即不存在(2)1个注意点探索线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用(2016高考北京卷)(12分)如图，在四棱锥PABCD中，ABAD，AB1，AD2，(1)求证：PD平面PAB；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在，使得若存在，求的值；若不存在，说明理由学审题条件信息想到方法注意什么信息：平面PAD平面ABCD面面垂直的性质定理：面面垂直线面垂直，即可证AB平面PAD(1)直线和平面所成角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值(2)向量法解决立体几何问题的关键是准确表达出各点及相关量的坐标信息：PAPD，PAPDPAD为等腰直角三角形及斜边中线即为高线信息：ACCDACD为等腰三角形及其性质信息：棱PA上是否存在点M三点共线的应用信息：BM平面PCD直线与平面平行时，直线的方向向量与平面的法向量的关系：垂直于平面PCD的法向量规范解答(1)证明：因为平面PAD平面ABCD，ABAD，所以AB平面PAD，所以ABPD. (2分)又因为PAPD，所以PD平面PAB. (3分)(2)取AD的中点O，连接PO，CO.因为PAPD，所以POAD.因为PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD. (5分)因为CO平面ABCD，所以POCO.因为ACCD，所以COAD.如图，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0，1,0)，P(0,0,1) (6分)设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x1，y2，所以n(1，2,2)又(1,1，1)，所以cosn，.所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为. (8分)(3)设M是棱PA上一点，则存在0,1，使得.因此点M(0,1，)，(1，)因为BM平面PCD，所以要使BM平面PCD，则n0， (10分)即(1，)(1，2,2)0，解得.所以在棱PA上存在点M，使得BM平面PCD，此时. (12分)利用空间向量巧解探索性问题(1)空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无须进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断(2)解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等问题，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题提醒探索线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用.练通即学即用(2018福州四校联考)如图，在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，BCD120，四边形BFED是直角梯形，DEBD，BFDE，DE2BF2，平面BFED平面ABCD.(1)求证：AD平面BFED；(2)在线段EF上是否存在一点P，使得平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由解析：(1)证明：在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，BCD120，AB2，BD2AB2AD22ABADcos 603，AB2AD2BD2，BDAD，平面BFED平面ABCD，平面BFED平面ABCDBD，AD平面BFED.(2)AD平面BFED，ADDE，以D为原点，分别以DA，DB，DE所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，0)，E(0,0,2)，F(0，1)，(0，1)，(1，0)，(1,0,2)设(0，)(01)则(1，2)取平面ADE的一个法向量为n(0,1,0)，设平面PAB的法向量为m(x，y，z)，由m0，m0得令y2，得x2，z，m(2，2，)为平面PAB的一个法向量，|cosm，n|，解得，当P为线段EF靠近点E的三等分点时满足题意.授课提示：对应学生用书第138页1(2018高考全国卷)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PEBF.(1)证明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值解析：(1)证明：由已知可得BFPF，BFEF，所以BF平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.(2)如图，作PHEF，垂足为H.由(1)得，PH平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由(1)可得，DEPE.又DP2，DE1，所以PE.又PF1，EF2，所以PEPF.所以PH，EH.则H(0,0,0)，P，D，.又为平面ABFD的法向量，设DP与平面ABFD所成角为，则sin .所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.2(2018长春模拟)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，E为PD的中点(1)证明：PB平面ACE；(2)设PA1，ABC60，三棱锥EACD的体积为，求二面角DAEC的余弦值解析：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接OE(图略)在PBD中，PEDE，BODO，所以PBOE.又OE平面ACE，PB平面ACE，所以PB平面ACE.(2)由题易知VPABCD2VPACD4VEACD，设菱形ABCD的边长为a，则VPABCDSABCDPA(2a2)1，则a.取BC的中点为M，连接AM，则AMAD.以点A为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y 轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，E(0，)，C(，0)，(0，)，(，0)，设n1(x，y，z)为平面AEC的法向量，则即取x1，则n1(1，3)为平面AEC的一个法向量又易知平面AED的一个法向量为n2(1,0,0)，所以cosn1，n2，由图易知二面角DAEC为锐二面角，所以二面角DAEC的余弦值为.3(2018高考全国卷)如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值解析：(1)证明：因为PAPCAC4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP2.如图，连接OB.因为ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知POOB.由OPOB，OPAC，OBACO，得PO平面ABC.(2)如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，(0,2,2)取平面PAC的一个法向