高中数学 11.2互斥事件有一个发生的概率配套课件 理 新人教A版.ppt

第二节互斥事件有一个发生的概率 三年12考高考指数 了解互斥事件的意义 会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率 1 与实际问题相结合 考查互斥事件 对立事件概率的求法 2 互斥事件的计算公式应用频率较高 在各种题型中均有可能出现 是高考的热点 1 互斥事件的定义及概率公式 1 定义 的两个事件叫做互斥事件 2 互斥事件的概率公式 如果事件a b互斥 则p a b 如果事件a1 a2 an彼此互斥 则p a1 a2 an 不可能同时发生 p a p b p a1 p a2 p an 即时应用 1 判断下列两个事件是否为互斥事件 在括号内填写 是 或 否 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球 至少有1个白球和都是白球 至少有1个白球和至少有1个红球 恰有1个白球和恰有2个白球 至少有1个白球和都是红球 2 掷一颗骰子 设a为 出现2点 b为 出现奇数点 则p a b 3 某城市2011年的空气质量状况如表所示 空气污染指数t 50时 空气质量为优 50 t 100时 空气质量为良 100 t 150时 空气质量为轻微污染 该城市2011年空气质量达到良或优的概率为 解析 1 至少有1个白球包含2个白球 1红1白 都是白球即是2个白球 当摸出的2个球是2个白球时 两个事件能同时发生 不是互斥事件 至少有1个红球包含2个红球 1红1白两种情况 至少有1个白球包含2个白球 1红1白 当摸到1红1白时两个事件能同时发生 不是互斥事件 不能同时发生 是互斥事件 2 出现2点的概率为出现奇数点的概率为 3 良与优是彼此互斥的 故空气质量达到良或优的概率为答案 1 否 否 是 是 2 3 2 对立事件的定义及概率公式 1 定义对于两个事件 其中 互斥事件叫做对立事件 2 概率公式a与是对立事件 则p a 必有一个发生的 即时应用 1 判断下列两个事件是否为对立事件 在括号内填写 是 或 否 从1 2 9中任取两数 恰有一个偶数和恰有一个奇数 至少有一个是奇数和两个数都是奇数 至少有一个奇数和两个数都是偶数 至少有一个奇数和至少有一个偶数 2 在一次随机试验中 彼此互斥的事件a b c d的概率分别为0 2 0 2 0 3 0 3 判断下列说法是否正确 请在括号中填写 或 a b与c是互斥事件 也是对立事件 b c与d是互斥事件 也是对立事件 a c与b d是互斥事件 但不是对立事件 a与b c d是互斥事件 也是对立事件 3 在30瓶饮料中 有3瓶已过了保质期 从这30瓶饮料中任取2瓶 则至少取到1瓶已过保质期的概率为 结果用最简分数表示 解析 1 从1 2 9中任取2个数字包括一奇一偶 二奇 二偶共三种互斥事件 所以只有 中的两个事件才是对立的 2 由于a b c d彼此互斥 且a b c d是一个必然事件 故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示 由图可知 任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件 任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件 3 因为30瓶饮料中未过期饮料有30 3 27瓶 故其概率为答案 1 否 否 是 否 2 3 互斥事件概率计算公式的应用 方法点睛 求互斥事件的概率时应注意的问题 1 将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率和是关键 2 用互斥事件的概率加法公式 可以把一个较为复杂的概率计算分解成几个较简单的互斥事件的概率和的形式 再利用等可能性事件的概率计算方法即可求解 提醒 概率加法公式仅适用于互斥事件 即当a b互斥时 p a b p a p b 否则公式不能使用 例1 袋中有5个白球 3个黑球 从中任意摸出4个 求下列事件发生的概率 1 摸出2个或3个白球 2 至少摸出1个白球 解题指南 1 摸出2个白球与摸出3个白球这两个事件不可能同时发生 所以可应用互斥事件的加法公式p a b p a p b 2 至多 或 至少 型事件a概率的求法 规范解答 1 摸出2个或3个白球 分两种情况 2白2黑 3白1黑故摸出2个或3个白球的概率 2 至少一个白球的对立事件是全是黑球 由题意知全是黑球的事件是不可能事件 故所求概率为1 0 1 反思 感悟 应用互斥事件的概率加法公式的一般步骤是 1 确定诸事件彼此互斥 2 先求诸事件有一个发生的概率 再求其和 变式训练 同时掷三个骰子时 求出现的点数的和是5的倍数的概率 解析 设同时掷三个骰子 其和为5的事件为a1 其和为10的事件为a2 其和为15的事件为a3 且事件a1 a2 a3彼此互斥 其和为5的点数的组合有 1 1 3 1 2 2 1 3 1 3 1 1 2 1 2 2 2 1 则 其和为10的点数的组合有 1 3 6 1 4 5 2 3 5 2 2 6 2 4 4 3 3 4 由它们组成的序列对前三组是6个 后三组是3个 总共是6 3 3 3 27个 则 其和为15的点数的组合有 3 6 6 4 5 6 5 5 5 由它们组成的序列对的个数总共有3 6 1 10个 则故所求的概率为p a1 a2 a3 p a1 p a2 p a3 所求概率为 对立事件概率计算公式的应用 方法点睛 1 对立事件的理解从集合角度来看 事件a b对立 是指事件a b所含的结果各自组成的集合的交集为空集 且a b所含的结果合起来组成全集u 对立事件是互斥事件的一种特殊情形 2 利用对立事件概率公式解题当直接求某一事件的概率较为复杂时 可先转化为求对立事件的概率 这是我们常用的 正难则反 的解题原则 体现了转化的思想 例2 1 52张桥牌中有4张a 甲 乙 丙 丁每人任意分到13张牌 已知甲手中有一张a 则丙手中至少有一张a的概率为 2 汉方集团组织甲 乙等五名心理专家到四川参加心理救助 他们被随机地分到a b c d四所不同的学校 每所学校至少有一名心理专家 求甲 乙两人同时分配到a校的概率 求甲 乙两人不在同一所学校的概率 解题指南 1 先求丙手中没有a的概率 再利用对立事件求丙手中至少有一张a的概率 2 由于是随机分配 所以注意应用等可能性事件的概率求解 甲 乙两人不在同一学校 对应的事件较为复杂 所以考虑利用对立事件的概率公式来求解 规范解答 1 丙手中没有a的概率是由对立事件概率的加法公式知 丙手中至少有一张a的概率是答案 0 5949 2 记 汉方集团组织的5名心理专家中 甲 乙两人同时分配到a校 为事件ea 那么所以甲 乙两名心理专家同时分配到a校的概率是 记 甲 乙两人同时分配到同一所学校 为事件e 那么于是 甲 乙两人不在同一所学校的概率是 互动探究 在本例 2 中 求 有两人同时分配到a校 的概率 求 只有1人分配到a校 的概率 解析 记 有两人同时分配到a校 为事件b 则 只有1人分配到a校 与 有两人同时分配到a校 是对立事件 因此 只有1人分配到a校 的概率为p 1 p b 反思 感悟 明确对立事件的概率 即事件a b互斥 a b中必有一个发生 其中一个易求 另一个不易求时用p a p b 1即可迎刃而解 应用此公式时 一定要分清事件的对立事件到底是什么事件 不能重复或遗漏 该公式常用于 至多 至少 型问题的求解 变式备选 口袋里放了12个大小完全一样的球 其中3个是红色的 4个是白色的 5个是蓝色的 在袋中任意取出4个球 试求 1 取出的球的颜色至少是两种的概率 2 取出的球的颜色是三种的概率 解析 1 设从12个球中取出4个球至少是两种颜色的事件为a a的对立事件为 其中全为白色的有1种 全为蓝色的有5种 则所以 2 设取出的4个球中 1个红色 1个白色 2个蓝色的事件为a1 1个红色 2个白色 1个蓝色的事件为a2 2个红色 1个白色 1个蓝色的事件为a3 且a1 a2 a3彼此互斥 所求的概率为 p a1 a2 a3 p a1 p a2 p a3 互斥事件与对立事件概率的综合运用 方法点睛 求复杂的互斥事件的概率 一般有两种方法 1 直接法 将所求事件的概率分解成一些彼此互斥的事件的概率的和 分解后的每个事件概率的计算通常为等可能性事件的概率计算 其关键在于确定事件是否互斥 是否完备 2 间接法 先求出此事件的对立事件的概率 再用公式p a 即运用逆向思维法 正难则反 特别是解决 至多 至少 型的题目 用间接法就显得比较方便 例3 2012 南宁模拟 甲 乙 丙 丁四人参加一家公司的招聘面试 公司规定面试合格者可签约 甲 乙面试合格就签约 丙 丁面试都合格则一同签约 否则两人都不签约 设每人面试合格的概率都是且面试是否合格互不影响 求 1 至少有三人面试合格的概率 2 恰有两人签约的概率 解题指南 1 至少有三人面试合格 包含 三人面试合格 和 四人面试合格 两个事件 而这两个事件互斥 故可用互斥事件概率公式计算 2 恰有二人签约 包含 甲 乙二人签约 丙 丁不签约 与 甲 乙都不签约 丙 丁二人签约 两个事件 规范解答 1 设 至少有三人面试合格 为事件a 则 2 设 恰有两人签约 为事件b 甲 乙两人签约 丙 丁两人都不签约 为事件b1 甲 乙两人都不签约 丙 丁两人签约 为事件b2 则b b1 b2 p b p b1 p b2 反思 感悟 解答互斥事件的概率问题时判断事件是否为互斥事件是解题关键 互斥事件 对立事件的定义是判断两事件是否是互斥事件 对立事件的一种最有效 最简便的基本方法 也可从集合角度来判断 如果a b是两个互斥事件 反映在集合上是表示a b两个事件所含结果组成的集合的交集为空集 即a b 如果a b是对立事件 则在a b 的前提下 a与b的并集为全集 变式训练 某商场准备在五一劳动节期间举行促销活动 根据市场调查 该商场决定从2种服装商品 3种家电商品 5种日用商品中 选出3种商品进行促销活动 1 试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率 2 商场对选出的a商品采用的促销方案是有奖销售 即在该商品现价的基础上将价格提高120元 同时允许顾客有3次抽奖的机会 若中奖 则每次中奖都可获得60元奖金 假设顾客每次抽奖时获奖与否是等可能的 试求某位顾客所中奖金数不低于商场提价数的概率 解析 1 从2种服装商品 3种家电商品 5种日用商品中 选出3种商品 一共有种不同的选法 选出的3种商品中 没有日用商品的选法有种 所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为 2 要使所中奖金数不低于商场提价数 则该顾客应中奖两次或三次 分别得奖金120元和180元 顾客每次抽奖时获奖与否是等可能的 其概率都是所以中奖两次的概率是 中奖三次的概率是 故中奖两次或三次的概率 即所中奖金数不低于商场提价数的概率等于 满分指导 概率主观题的规范解答 典例 12分 2012 南宁模拟 某单位一辆交通车载有8名职工从单位出发送他们下班回家 途中共有甲 乙 丙3个停车点 如果某停车点无人下车 那么该车在这个点就不停车 假设每个职工在每个停车点下车的可能性都是相等的 求下列事件的概率 1 该车在某停车点停车 2 停车的次数不少于2次 3 恰好停车2次 解题指南 先求8个人在三个站点下车的所有不同情况 1 该车在某停车点停车 的对立事件是 8个人都不在这个停车点下车 而在另外2个点中的任一个下车 2 停车的次数不少于2次 的对立事件是 停车次数恰好1次 3 恰好停车2次 即8名职工在其中2个停车点下车 每个停车点至少有1人下车 规范解答 将8名职工每一种下车的情况作为1个基本事件 那么共有 6561 个 基本事件 1 记 该车在某停车点停车 为事件a 事件a发生说明在这个停车点有人下车 即至少有一人下车 这个事件包含的基本事件较复杂 于是我们考虑它的对立事件 即 8个人都不在这个停车点下车 而在另外2个点中的任一个下车 2分 5分 2 记 停车的次数不少于2次 为事件b 则 停车次数恰好1次 为事件 则 8分 3 记 恰好停车2次 为事件c 事件c发生就是8名职工在其中2个停车点下车 每个停车点至少有1人下车 所以该事件包含的基本事件数为 3 254 于是p c 12分 阅卷人点拨 通过阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2011 浙江高考 从装有3个红球 2个白球的袋中任取3个球 则所取的3个球中至少有1个白球的概率是 解析 选d 由古典概型的概率公式得p 2 2012 玉林模拟 从一批产品中取出三件产品 设a 三件产品全不是次品 b 三件产品全是次品 c 三件产品至少有一件是次品 则下列结论正确的是 a a与c互斥 b 任何两个均互斥 c b与c互斥 d 任何两个均不互斥 解析 选a 事件a表示三件产品全部是正品 事件b表示三件产品全是次品 事件c表示三件产品中 有一件次品 两件次品 三件全部是次品 三种情况 故事件b和事件c不互斥 而事件a和事件c互斥 3 2012 河池模拟 从一个正方体的8个顶点中任取3个 则以这3个点为顶点构成直角三角形的概率为 解析 选d 方法一 从正方体的8个顶点中任取3个有种取法 可构成的三角形有56种可能 正方体有6个表面和6个对角面 它们都是矩形 包括正方形 每一个矩