DZD第3章 弹性地基梁理论.pdf

地下建筑结构地下建筑结构 弹性地基梁理论 第三讲第三讲 丁祖德丁祖德 tele mail 47924659 土木系岩土与施工教研室土木系岩土与施工教研室 本讲内容本讲内容 定义 定义 弹性地基梁 弹性地基梁 是指搁置在具有 一定弹性地基上 各点与地基 紧密相贴的梁 是指搁置在具有 一定弹性地基上 各点与地基 紧密相贴的梁 如铁路枕木 钢筋混凝土条形基础梁 等 等 如铁路枕木 钢筋混凝土条形基础梁 等 等 通过这种梁 将作用在它上面的荷载 分布到较大 面积的地基上 既使承载能力较低的地基 通过这种梁 将作用在它上面的荷载 分布到较大 面积的地基上 既使承载能力较低的地基 能承受较大 的荷载 又能使梁的变形减小 提高刚度降低内力 能承受较大 的荷载 又能使梁的变形减小 提高刚度降低内力 1 概 述概 述 定义 定义 地下建筑结构弹性地基梁 可以是 地下建筑结构弹性地基梁 可以是平放的平放的 也可以是 也可以是竖放 的 竖放 的 地基介质可以是岩石 粘 土等固体材料 也可以是水 油之类的液体介质 弹性地基 梁是超静定梁 其计算有专门 的一套计算理论 地基介质可以是岩石 粘 土等固体材料 也可以是水 油之类的液体介质 弹性地基 梁是超静定梁 其计算有专门 的一套计算理论 1 概 述概 述 弹性地基梁与普通梁的区别 弹性地基梁与普通梁的区别 1 超静定次数是无限还是有限 超静定次数是无限还是有限 普通梁只在有限个支座处与基础相连 梁所受的支座反力是 有限个未知力 因此 普通梁是静定的或有限次超静定的结构 弹性地基梁与地基连续接触 梁所受的反力是连续分布的 具有无穷多个支点和无穷多个未知反力 因此 弹性地基梁是无 穷多次超静定结构 普通梁只在有限个支座处与基础相连 梁所受的支座反力是 有限个未知力 因此 普通梁是静定的或有限次超静定的结构 弹性地基梁与地基连续接触 梁所受的反力是连续分布的 具有无穷多个支点和无穷多个未知反力 因此 弹性地基梁是无 穷多次超静定结构 1 概 述概 述 弹性地基梁与普通梁的区别 弹性地基梁与普通梁的区别 2 地基的变形是考虑还是略去 地基的变形是考虑还是略去 普通梁的支座通常看作刚性支座 即略去地基的变形 只考 虑梁的变形 弹性地基梁则必须同时考虑地基的变形 梁与地基是共同变 形的 一方面梁给地基以压力 使地基沉陷 反过来 地基给梁 以相反的压力 限制梁的位移 普通梁的支座通常看作刚性支座 即略去地基的变形 只考 虑梁的变形 弹性地基梁则必须同时考虑地基的变形 梁与地基是共同变 形的 一方面梁给地基以压力 使地基沉陷 反过来 地基给梁 以相反的压力 限制梁的位移 1 概 述概 述 2 弹性地基梁的计算模型弹性地基梁的计算模型 计算模型分类 计算模型分类 由于地基梁搁置在地基上 梁上作用有荷载 地基 梁在荷载作用下与地基一起产生沉陷 因而梁底与地基 表面存在相互作用反力 的大小与地基沉降 由于地基梁搁置在地基上 梁上作用有荷载 地基 梁在荷载作用下与地基一起产生沉陷 因而梁底与地基 表面存在相互作用反力 的大小与地基沉降y 有密切 关系 很显然 沉降越大 反力 也越大 因此在弹性 地基梁的计算理论中 有密切 关系 很显然 沉降越大 反力 也越大 因此在弹性 地基梁的计算理论中关键问题是如何确定地基反力与地 基沉降之间的关系 关键问题是如何确定地基反力与地 基沉降之间的关系 或者说如何选取弹性地基的计算模 型问题 或者说如何选取弹性地基的计算模 型问题 1 局部弹性地基模型局部弹性地基模型 2 半无限体弹性地基模型半无限体弹性地基模型 局部弹性地基模型局部弹性地基模型 温克尔假设 温克尔假设 k p y 把地基模拟为刚性支座上一 系列独立的弹簧 把地基模拟为刚性支座上一 系列独立的弹簧 缺点缺点 局部弹性地基模型局部弹性地基模型 没有反映地基的变形连续性 不能全面的反映地基梁的实际情况 但如果地 基的上部为较薄的土层 下部为坚硬岩石 这时将得出比较满意的结果 优点优点 可以考虑梁本身的实际弹性变形 消除了可以考虑梁本身的实际弹性变形 消除了反力直线分布假设反力直线分布假设中的缺 点 局部弹性地基模型的 中的缺 点 局部弹性地基模型的计算较为简单计算较为简单 在实际 在实际应用较为方便应用较为方便 半无限体弹性地基模型半无限体弹性地基模型 弹性地基梁的受力和变形 假设假设 把地基看作一个均质 连续 弹性的半 无限体 优点优点 反映了地基的连续整体性 同时从几何 上 物理上对地基进行了简化 缺点缺点 弹性假设没有反映土壤的非弹性性质 均质假设没有反映土壤的不均匀性 半无限体的假设没有反映地基的分层特点 数学处理上比较复杂 3 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 及其初参数解 3 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 及其初参数解 基本假设 基本假设 左图所示为局部弹性地基梁上 的 左图所示为局部弹性地基梁上 的长为长为l 宽度宽度b为的等截面直梁 在荷载 为的等截面直梁 在荷载 q x 及及q作用下 梁和地基 的沉陷为 作用下 梁和地基 的沉陷为y x 梁与地基之间的反 力为 梁与地基之间的反 力为 x 在局部弹性地基梁的计算中 通常以沉陷函数 在局部弹性地基梁的计算中 通常以沉陷函数y x 作为基本未知 量 地基梁在外荷载 作为基本未知 量 地基梁在外荷载q x q作用 下产生变形 最终处于平衡状态 选取坐标系 作用 下产生变形 最终处于平衡状态 选取坐标系xoy 外荷载 地基反 力 梁截面内力及变形正负号规定 如图所示 外荷载 地基反 力 梁截面内力及变形正负号规定 如图所示 弹性地基梁的微元分析弹性地基梁的微元分析 1 弹性地基梁的挠度曲线1 弹性地基梁的挠度曲线微分方程微分方程式式 1 弹性地基梁的挠度曲线1 弹性地基梁的挠度曲线微分方程微分方程式式 弹性地基梁的微元分析弹性地基梁的微元分析 0 y xqky dx dq 0 a m dx dm q 考察微段的平衡有 化简得 省略二阶微量化简得 合并二式得 xqky dx md 2 2 1 弹性地基梁的挠度曲线1 弹性地基梁的挠度曲线微分方程微分方程式式 dx dy 2 2 dx yd ei dx d eim 3 3 dx yd ei dx dm q 根据材料力学有 代入化简得到挠曲微分方程挠曲微分方程 xqky dx yd ei 4 4 1 弹性地基梁的挠度曲线1 弹性地基梁的挠度曲线微分方程微分方程式式 1 2 返回返回 2 对应齐次微分方程的2 对应齐次微分方程的通解通解 0 4 4 ky dx yd ei 0 xq令挠曲微分方程中 得到对应齐次微分方程 由微分方程理论知 上述方程的通解由四个线性无关的特解组合而 成 为寻找四个线性无关的特解 令 由微分方程理论知 上述方程的通解由四个线性无关的特解组合而 成 为寻找四个线性无关的特解 令y erx并代入上式有 并代入上式有 ei k 4 或 sincos 4 i ei k 由复数开方根公式得 由复数开方根公式得 3 2 1 0 4 2 sin 4 2 4 k k i k cos ei k rk 1 4 1 4 4 4 3 4 2 1 i ei k ri ei k r 2 对应齐次微分方程的2 对应齐次微分方程的通解通解 3 4 令令 若地基梁宽度为若地基梁宽度为b 则有 则有 是与梁和地基的弹性性质相关的一个综合参数 反 映了地基梁与地基的相对刚度 对地基梁的受力特性和 变形有重要影响 通常把 是与梁和地基的弹性性质相关的一个综合参数 反 映了地基梁与地基的相对刚度 对地基梁的受力特性和 变形有重要影响 通常把 称为特征系数称为特征系数 称为换算长度 称为换算长度 4 4ei kb 4 4ei k l 2 对应齐次微分方程的2 对应齐次微分方程的通解通解 由式 由式 4 分别令 分别令k 0 1 2 3时 即可得四个线性无关的特解 将其 进行组合并引入四个积分常数 即得齐次微分方程式 时 即可得四个线性无关的特解 将其 进行组合并引入四个积分常数 即得齐次微分方程式 3 的通解 的通解 i 对于共轭复根 通解为 对于共轭复根 通解为 sincos 21 xaxaey x 1 4 1 4 4 4 3 4 2 1 i ei k ri ei k r 2 对应齐次微分方程的2 对应齐次微分方程的通解通解 5 通解为 xaxaexaxaey axax sincossincos 4321 2 对应齐次微分方程的2 对应齐次微分方程的通解通解 axshaxbaxshabaxchaxbaxchaxbysincossincos 4321 利用双曲函数关系 2 对应齐次微分方程的2 对应齐次微分方程的通解通解 xx ech xsh x ech xsh x 且令且令 424213 322211 2 1 2 1 2 1 2 1 bbabba bbabba 则有则有 式中b1 b2 b3 及 b4均为待定积分常数 式中b1 b2 b3 及 b4均为待定积分常数 式 5 和式 6 均为微分方程 3 的通解 在不同的问题中 有 各自不同的方便之处 式 5 和式 6 均为微分方程 3 的通解 在不同的问题中 有 各自不同的方便之处 式 5 和式 6 均为微分方程 3 的通解 在不同的问题中 有 各自不同的方便之处 式 5 和式 6 均为微分方程 3 的通解 在不同的问题中 有 各自不同的方便之处 2 2 xxxx ee xsh ee xch 6 初参数法初参数法 由式 由式 6 再据式 再据式 1 有 有 xxshxxchbxxshxxchb xxshxxchbxxshxxchbeiq xxchbxxchbxxshbxxshbeim xxchxxshbxxchxxshb xxshxxchbxxshxxchb xxshbxxshbxxchbxxchby cossinsincos sincoscossin2 cossincossin2 sincoscossin sincoscossin2 sincossincos 43 21 3 4321 2 43 21 4321 式 式 7 中积分常数 中积分常数b1 b2 b3 b4的确定是一个重要环节 梁在任一截面 都有四个参数量 即挠度 的确定是一个重要环节 梁在任一截面 都有四个参数量 即挠度y 转角 转角 弯矩 弯矩m 剪力 剪力q 而初始截面 而初始截面 x 0 的 的四个参数四个参数 y 0 0 m0 q0就叫做初参数 就叫做初参数 式式1 返回返回3 初参数解3 初参数解 7 3 初参数解3 初参数解 用初参数法计算了弹性地基梁的基本思路是 用初参数法计算了弹性地基梁的基本思路是 把四个 积分常数改用四个初参数来表示 把四个 积分常数改用四个初参数来表示 这样做的好处是 这样做的好处是 使积分常数具有明确的物理意义使积分常数具有明确的物理意义 根据初参数的物理意义来寻求简化计算的途径 根据初参数的物理意义来寻求简化计算的途径 3 初参数解3 初参数解3 初参数解3 初参数解 用初参数表示积分常数用初参数表示积分常数 弹性地基梁作用的初参数弹性地基梁作用的初参数 00 00 00 00 qq mm yy x x x x 梁左端边界条件 0 2 4 0 3 03 0 3 02 01 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 m ei b q ei b q ei b yb 得到积分常数 4 4ei kb 其中 10403 2 020 20104 3 03 2 0 3 2 04 3 01040 403 2 02010 22 2 1 42 22 2 2 1 qm bkbk yq qm bkbk ym bk q bk my bk q bk myy 用初参数表示的齐次微分方程的解 用初参数表示的齐次微分方程的解 axshaxaxchax axshax axshaxaxchax axchax cossin sin cossin cos 4 3 2 1 其 中 微分关系为 1 2 4 1 2 d d d d 3 4 2 3 2 d d d d 8 显著优点 1 物理意义明确 2 确定参数的工作 简化 弹性地基梁已知初参数 a端边界条件 待求初参数 自 由 端 m0 0 q0 0 m0 m q0 p1 ma 0 qa 0 ma 0 qa p2 0 y0 0 y0 简 支 端 m0 0 y0 0 m0 m1 y0 0 ma 0 ya 0 ma m2 ya 0 0 q0 0 q0 实际工程中常遇到的支座形式反荷载作用下梁端参数的值 固 定 端 0 0 y0 0 0 0 y0 0 a 0 ya 0 a 0 ya 0 m0 q0 m0 q0 弹 性 固 定 端 y0 0ya 0 0 m0 0 m0 q0 实际工程中常遇到的支座形式反荷载作用下梁端参数的值 待求初参数a端边界条件已知初参数弹性地基梁 4 弹性地基梁挠曲微分方程的特解 集中荷载作用的特解项集中荷载作用的特解项 a 集中力作用的特解项集中力作用的特解项 如图为一弹性地基梁 如图为一弹性地基梁 o端作用有初参数端作用有初参数 0 y0 m0 q0 a点有集中力点有集中力p 设 设y1为为oa段的挠度表达式 段的挠度表达式 y2为为ab段的挠度表达式 由梁上无分布荷载作用 故段的挠度表达式 由梁上无分布荷载作用 故 oa和和ab段的挠曲微分方程分别为段的挠曲微分方程分别为 4 4 1 1 4 4 4 2 2 4 4 4 d y yo dx d y yo dx 4 弹性地基梁挠曲微分方程的特解 9 集中荷载作用的特解项集中荷载作用的特解项 其中其中 p xxx 式 式 9a 的解可用梁端初参数来表示 即 的解可用梁端初参数来表示 即 43 2 211 2 2 1 bk q bk myy oooo 10 式 式 9b 的解可用 的解可用初参数作用下的解初参数作用下的解y1与集中力与集中力pi单独 作用下引起的附加项叠加 单独 作用下引起的附加项叠加 即 即 y2 y1 yp 将式 将式 11 代入式 代入式 9b 并注意式 并注意式 9a 有 有 12 0y xd ypd p 4 4 4 4 11 a 集中力作用的特解项集中力作用的特解项 比较式 比较式 9a 和式 和式 9b 知 式 知 式 12 解的形式与 式 解的形式与 式 10 相同 不同之处是将 相同 不同之处是将x换为换为x 四个初参数应解释 为 四个初参数应解释 为x xp处的突变挠度处的突变挠度ya1 转角 转角 a1 弯矩 弯矩ma1 剪力 剪力qa1 故 有 故 有 13 a 集中力作用的特解项集中力作用的特解项 41 3 2 1 22 1 1 11 2 p p pp xxbkaxxbka xxaxxap qm yy 由由a点的变形连续条件和受力情况有点的变形连续条件和受力情况有 代入式 代入式 13 并据式 并据式 8 得 得 14 iaaaa pqmy 1111 0 当时 特解项为零 1 2 3 2 4 2 1 2 pp pp xxipxxip xxipxxip pqpm bk p bk py 当时 p xx p xx a 集中力作用的特解项集中力作用的特解项 b 集中力偶集中力偶mi作用下的特解项作用下的特解项 集中力偶作用于地基梁集中力偶作用于地基梁 m xxim xxim xxim xxm xx mq mm bk m bk m y m m m m 4 1 2 3 3 2 2 2 m xx 当时 取特解项为零 由由a点的变形连续条件和受力情况有点的变形连续条件和受力情况有 i a aaa mmqy 1 111 0 分布荷载可分解成多个集中力 按集中力求特解项 为此 在分布荷载可分解成多个集中力 按集中力求特解项 为此 在x 截面左边 离端点的距离为截面左边 离端点的距离为u处取微段处取微段du 微段上荷载为 微段上荷载为qdu 此 此微荷 载在它右边的截面 微荷 载在它右边的截面x处引起的挠度特解项处引起的挠度特解项为 而 为 而x截面以左所有荷载引起的特解项截面以左所有荷载引起的特解项为为 下面讨论下面讨论分布荷载的几种特殊情况分布荷载的几种特殊情况 du bk q y ux x x p a 4 42ux bk qdu dy 分布荷载作用的特解项分布荷载作用的特解项 分布荷载作用于地基梁分布荷载作用于地基梁 a a 均布荷载均布荷载 2 3 2 4q 1 2 2 2 1 a a a a xxq xxq xx xxq q q q m bk bk q y ba xxx 荷载均布于ab段 xxa 积分限 积分限 分布荷载作用的特解项分布荷载作用的特解项 2 2 3 3 2 4 4q 1 1 ab ab ab ab 2 2 2 xxxxq xxxxq xxxx xxxxq q q q m bk bk q y a a 均布荷载均布荷载 分布荷载作用的特解项分布荷载作用的特解项 b xx ba xx 积分限 积分限 当荷载满跨均布时 积分限是 0 x 故有 2 3 2 4 1 2 2 2 1 q q q m bk bk q y q q q q a a 均布荷载均布荷载 分布荷载作用的特解项分布荷载作用的特解项 三角形荷载作用于地基梁三角形荷载作用于地基梁 q xx xu q ab a u x x ux u q a du bk q y 4 微段上荷载引起的挠度附加项为 b b 三角形分布荷载三角形分布荷载 分布荷载作用的特解项分布荷载作用的特解项 3 2 2 3 1 2 2 1 4 1 1 1 2 1 a a a a xx ab q xx ab q xx ab q xxa ab q xx q q xx q m bkxx q xx xxk q y ba xxx 当时 积分限是 xxa b b 三角形分布荷载三角形分布荷载 分布荷载作用的特解项分布荷载作用的特解项 3 3 2 4 4 3 2 1 1 4q 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 abb abb abb abb xxxxxxab ab q xxxxxxab ab q xxxxxxab ab xxxxxxab ab q xx xx q q xx xx q m xx xxk q xx xxk q y b xx 当时 积分限是 ba xx b b 三角形分布荷载三角形分布荷载 分布荷载作用的特解项分布荷载作用的特解项 3 2 4 3 1 2 2 4 1 2 1 l q q l q m kbl q x kbl q y q q q q 当三角形荷载布满全跨时 积分限是 0 x 有 b b 三角形分布荷载三角形分布荷载 分布荷载作用的特解项分布荷载作用的特解项 c c 梁全跨布满梯形荷载的特解项梁全跨布满梯形荷载的特解项 梯形荷载作用于地基梁梯形荷载作用于地基梁 只须把均布荷载与三角形荷载作用下两式叠加即可 2 3 2 4 1 3 2 4 3 1 2 2 2 2 1 2 4 1 2 1 q q q m bk bk q y l q q l q m kbl q x kbl q y q q q q q q q q 分布荷载作用的特解项分布荷载作用的特解项 共同作用共同作用下挠曲微分方程的通解下挠曲微分方程的通解 qqmpqmy ii 0000 综合荷载作用于地基梁综合荷载作用于地基梁 3 0 2 2 0 10 2 2 bk m yy 21 2 1 1 x bkl q bk q 3 2 44 0 2 mp xx i xx i bk m bk p bk q 3 0 2 2 0 3 1040 22 bk q bk m y 14 1 2 bkl q bk q 2 3 3 2 22 mp xx i xxi bk m p bk 22 0 104 3 0 3 2 0 2242 p xx i pq m bkbky m 4 3 3 2 42 l qq m m xxii 110403 2 0 2 0 22 p xxi pqm bkbky q 3 2 24 22 l qq m m xxi 当时 项取值为零 mb xxxx ii mp 共同作用共同作用下挠曲微分方程的通解下挠曲微分方程的通解 qqmpqmy ii 0000 弹性地基梁的分类弹性地基梁的分类 a 短梁 b 无限长梁 c 半无限长梁 d 刚性梁 换算长度换算长度l 4 弹性地基短梁 长梁及刚性梁4 弹性地基短梁 长梁及刚性梁 长梁的计算长梁的计算 无限长梁作用无限长梁作用集中力集中力pi的计算的计算 无限长梁作用集中力的计算 采用梁挠曲方程齐次解式 即 sincos sincos axaaxaeaxaaxaey axax 4321 0 x y 由有 0 21 aa 由对称条件有 0 x dx dy aaa 43 考虑地基反力与外载的平衡条件 i ax pdxaxaxekba sin cos 0 2 kb ap a i 2 化简得到 其中 sin cosaxaxe kb ap y axi 2 无限梁右半部分有 65 8 2 7 24 2 ii ii p q p m kb p kb p y 其中 axe axaxe axe axaxe ax ax ax ax sin sin cos cos sin cos 8 7 6 5 对于梁的左半部分 只需将式中和改变负号即可 q 无限长梁作用无限长梁作用集中力集中力pi的计算的计算 无限长梁在集中力偶无限长梁在集中力偶mi作用下的计算作用下的计算 无限长梁作用集中力偶的计算无限长梁作用集中力偶的计算 2 0 0 0 m m y x x 反对称条件 0 321 aaa bk m a 2 4 代入齐次微分方程通解得 0 x y 无限长梁右半部分的变形及内力为 7 6 5 3 8 2 2 2 m q m m kb m kb m y 对于左半部分 只需将上式中y与m变号即可 无限长梁在集中力偶无限长梁在集中力偶mi作用下的计算作用下的计算 半无限长梁作用初参数的计算半无限长梁作用初参数的计算 半无限长梁作用的初参数半无限长梁作用的初参数 0 x y axshaxbaxshabaxchaxbaxchaxbysincossincos 4321 将代入 得到 0 0 42 31 shaxbchaxb shaxbchaxb 0 0 0 0 qqmm xx 再由 2 0 2 2 0 3 0 1 2 22 ei m b ei m ei q b 得到 42 31 bb bb axshaxbchaxbaxshaxbchaxbysin cos 4231 如梁端作用有初参数 则可得到与之间的关系 00 y 00 y 00 qm 8050 7080 6070 2 5060 2 2 1 2 2 2 mqq mqm mq k mq bk y 最终有 00 2 0000 2 22 mq bk mq bk y 半无限长梁作用初参数的计算半无限长梁作用初参数的计算 半无限长梁在半无限长梁在梯形荷载作用梯形荷载作用下的计算下的计算 0 0 0 q m bkl q qbkl x bk q y 故任一截面的变形与内力为 bk xq y 是微分方程 的一个特解 xqky dx yd ei 4 4 梯形荷载作用于半无限长梁梯形荷载作用于半无限长梁 刚性梁的计算刚性梁的计算 2 0 2 0 3 2 3 0 2 0 0 00 22 1 6262 1 x q qxkxxkyq x qqx x k xkym xyy 刚性梁的计算刚性梁的计算 按静定梁的平衡条件 得到刚 性梁的变形与内力为 5 算 例5 算 例 例题例题3 1 如图所示 两端自由的弹性地基梁 长如图所示 两端自由的弹性地基梁 长l 4m 宽 宽 b 0 2m ei 1333 103n m2 地基的弹性压缩系数 地基的弹性压缩系数 k 4 0 104kn m3 求梁求梁1 2及及3截面的弯矩 截面的弯矩 解 解 1 判断梁的类型 1 判断梁的类型 m ei bk 110671 4 4 考虑pi集中载距右端为1m 故属于短梁 75 2 l 2 计算初参数 2 计算初参数 梁左端条件 梁右端条件 0 0 0 0 q m 0 0 l l q m 0 222 0 2242 0 2 2 2 3 1 30 2 20 0 3 3 3 2 3 2 40 3 30 2 lllilll lll i lll q p bk y bk q qpbk y bk m 代入共同作用下挠曲微分方程的通解得 将各数值代入后得 0 1 449 9 131607 1 187951 0 4 320 7 42224 8 131607 00 00 y y 解得 rad my 4 0 3 0 1018911 1047292 33 2 i 3 3 0 3 3 3 0 22 01 3 2 1 40 3 1 30 21 2 p 42 mn266 242