高考数学 4.1平面向量的概念及线性运算配套课件 文 北师大版.ppt

第一节平面向量的概念及线性运算 完全与教材同步 主干知识精心提炼 素质和能力源于基础 基础知识是耕作 半亩方塘 的工具 视角从 考纲点击 中切入 思维从 考点梳理 中拓展 智慧从 即时应用 中升华 科学的训练式梳理峰回路转 别有洞天 去尽情畅游吧 它会带你走进不一样的精彩 三年4考高考指数 1 了解向量的实际背景 2 理解平面向量的概念 理解两个向量相等的含义 3 理解向量的几何表示 4 掌握向量加法 减法的运算 并理解其几何意义 5 掌握向量数乘的运算及其几何意义 理解两个向量共线的含义 6 了解向量线性运算的性质及其几何意义 1 平面向量的线性运算及共线向量定理是高考考查的重点 也是热点 难度中等偏下 2 题型以客观题为主 与解析几何交汇命题则以解答题为主 1 向量的有关概念 1 定义 既有 又有 的量统称为向量 2 表示方法 用 来表示向量 有向线段的长度表示向量的 用箭头所指的方向表示向量的 用a b或用来表示 3 模 向量的 叫作向量的模 记作 a b 或 大小 方向 有向线段 大小 方向 长度 即时应用 1 请写出高中物理中的三个向量 2 判断下列命题的真假 请在括号中填写 真 或 假 向量的大小是实数 向量可以用有向线段表示 向量就是有向线段 向量的长度和向量的长度相等 解析 1 由向量的定义可知 物理中的速度 力 加速度等都为向量 2 向量是既有大小又有方向的量 向量的大小为实数 故 为真 向量可以用有向线段来表示 有向线段的长度为向量的大小 有向线段的方向为向量的方向 所以 为真 为假 与是大小相等 方向相反的向量 故 为真 答案 1 速度 力 加速度 答案不唯一 2 真 真 假 真 2 特殊向量 1 零向量 长度为 的向量叫作零向量 记作0 零向量的方向 2 单位向量 长度为 的向量叫作单位向量 3 共线向量 如果表示两个向量的有向线段所在的直线 则称这两个向量平行或共线 规定 零向量与任一向量平行 4 相等向量 长度 且方向 的向量叫作相等向量 5 相反向量 长度 且方向 的向量叫作相反向量 0 不确定 单位1 平行或重合 相等 相同 相等 相反 即时应用 1 判断下列命题的真假 请在括号中填写 真 或 假 若a与b平行 则b与a方向相同或相反 若a与b平行同向 且 a b 则a b a b 与a b的方向没有关系 2 把平面上一切单位向量归结到共同的始点 那么这些向量的终点所构成的图形是 解析 1 假 当a为零向量时 方向是不确定的 假 向量不能比较大小 真 向量a与b的模相等 即长度相等 与方向无关 2 这些向量的终点所构成的图形是以共同的始点为圆心 以单位1为半径的圆 答案 1 假 假 真 2 圆 3 向量的加法与减法 即时应用 1 判断下列命题是否正确 请在括号中填 或 2 若菱形abcd的边长为2 则 解析 1 不正确 因为 正确 因为 正确 因为答案 1 2 2 4 向量的数乘与向量共线的判定定理和性质定理 1 向量的数乘 长度 a 方向当 0时 a的方向与a的方向 当 0时 a的方向与a的方向 当 0时 a 其方向是任意的 a 相同 相反 0 2 向量数乘的运算律设 为实数 则 a a a b 3 向量共线的判定定理和性质定理 向量共线的判定定理a是一个非零向量 若存在一个实数 使得 则向量b与非零向量a共线 即 a 0 r a b a a a a b b a b a 向量共线的性质定理若向量b与非零向量a共线 则存在一个实数 使得 即a b a 0 b a b a r 即时应用 1 思考 在向量共线的性质定理中 当a 0时 还唯一吗 提示 当a 0且b 0时 可以为任意实数 不唯一 当a 0且b 0时 不存在 2 填空 8 a c 7 a c c 设两非零向量e1 e2不共线 且k e1 e2 e1 ke2 则实数k的值为 点c在线段ab上 且则 解析 原式 8a 8c 7a 7c c 8 7 a 8 7 1 c 15a 原式 由题意知 k e1 e2 e1 ke2 k e1 k k e2 又 e1与e2不共线 k 0或1 答案 例题归类全面精准 核心知识深入解读 本栏目科学归纳考向 紧扣高考重点 方法点睛 推门只见窗前月 突出解题方法 要领 答题技巧的指导与归纳 经典例题 投石冲破水中天 例题按层级分梯度进行设计 层层推进 流畅自然 配以形异神似的变式题 帮你举一反三 触类旁通 题型与方法贯通 才能高考无忧 平面向量的有关概念 方法点睛 1 平面向量中概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键 特别是对相等向量 零向量等概念的理解要到位 充分利用反例进行否定也是行之有效的方法 2 几个重要结论 1 相等向量具有传递性 非零向量的平行具有传递性 2 向量可以平移 平移后的向量与原向量是相等向量 3 平行向量与起点无关 例1 已知下列命题 单位向量都相等 若a与b是共线向量 b与c是共线向量 则a与c是共线向量 两个有共同起点而长度相等的非零向量 它们的终点必相同 由于0方向不确定 故0不能与任意向量平行 如果a b b c 则a c 如果 a b 则a与b的方向相同 其中不正确的命题是 请把不正确的命题的序号都填上 解题指南 以概念为判断依据 或通过举反例说明其不正确 规范解答 各单位向量的模都相等 但方向不一定相同 故 不正确 当b 0时 a与c可以为任意向量 故 不正确 两个有共同起点而长度相等的非零向量 如果它们的方向相同 则它们的终点必相同 否则终点不相同 故 不正确 规定0与任意向量平行 故 不正确 如果a b c都为零向量 则a c 如果a b c为非零向量 则它们的长度都相等 方向相同 所以a c 故 正确 不正确 答案 反思 感悟 平面向量的基本概念较多 比较容易遗忘 复习时要构建良好的知识结构来帮助记忆 还可以与物理中 生活中的模型进行类比和联想来记忆 变式训练 给出下列命题 两个具有公共终点的向量 一定是共线向量 两个向量不能比较大小 但它们的模能比较大小 a 0 为实数 则 必为零 为实数 若 a b 则a与b共线 其中错误命题的个数为 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 选c 错误 两向量共线要看其方向而不是起点与终点 正确 因为向量既有大小 又有方向 故它们不能比较大小 但它们的模均为实数 故可以比较大小 错误 当a 0时 不论 为何值 a 0 错误 当 0时 a b 此时a与b可以是任意向量 平面向量的线性运算1 平面向量的线性运算的方法三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法 共起点的向量和用平行四边形法则 差用三角形法则 2 两个重要结论 1 向量的中线公式 若p为线段ab中点 则 2 向量加法的多边形法则 提醒 当两个向量共线 平行 时 三角形法则同样适用 向量加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的 但当两个向量共线 平行 时 平行四边形法则就不适用了 例2 1 在 abc中 若d是ab边上一点 且则 2 2012 北京模拟 在 abc中 若o是 abc所在平面内一点 d为bc边中点 且那么 3 若则 解题指南 1 d是ab边上的三等分点 把用表示 2 由d为bc边中点可得即可求解 3 由可得 abc为正三角形 是该正三角形高的2倍 规范解答 1 选a 所以故选a 2 选a 因为d为bc边中点 又即故选a abc是边长为2的正三角形 为三角形高的2倍 所以答案 互动探究 若 1 中的条件作如下改变 若点d是ab边延长线上一点且若则 的值为 解析 由题意知 b为ad中点 又又 2 1 3 答案 3 反思 感悟 用已知向量来表示另外一些向量是解向量问题的基础 除了利用向量的线性运算法则外 还应充分利用平面几何的一些定理 如三角形的中位线定理 相似三角形的对应边成比例等 变式备选 如图 在平行四边形abcd中 e f分别是bc dc的中点 g为bf de的交点 若试用a b来表示 解析 连接bd 因为g是 cbd的重心 所以 向量共线判定定理和性质定理的应用 方法点睛 1 向量共线判定定理和性质定理的应用 1 可以利用向量共线判定定理证明向量共线 也可以由向量共线性质定理求参数的值 2 若a b不共线 则 a b 0的充要条件是 0 这一结论结合待定系数法应用非常广泛 2 证明三点共线的方法若则a b c三点共线 例3 已知a b不共线 设t r 如果3a c 2b d e t a b 是否存在实数t使c d e三点在一条直线上 若存在 求出实数t的值 若不存在 请说明理由 解题指南 先假设存在 再用a b表示目标向量 最后判断是否有成立即可 规范解答 由题设知 c d e三点在一条直线上的充要条件是存在实数k 使得即 t 3 a tb 3ka 2kb 整理得 t 3 3k a 2k t b 因为a b不共线 所以有解之得故存在实数使c d e三点在一条直线上 反思 感悟 1 注意待定系数法在解决此类问题中的应用 其中的k只是桥梁 可设而不求 2 本例中应用待定系数法求t的值时 不可忽视a b不共线的条件 变式训练 设e1与e2是两个不共线的非零向量 若向量 3e1 2e2 2e1 4e2 2e1 4e2 试证明 a c d三点共线 证明 又 2 与共线 a c d三点共线 变式备选 设a b是两个不共线向量 若a与b起点相同 t r t为何值时 a tb a b 三向量的终点在一条直线上 解析 设化简整理得 a与b不共线 故时 a tb a b 三向量的终点在一条直线上 把握高考命题动向 体现区域化考试特点 本栏目以最新的高考试题为研究素材 解析经典考题 洞悉命题趋势 展示现场评卷规则 对例题不仅仅是详解评析 更是从命题层面评价考题 从备考角度提示规律方法 拓展思维 警示误区 考题体验 让你零距离体验高考 亲历高考氛围 提升应战能力 为你顺利穿越数学高考时空增添活力 运筹帷幄 决胜千里 创新探究 以向量为背景的新定义问题 典例 2011 山东高考 设a1 a2 a3 a4是平面直角坐标系中两两不同的四点 若且则称a3 a4调和分割点a1 a2 已知平面上的点c d调和分割点a b则下面说法正确的是 a c可能是线段ab的中点 b d可能是线段ab的中点 c c d可能同时在线段ab上 d c d不可能同时在线段ab的延长线上 解题指南 本题为信息题 由知 a1 a2 a3 a4四点共线 且不重合 因为c d调和分割点a b 所以a b c d四点在同一直线上 设则然后逐项代入验证 规范解答 选d 由知 四点a1 a2 a3 a4在同一条直线上 且不重合 因为c d调和分割点a b 所以a b c d四点在同一直线上 设则选项a中此时d不存在 故选项a不正确 同理选项b也不正确 选项c中 也不正确 故选d 阅卷人点拨 通过对本题的深入研究 可以得到以下创新点拨和备考建议 1 2012 滁州模拟 abc中 则ab等于 a a b b a b c a b d b a 解析 选d 2 2012 宿州模拟 设p是 abc所在平面内的一点 则 解析 选c p为 abc中ac边的中点 即 3 2012 赣州模拟 已知平面上不重合的四点p a b c满足且那么实数m的值为 a 2 b 3 c 4 d 5 解析 选b 又 2 m 1