高考数学 3.5两角和与差的正弦、余弦和正切公式配套课件 文 新人教A版 .ppt

第五节两角和与差的正弦 余弦和正切公式 三年12考高考指数 1 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 2 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦 正切公式 3 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦 余弦 正切公式 导出二倍角的正弦 余弦 正切公式 了解它们的内在联系 1 利用两角和与差的正弦 余弦 正切公式进行三角函数式的化简 求值是高考的常考点 2 公式逆用 变形应用是高考热点 3 在选择题 填空题 解答题中都有所考查 1 两角和与差的正弦 余弦和正切公式 即时应用 1 判断下列式子的正误 请在括号内打 或 cos15 cos 45 30 cos45 cos30 sin15 sin 45 30 cos45 sin30 sin45 cos30 cos15 cos 60 45 cos60 cos45 sin60 sin45 cos15 cos 60 45 cos60 cos45 sin60 sin45 2 计算sin72 cos18 cos72 sin18 3 计算cos72 cos12 sin72 sin12 解析 1 cos15 cos 45 30 cos45 cos30 sin45 sin30 故 错误 sin15 sin 45 30 sin45 cos30 cos45 sin30 故 错误 正确 cos15 cos 60 45 cos60 cos45 sin60 sin45 故 错误 2 原式 sin 72 18 sin90 1 3 原式 cos 72 12 cos60 答案 1 2 1 3 2 二倍角的正弦 余弦 正切公式 即时应用 1 思考 二倍角公式tan2 中对任意的 都成立吗 提示 不一定 k 2 k k z 2 sin15 cos15 的值等于 解析 sin15 cos15 2sin15 cos15 sin30 答案 3 若tan 则tan2 解析 tan2 答案 三角函数的化简 方法点睛 三角函数的化简技巧 1 寻求角与角之间的关系 化非特殊角为特殊角 2 正确灵活地运用公式 通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值 3 一些常规技巧 1 的代换 正切化弦 和积互化 异角化同角等 4 三角函数的化简常用方法是 异名三角函数化为同名三角函数 异角化为同角 异次化为同次 正切化弦 特殊值与特殊角的三角函数互化 5 化简要求 能求出值的应求出值 使三角函数种数尽量少 使项数尽量少 尽量使分母不含三角函数 尽量使被开方数不含三角函数 提醒 公式的逆用 变形用十分重要 特别是1 cos2 2cos2 1 cos2 2sin2 形式相似 容易出错 应用时要加强 目标意识 例1 化简下列各式 1 2 解题指南 1 若注意到化简式是开平方根和2 是 的二倍 是的二倍 以及其范围不难找到解题的突破口 2 由于分子是一个平方差 分母可通过二倍角公式化简 若注意到这两大特征 不难得到解题的切入点 规范解答 1 因为 2 所以 cos cos 又因为 所以 sin sin 所以 原式 sin 2 原式 答案 1 sin 2 1 互动探究 把本例中的 2 改为求 解析 原式 答案 反思 感悟 1 在二倍角公式中 两个角的倍数关系 不仅限于2 是 的二倍 要熟悉多种形式的两个角的倍数关系 同时还要注意2 三个角的内在联系的作用 cos2 sin 2 2sin cos 是常用的三角变换 2 化简题一定要找准解题的突破口或切入点 其中的降次 消元 切化弦 异名化同名 异角化同角是常用的化简技巧 3 常用的公式变形cos 变式备选 不查表求sin220 cos280 sin20 cos80 的值 解析 sin220 cos280 sin20 cos80 1 cos40 1 cos160 sin20 cos80 1 cos40 cos160 sin20 cos 60 20 1 cos40 cos120 cos40 sin120 sin40 sin20 cos60 cos20 sin60 sin20 1 cos40 cos40 sin40 sin40 sin220 1 cos40 1 cos40 三角函数的求值 方法点睛 三角函数求值的类型和技巧三角函数求值的主要类型有两种 即给角求值 给值求值 1 给角求值的关键是正确地选用公式 以便把非特殊角的三角函数相约或相消 从而化为特殊角的三角函数 2 给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异 一般可以适当变换已知式 求得另外函数式的值 以备应用 同时也要注意变换待求式 便于将已知式求得的函数值代入 从而达到解题的目的 例2 若cos x x 求的值 解题指南 本题可以利用x x 的变换 同时要注意x的范围和符号 求出sinx和cosx代入原式求解 也可以化简原式后得到二倍角与和角的三角函数 利用2x 2 x 的变换 再利用两角差的余弦和二倍角公式求解 规范解答 方法一 由 x 得 x 2 又因cos x sin x cosx cos x cos x cos sin x sin 从而sinx tanx 7 原式 方法二 原式 而sin2x sin 2 x cos2 x 2cos2 x 1 所以 原式 反思 感悟 1 此题若将cos x 的左边展开成coscosx sinsinx 再求cosx sinx的值就很繁琐 把 x作为整体 并注意角的变换2 x 2x 运用二倍角公式 关键是在于化难为易 化繁为简的三角恒等变换 2 解答有条件限制的求值问题时 要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系 一般方法是拼角与拆角 变式训练 已知sin sin 求的值 解析 方法一 由题设 从而 方法二 令x 变式备选 已知 0 cos sin 求sin 的值 解析 又 cos sin 0 又 sin cos sin sin sin sin cos cos sin 三角函数的给值求角 方法点睛 1 三角函数的给值求角问题的一般思路 1 求出该角的某一三角函数值 2 确定角的范围 3 根据角的范围写出角 2 三角函数给值求角时应注意的问题求角的某一三角函数值时 应选择在该角所在范围内是单调的函数 这样 由三角函数值才可以唯一确定角 1 若角的范围是 0 选正 余弦皆可 2 若角的范围是 0 选余弦较好 3 若角的范围为 则选正弦 例3 已知cos cos 且0 1 求tan2 的值 2 求 解题指南 1 利用同角三角函数关系式求出sin tan 再求出tan2 2 把 写成 根据已知条件求出 的正弦 的正弦 求出cos 根据范围确定角 规范解答 1 由cos 0 得sin 于是 2 由0 得0 又 cos sin 由 得cos cos cos cos sin sin 反思 感悟 根据三角函数值求角时 一定要先确定角的范围 另外 也可运用同角三角函数的商数关系 在等式sinbcosa sinacosb两端同除以cosacosb得tanb tana等变化技巧也经常用到 变式训练 2012 三亚模拟 abc的三内角分别为a b c 向量m sina sinb n cosb cosa 若m n 1 cos a b 求c 解析 m n sinacosb sinbcosa sinacosb sinbcosa sin a b 1 cos a b sinc 1 cosc sinc cosc 1 即2sin c 1 sin c 又c 0 c c 变式备选 已知tan tan tan 均为锐角 求 的值 解析 tan tan 1且 为锐角 0 同理0 0 三角函数的综合应用 方法点睛 三角函数公式和三角函数性质的关系 1 两角和与差的正弦 余弦 正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数性质中 需要利用这些公式 先把函数解析式化为y asin x 的形式 再进一步探讨定义域 值域和最值 单调性 奇偶性 周期性 对称性等性质 2 注意特殊角三角函数值 诱导公式等基础知识的应用 主要考查基本运算能力 例4 2012 温州模拟 已知函数f x asinx cosx acos2x a b a 0 1 写出函数的单调递减区间 2 设x 0 f x 的最小值是 2 最大值是 求实数a b的值 解题指南 先把f x 通过恒等变换化为一个角的一个三角函数 再求三角函数的性质 规范解答 f x asin2x 1 cos2x a b sin2x cos2x b asin 2x b 1 由2k 2x 2k 得k x k k k k z为f x 的单调递减区间 2 0 x 2x sin 2x 1 f x min a b 2 f x max a b 由 解得 反思 感悟 利用三角函数公式进行三角恒等变形 要求熟练掌握公式和变换技巧 强化运算能力 以基本三角函数的性质为基础求y asin x 的性质 有时给出角的范围时要注意 x 的范围的变化 变式训练 已知函数f x cos 2x 2sin x sin x 1 求函数f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 2 求函数f x 在区间 上的值域 解析 1 f x cos 2x 2sin x sin x cos2x sin2x sinx cosx sinx cosx cos2x sin2x sin2x cos2x cos2x sin2x cos2x sin 2x 周期t 由2x k k z 得x k z 函数图象的对称轴方程为x k z 2 x 2x f x sin 2x 在区间 上单调递增 在区间 上单调递减 当x 时 f x 取最大值1 又 f f 当x 时 f x 取最小值 函数f x 在区间 上的值域为 1 满分指导 三角恒等变换主观题的规范解答 典例 14分 2011 广东高考 已知函数f x 2sin x x r 1 求f 的值 2 设 0 f 3 f 3 2 求cos 的值 解题指南 1 把x 代入解析式直接求解 2 由题目条件可求出sin 及cos 的值 然后利用同角三角函数关系 求出cos 及sin 的值 再利用两角和的余弦公式求解 规范解答 1 f 2sin 2sin 3分 2 由f 3 得2sin 即sin 6分由f 3 2 得2sin 从而cos 9分 0 12分 cos cos cos sin sin 14分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2011 福建高考 若tan 3 则的值等于 a 2 b 3 c 4 d 6 解析 选d 的值等于6 2 2011 福建高考 若 0 且sin2 cos2 则tan 的值等于 a b c d 解析 选d sin2 cos2 sin2 1 2sin2 sin2