高考数学 2.9函数与方程配套课件 文 北师大版.pptVIP

第九节函数与方程 三年13考高考指数 1 结合二次函数的图像 了解函数的零点与方程根的联系 判断一元二次方程根的存在性及根的个数 2 根据具体函数的图像 能够用二分法求相应方程的近似解 1 函数零点个数 存在区间及方程解的确定与应用是高考的热点 2 常与函数的图像与性质交汇命题 主要考查函数与方程 转化与化归 数形结合思想 3 题型以选择题和填空题为主 若与导数综合 则以解答题形式出现 属中 高档题 1 函数的零点 1 定义 函数y f x 的图像与 称为这个函数的零点 2 几个等价关系 横轴的交点的横坐标 即时应用 1 函数f x x3 x的零点是 2 函数f x lgx 的零点个数是 解析 1 令f x 0 即x3 x 0 解得x 0 1 1 f x 的零点为 1 0 1 2 由等价关系 零点个数转化为方程lgx 0的根的个数 lgx 即又转化为函数y lgx与y 图像的交点个数 由图像得有一个交点 即函数f x lgx 有1个零点 答案 1 1 0 1 2 1 2 函数零点的存在性定理 y f x 在 a b 内至少有一个零点 即时应用 1 若函数y f x 在区间 a b 上的图像为连续曲线 判断下列命题是否正确 请在括号中填写 或 若f a f b 0 则不存在实数c a b 使得f c 0 若f a f b 0 则存在且只存在一个实数c a b 使得f c 0 若f a f b 0 则有可能存在实数c a b 使得f c 0 若f a f b 0 则有可能不存在实数c a b 使得f c 0 2 在函数零点的存在性定理的条件下 当f x 是 时 在区间 a b 内f x 有唯一的一个零点 3 已知函数f x x3 x 1仅有一个正零点 则此零点所在的最短区间为 区间端点为整数 4 函数f x mx 1在 0 1 内有零点 则实数m的取值范围是 解析 1 如图甲的情况可判断 错 正确 如图乙的情况可判断 不正确 由零点存在性定理可知 不正确 2 由零点存在性定理容易判断f x 是单调函数即可 3 由于f 0 10 f 3 23 0 f 4 59 0 故只有区间 1 2 满足 4 由f 0 f 1 1 答案 1 2 单调函数 3 1 2 4 m 1 3 二分法 1 二分法的定义每次取区间的中点 将区间一分为二 再经比较 按需要留下其中一个 的方法称为二分法 2 用二分法求函数零点近似值的步骤第一步 确定区间 a b 验证f a f b 0 给定精度 第二步 求区间 a b 的中点c 小区间 第三步 计算f c 若f c 0 则c就是函数的零点 若f a f c 0 则令b c 此时零点x0 a c 若f c f b 0 则令a c 此时零点x0 c b 第四步 判断是否达到精度 即若 a b 则得到零点近似值a 或b 否则重复第二 三 四步 即时应用 1 已知f x x3 x2 2x 2 f 1 f 2 0 用二分法求f x 在 1 2 内的零点时 第一步是 2 用 二分法 求方程x3 2x 5 0在区间 2 3 内的实根 取区间中点为x0 2 5 那么下一个有根的区间是 解析 1 根据二分法求函数零点近似值的步骤 已知f 1 f 2 0 f 3 0 所以下一个有根的区间是 2 2 5 答案 1 求区间 1 2 的中点为 2 2 2 5 确定函数零点所在的区间 方法点睛 确定函数f x 的零点所在区间的方法 1 解方程法 当对应方程f x 0易解时 可先解方程 然后再看求得的根是否落在给定区间上 2 利用函数零点的存在性定理 首先看函数y f x 在区间 a b 上的图像是否连续 再看是否有f a f b 0 若有 则函数y f x 在区间 a b 内必有零点 3 数形结合法 通过画函数图像 观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断 例1 1 2012 豫南九校联考 函数的零点所在的区间为 a 0 1 b 1 2 c 2 3 d 3 4 2 2012 九江模拟 函数f x ln x 2 的零点所在的大致区间是 a 1 2 b 2 3 c 3 4 d 4 5 解题指南 1 根据函数零点的存在性定理 只需验证各选项中区间的端点值是否异号即可作出判断 2 根据题意先把不在定义域中的区间排除掉 然后通过求所给区间的两个端点的函数值进行判断 规范解答 1 选b f 0 0 2 0 4 0 f 1 1 2 13 1 0 f 2 2 2 23 7 0 f 3 3 2 33 0 f 4 4 2 43 0 f 1 f 2 0 故函数f x x 2 x3的零点所在的区间为 1 2 2 选c 由题意知函数f x 的定义域为 x x 2 排除a f 3 0 f 5 ln3 0 f 3 f 4 0 函数f x 的零点所在的大致区间是 3 4 互动探究 把本例 1 中的函数改为方程log3x x 3 判断其解所在的区间 解析 构造函数 转化为求函数的零点所在的区间 令f x log3x x 3 则f 2 log32 2 3 log30 又因为函数f x 在 0 上是连续且单调的函数 所以方程log3x x 3的解所在的区间为 2 3 反思 感悟 1 判断函数零点所在的区间 当方程f x 0无法解出或函数y f x 的图像不易作出时 常用函数零点存在性定理判断 2 判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题 变式备选 函数f x ex x 2的零点所在的一个区间是 a 2 1 b 1 0 c 0 1 d 1 2 解析 选c 因为f 0 10 所以零点在区间 0 1 上 故选c 判断函数零点个数 方法点睛 判断函数零点个数的方法 1 解方程法 令f x 0 如果能求出解 则有几个解就有几个零点 2 零点存在性定理法 利用定理不仅要求函数在区间 a b 上是连续不断的曲线 且f a f b 0 还必须结合函数的图像与性质 如单调性 奇偶性 周期性 对称性 才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质 3 数形结合法 转化为两个函数的图像的交点个数问题 先画出两个函数的图像 看其交点的个数 其中交点的横坐标有几个不同的值 就有几个不同的零点 例2 2011 陕西高考 方程 x cosx在 内 a 没有根 b 有且仅有一个根 c 有且仅有两个根 d 有无穷多个根 解题指南 本题可转化为函数y x 与y cosx在r上的交点问题或利用零点存在性定理及函数的性质进行判断 规范解答 选c 方法一 构造两个函数y x 和y cosx 在同一个坐标系内画出它们的图像 如图所示 观察知图像有两个公共点 所以已知方程有且仅有两个根 方法二 令f x x cosx 则知f x 为偶函数 当x 0 时 f x x cosx 显然x 时 f x x cosx 0 当x 0 时 f x 1 sinx 0 故f x x cosx在 0 上单调递增且f 0 0 cos0 10 即f 0 f 0 f x 在 0 上有且只有一个零点 又 函数f x 为偶函数 其在 0 上也有且只有一个零点 综上可知 函数f x x cosx在r上有且仅有两个零点 反思 感悟 在判断函数y f x 的零点个数或方程f x 0根的个数时 若方程f x 0易解 则用解方程法求解 若可转化为两熟悉的函数图像的交点个数问题 则用图像法求解 此时应注意画图要尽量精确 若图像画得太粗糙则易出现失误 若图像不易画则可利用零点存在性定理及函数的性质综合求解 变式训练 函数y sinx lgx的零点个数为 a 0 b 1 c 2 d 3 解析 选d 令函数y sinx lgx 0 即sinx lgx 设y1 sinx y2 lgx 这两个函数的图像的交点个数就是所给函数的零点的个数 y2 lgx过 1 0 点和 10 1 点 与y1 sinx的交点个数是3 函数的零点的个数是3 故选d 变式备选 1 判断函数f x log2 x 2 x 1 x 3 是否存在零点 解析 方法一 在同一平面直角坐标系中画出函数y log2 x 2 与函数y x的图像 观察知 两函数在 1 3 上有一个交点 即函数f x log2 x 2 x 1 x 3 存在零点 方法二 显然函数f x log2 x 2 x在 1 3 上是连续不断的 f 1 log2 1 2 1 1 0 f 3 log2 3 2 3 log25 3 0 f x log2 x 2 x 1 x 3 存在零点 2 判断函数在 1 1 上零点的个数 并说明理由 解析 显然函数在 1 1 上是连续不断的 f 1 1 3 1 2 4 1 0 又 当 1 x 1时 0 f x 在 1 1 上是单调递增函数 f x 在 1 1 上只有一个零点 由函数零点的存在情况求参数的取值 方法点睛 已知函数有零点 方程有根 求参数取值常用的方法和思路 1 直接法 直接求解方程得到方程的根 再通过解不等式确定参数范围 2 分离参数法 先将参数分离 转化成求函数值域问题解决 3 数形结合法 先对解析式变形 在同一平面直角坐标系中 画出函数的图像 然后观察求解 例3 2012 临沂模拟 已知函数 1 若g x k有零点 求k的取值范围 2 确定m的取值范围 使得g x f x 0有两个相异实根 解题指南 1 可用基本不等式求出最值或数形结合法求解 2 转化为函数f x 与g x 有两个交点 从而数形结合求解 规范解答 1 方法一 等号成立的条件是x e 故g x 的值域是 2e 因此 只需k 2e 则g x k就有零点 方法二 作出的大致图像如图 可知若使g x k有零点 则只需k 2e e 2 若g x f x 0有两个相异的实根 即g x 与f x 的图像有两个不同的交点 作出的大致图像 2e e f x x2 2ex m 1 x e 2 m 1 e2 其图像的对称轴为x e 开口向下 最大值为m 1 e2 故当m 1 e2 2e 即m e2 2e 1时 g x 与f x 有两个交点 即g x f x 0有两个相异实根 m的取值范围是 e2 2e 1 反思 感悟 有些二次 高次 分式 指数 对数及三角式 含绝对值方程根的存在问题 常转化为求函数值域或两熟悉函数图像的交点问题求解 变式训练 2012 长沙模拟 已知函数f x ax3 bx2 c 3a 2b x d a 0 的图像如图所示 1 求c d的值 2 若x0 5 方程f x 8a有三个不同的根 求实数a的取值范围 解析 函数f x 的导函数为f x 3ax2 2bx c 3a 2b 1 由题干图可知 函数f x 的图像过点 0 3 且 2 依题意f x ax3 bx2 3a 2b x 3 a 0 f x 3ax2 2bx 3a 2b 由图知f 5 0 得b 9a 若方程f x 8a有三个不同的根 当且仅当满足f 5 8a f 1 由 得 25a 3 8a 7a 3 解得 a 3 所以 当 a 3时 方程f x 8a有三个不同的根 创新探究 函数零点命题的新动向 典例 2011 山东高考 已知函数f x logax x b a 0 且a 1 当2 a 3 b 4时 函数f x 的零点x0 n n 1 n n 则n 解题指南 由条件易知函数f x 在 0 上为增函数 然后根据a b满足的条件及对数的运算性质探究出f x 零点所在的区间 从而对照x0 n n 1 n n 确定出n的值 规范解答 23 b0 f 3 0 即f 2 f 3 0由x0 n n 1 n n 知n 2 答案 2 阅卷人点拨 通过对本题的深入研究 可以得到以下创新点拨及备考建议 1 2011 新课标全国卷 在下列区间中 函数f x ex 4x 3的零点所在的区间为 解析 选c f x 是r上的增函数且图像是连续的 又 f x 在内存在唯一零点 2 2011 浙江高考 设函数若f a 4 则实数a a 4或 2 b 4或2 c 2或4 d 2或2 解析 选b 当a 0时 f a a 4 a 4 当a 0时 f a a2 4 a 2 综上 a 4或2 3 2012 淮北模拟 已知函数f x x 2x g x x lnx h x x 1的零点分别为x1 x2 x3 则x1 x2 x3的大小关系是 a x1 x2 x3 b x2 x1 x3 c x1 x3 x2 d x3 x2 x1 解析 选a 由已知x1 x2 x3分别为方程x 2x 0 x lnx 0和x 1 0的根 亦即2x x lnx x