（新课标）2020版高考数学总复习圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题练习文新人教A版.docx

第2课时圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题A组基础题组1.已知直线l与双曲线x24-y2=1相切于点P,l与双曲线的两条渐近线交于M,N两点,则OMON的值为()A.3B.4C.5D.与P的位置有关答案A依题意,设点P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),其中x02-4y02=4,则直线l的方程是x0x4-y0y=1,易知双曲线的两条渐近线方程为y=12x.当y0=0时,直线l的方程是x=2或x=-2.由x=2,x24-y2=0得x=2,y=1,此时OMON=(2,-1)(2,1)=4-1=3,同理可得,当直线l的方程是x=-2时,OMON=3.当y00时,直线l的方程是y=14y0(x0x-4).由y=14y0(x0x-4),x24-y2=0得(4y02-x02)x2+8x0x-16=0(*),又x02-4y02=4,因此(*)是-4x2+8x0x-16=0,x2-2x0x+4=0,x1x2=4,OMON=x1x2+y1y2=x1x2-14x1x2=34x1x2=3.综上所述,OMON=3,选A.2.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,ABC的顶点都在抛物线上,且满足FA+FB+FC=0,则1kAB+1kAC+1kBC=.答案0解析设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),Fp2,0,由FA+FB+FC=0,得y1+y2+y3=0.易得kAB=y2-y1x2-x1=2py1+y2,同理kAC=2py1+y3,kBC=2py2+y3,所以1kAB+1kAC+1kBC=y1+y22p+y3+y12p+y2+y32p=0.3.已知圆M:x2+(y-2)2=1,直线l:y=-1,动圆P与圆M相外切,且与直线l相切.设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求E的方程;(2)若点A,B是E上的两个动点,O为坐标原点,且OAOB=-16,求证:直线AB恒过定点.解析(1)设P(x,y),则x2+(y-2)2=(y+1)+1x2=8y.所以E的方程为x2=8y.(2)证明:易知直线AB的斜率存在,设直线AB:y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2).将直线AB的方程代入x2=8y中,得x2-8kx-8b=0,所以x1+x2=8k,x1x2=-8b.OAOB=x1x2+y1y2=x1x2+x12x2264=-8b+b2=-16b=4,所以直线AB恒过定点(0,4).4.椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为35,P(m,0)为C的长轴上的一个动点,过P点且斜率为45的直线l交椭圆C于A,B两点.当m=0时,PAPB=-412.(1)求椭圆C的方程;(2)证明:|PA|2+|PB|2为定值.解析(1)因为离心率为35,所以ba=45.当m=0时,l的方程为y=45x,代入x2a2+y2b2=1并整理得x2=a22.设A(x0,y0),则B(-x0,-y0),PAPB=-x02-y02=-4125x02=-4125a22.又因为PAPB=-412,所以a2=25,b2=16,所以椭圆C的方程为x225+y216=1.(2)证明:l的方程为x=54y+m,代入x225+y216=1,并整理得25y2+20my+8(m2-25)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2).则|PA|2=(x1-m)2+y12=4116y12,同理|PB|2=4116y22.则|PA|2+|PB|2=4116(y12+y22)=4116(y1+y2)2-2y1y2=4116-4m52-16(m2-25)25=41.所以|PA|2+|PB|2为定值.B组提升题组1.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x24+y2=1,点P(x1,y1),Q(x2,y2)是椭圆C上的两个动点,直线OP,OQ的斜率分别为k1,k2,若m=x12,y1,n=x22,y2,mn=0.(1)求证:k1k2=-14;(2)试探求OPQ的面积S是不是定值,并说明理由.解析(1)证明:k1,k2存在,x1x20,mn=0,x1x24+y1y2=0,k1k2=y1y2x1x2=-14.(2)当直线PQ的斜率不存在,即x1=x2,y1=-y2时,由y1y2x1x2=-14,得x124-y12=0,又P(x1,y1)在椭圆上,得x124+y12=1,|x1|=2,|y1|=22,SPOQ=12|x1|y1-y2|=1.当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为y=kx+b(b0).由y=kx+b,x24+y2=1得(4k2+1)x2+8kbx+4b2-4=0,=64k2b2-4(4k2+1)(4b2-4)=16(4k2+1-b2)0,x1+x2=-8kb4k2+1,x1x2=4b2-44k2+1.x1x24+y1y2=0,x1x24+(kx1+b)(kx2+b)=0,得2b2-4k2=1,满足0.SPOQ=12|b|1+k2|PQ|=12|b|(x1+x2)2-4x1x2=2|b|4k2+1-b24k2+1=1.POQ的面积S为定值.2.(2018安徽合肥质量检测)如图,在平面直角坐标系中,点F(-1,0),过直线l:x=-2右侧的动点P作PAl于点A,APF的平分线交x轴于点B,|PA|=2|BF|.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)过点F的直线q交曲线C于M,N两点,试问:x轴正半轴上是否存在点E,直线EM,EN分别交直线l于R,S两点,使RFS为直角?若存在,求出点E的坐标,若不存在,请说明理由.解析(1)设P(x,y),由平面几何知识得|PF|PA|=22,即(x+1)2+y2|x+2|=22,化简得x2+2y2=2,所以动点P的轨迹C的方程为x2+2y2=2(x2).(2)假设满足条件的点E(n,0)(n0)存在,设直线q的方程为x=my-1,M(x1,y1),N(x2,y2),R(-2,y3),S(-2,y4).联立,得x2+2y2=2,x=my-1,消去x,得(m2+2)y2-2my-1=0,y1+y2=2mm2+2,y1y2=-1m2+2,x1x2=(my1-1)(my2-1)=m2y1y2-m(y1+y2)+1=-m2m2+2-2m2m2+2+1=2-2m2m2+2,x1+x2=m(y1+y2)-2=2m2m2+2-2=-4m2+2,由条件知y1x1-n=y3-2-n,y3=-(2+n)y1x1-n,同理,y4=-(2+n)y2x2-n,kRF=y3-2