（新课标）2020版高考数学总复习第一节坐标系练习文新人教A版选修4_4.docx

第一节坐标系A组基础题组1.在极坐标系中,圆C是以点C2,-6为圆心,2为半径的圆.(1)求圆C的极坐标方程;(2)求圆C被直线l:=-512(R)截得的弦长.解析解法一:(1)如图,设圆C上异于O、A的任意一点为M(,),在RtOAM中,OMA=2,AOM=2-6,|OA|=4.因为cosAOM=|OM|OA|,所以|OM|=|OA|cosAOM,即=4cos2-6=4cos+6,验证可知,极点O与A4,-6的极坐标也满足方程,故圆C的极坐标方程为=4cos+6.(2)易知l过点O,设l:=-512(R)交圆C于另一点P,连接PA,在RtOAP中,OPA=2,易得AOP=4,所以|OP|=|OA|cosAOP=22.解法二:(1)圆C是将圆=4cos 绕极点按顺时针方向旋转6而得到的圆,所以圆C的极坐标方程是=4cos+6.(2)将=-512代入圆C的极坐标方程=4cos+6,得=22,所以圆C被直线l:=-512(R)截得的弦长为22.2.在直角坐标系xOy中,曲线C1的极坐标方程为2-2sin +1-a2=0(a0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos .(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为直角坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为=0,其中0满足tan 0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.解析(1)将C1的极坐标方程化为直角坐标方程为x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组2-2sin+1-a2=0,=4cos.若0,由方程组得16cos2-8sin cos +1-a2=0,由已知tan =2,可得16cos2-8sin cos =0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上,所以a=1.3.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为=4cos .(1)求出圆C的直角坐标方程;(2)已知圆C与x轴相交于A,B两点,直线l:y=2x关于点M(0,m)(m0)对称的直线为l.若直线l上存在点P使得APB=90,求实数m的最大值.解析(1)由=4cos 得2=4cos ,即x2+y2-4x=0,故圆C的直角坐标方程为x2+y2-4x=0.(2)l:y=2x关于点M(0,m)对称的直线l的方程为y=2x+2m,而AB为圆C的直径,故直线l上存在点P使得APB=90的充要条件是直线l与圆C有公共点,故|4+2m|52,解得-2-5m5-2,于是,实数m的最大值为5-2.B组提升题组1.(2018湖南湘东五校联考)平面直角坐标系xOy中,倾斜角为的直线l过点M(-2,-4),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为sin2=2cos .(1)写出直线l的参数方程(为常数)和曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与C交于A,B两点,且|MA|MB|=40,求倾斜角的值.解析(1)直线l的参数方程为x=-2+tcos,y=-4+tsin(t为参数),sin2=2cos ,即2sin2=2cos ,将x=cos ,y=sin 代入得曲线C的直角坐标方程为y2=2x.(2)把直线l的参数方程代入y2=2x,得t2sin2-(2cos +8sin )t+20=0,设A,B对应的参数分别为t1,t2,由一元二次方程根与系数的关系得,t1+t2=2cos+8sinsin2,t1t2=20sin2,根据直线的参数方程中参数的几何意义,得|MA|MB|=|t1t2|=20sin2=40,得=4或=34.又=(2cos +8sin )2-80sin20,所以=4.2.在平面直角坐标系中,曲线C1的参数方程为x=2cos,y=sin(为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆,射线=3与曲线C2交于点D2,3.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)已知极坐标系中两点A(1,0),B2,0+2,若A、B都在曲线C1上,求112+122的值.解析(1)因为C1的参数方程为x=2cos,y=sin,所以C1的普通方程为x24+y2=1.由题意设曲线C2的极坐标方程为=2acos (a为半径),将D2,3代入,得2=2a12,所以a=2,所以圆C2的圆心的直角坐标为(2,0),半径为2,所以C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.(2)曲线C1的极坐标方程为2cos24+2sin2=1,即2=44sin2+cos2.所以12=44sin20+cos20,22=44sin20+2+cos20+2=4sin20+4cos20.所以112+122=4sin20+cos204+4cos20+sin204=54.3.(2018河南名校联盟联考)在平面直角坐标系xOy中,圆C的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为(3cos +sin )=5.(1)求圆C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程;(2)在圆上找一点A,使它到直线l的距离最小,并求点A的极坐标.解析(1)x2+(y-1)2=1即x2+y2-2y=0,因为2=x2+y2,sin =y,所以圆C的极坐标方程为2=2sin ,即=2sin .(3cos +sin )=5即3cos +sin =5,因为cos =x,sin =y,所以直线l的直角坐标方程为y=-3x+5.(2)曲线C:x2+(y-1)2=1是以C(0,1)为圆心,1为半径的圆.设圆上点A(x0,y0)到直线l:y=-3x+5的距离最短,所以圆C在点A处的切线与直线l:y=-3x+5平行.即直线CA与l的斜率的乘积等于-1,即y0-1x0(-3)=-1.因为点A在圆上,所以x02+(y0-1)2=1,联立可解得x0=-32,y0=12或x0=32,y0=32.所以点A的坐标为-32,12或32,32.又由于圆上点A到直线l:y=-3x+5的距离最小,所以点A的坐标为32,32,点A的极径为322+322=3,极角满足tan =3且为第一象限角,则可取=3.所以点A的极坐标为3,3.4.在直角坐标系中,已知曲线M的参数方程为x=1+22cos,y=1+22sin(为参数),在极坐标系中,直线l1的方程为1=,直线l2的方程为2=+2.(1)写出曲线M的普通方程,并指出它是什么曲线;(2)设l1与曲线M交于A,C两点,l2与曲线M交于B,D两点,求四边形ABCD面积的取值范围.解析(1)由x=1+22cos,y=1+22sin(为参数),消去参数,得曲线M的普通方程(x-1)2+(y-1)2=8,曲线M是以(1,1)为圆心,22为半径的圆.(2)设|OA|=1,|OC|=2,O,A,C三点共线,则|AC|=|1-2|=(1+2)2-412(*),将曲线M的方程化成极坐标方程,得2-2(sin +cos )-6=0