高考数学一轮总复习 第7章 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质课件 文.ppt

锁定高考 一轮总复习新课标版文数 第七章 7 5直线 平面垂直的判定及其性质 最新考纲 能以立体几何中的定义 公理和定理为出发点 认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理 2 能运用公理 定理和已获得的结论 证明一些有关空间图形的位置关系的简单命题 7 5直线 平面垂直的判定及其性质 第五节 最新考纲 基础梳理 自主测评 典例研析 特色栏目 备课优选 基础梳理 直线和平面垂直的定义如果一条直线 和一个平面 内的任意一条直线都垂直 我们就说直线 和平面 互相垂直 记作 直线 叫做平面 的垂线 平面 叫做直线 的垂面 直线和平面垂直的有关定理 直线和平面垂直的判定 线和平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直 则该直线与这个平面垂直 即 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面 那么另一条也垂直于这个平面 即 直线和平面垂直的性质 线和平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 即 如果一条直线垂直于一个平面 那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线 过一点有且只有一条直线和已知平面垂直 过一点有且只有一个平面和已知直线垂直 如果一条直线与两个平面都垂直 那么这两个平面平行 直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角 当直线与平面垂直或平行 或直线在平面内 时 规定直线和平面所成的角分别为 两个平面垂直的定义 二面角 从一条直线出发的两个半平面所形成的空间图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 两个半平面叫做二面角的面 二面角的平面角 在二面角 的棱 上任取一点 以 为垂足 在两个半平面内分别作垂直于棱的射线 和 则射线 和 所成的角 叫做二面角 的平面角 直二面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角 两个平面垂直的定义 两个平面相交 如果它们所成的二面角是直角 那么就说这两个平面互相垂直 平面与平面垂直的有关定理 两个平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线 则这两个平面垂直即 两个平面垂直的性质定理 两个平面垂直 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 即 自主测评 1 判断下列命题是否正确 1 如果平面 平面 那么平面 内一定存在直线平行于平面 2 如果平面 不垂直于平面 那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 3 如果平面 平面 平面 平面 l 那么l 平面 4 如果平面 平面 那么平面 内所有直线都垂直于平面 1 正确 由面面垂直的性质定理可知 1 正确 2 正确 平面 不垂直于平面 即两平面平行或相交但不垂直时 平面 内一定不存在直线垂直于平面 故 2 正确 3 正确 平面 平面 平面 平面 l 则有l 平面 故 3 正确 4 错误 由于平面 平面 那么平面 内垂直于交线的直线才垂直于平面 故 4 错误 解析 2013 江西联考 2 下列命题中 错误的是 d a 一条直线与两个平行平面中的一个相交 则必与另一个平面相交b 平行于同一平面的两个不同平面平行c 垂直于同一平面的两个平面互相平行或相交d 若直线l不平行于平面 则在平面 内不存在与l平行的直线 根据面面平行的概念和性质定理可知a b都正确 由面面垂直的性质定理可知c正确 若直线l不平行于平面 则可能l 此时在平面 内有无数条直线与l平行 故d错误 解析 3 给出下列四个命题 若直线l垂直于平面 内的两条直线 则l 若直线l垂直于平面 内的无数条直线 则l 若直线l垂直于平面 内的任意一条直线 则l 若l 则直线l垂直于平面 内的无数条直线 其中真命题的个数是 c a 4b 3c 2d 1 若直线l垂直于平面 内的一组平行直线 则直线不一定垂直于平面 故 均错误 由线面垂直的定义可知 正确 故选c 解析 4 下列命题中正确的是 c a 过平面外一点作此平面的垂面是唯一的b 过直线外一点作此直线的垂线是唯一的c 过平面的一条斜线作此平面的垂面是唯一的d 过直线外一点作此直线的平行平面是唯一的 易知选项a d错误 对于选项b 过直线外一点且与该直线垂直的直线有无数条 故b错误 对于选项c 过此斜线上一点向平面作垂线 则垂面必须也经过这条垂线 因此斜线和垂线这两条相交直线确定唯一一个平面 c正确 解析 2013 青岛模拟 5 已知m n为两条不同的直线 为两个不同的平面 则下列命题中正确的是 d a 若l m l n 且m n 则l b 若平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等 则 c 若m m n 则n d 若m n n 则m 根据线面垂直的性质可知 选项d正确 解析 题型分类 典例研析 对应学生用书p116 题型1 线面垂直的判定与性质 例1如图 在 abc中 abc 90 d是ac的中点 s是 abc所在平面外一点 且sa sb sc 1 求证 sd 平面abc 2 若ab bc 求证 bd 平面sac 1 设法在平面abc内找两条相交直线与sd垂直 2 设法在平面sac内找两条相交直线与bd垂直 思路点拨 1 sa sc d是ac的中点 sd ac 2分 在rt abc中 ad bd 又sa sb sd sd ads bds ads bds 90 sd bd 6分 又ac bd d sd 平面abc 8分 2 ab bc d为ac的中点 bd ac 10分 由 1 知sd bd 又sd ac d bd 平面sac 12分 在用线面垂直的判定定理证明线面垂直时 考生往往忽略说明平面内的两条直线相交 而导致被扣分 这一点在证明中要注意 口诀 线不在多 重在相交 规范解答 点评 规律总结 证明线面垂直的常用方法 1 利用判定定理 2 利用平行线垂直于平面的传递性 a b a b 3 利用面面平行的性质 a a 4 利用面面垂直的性质 当两个平面垂直时 在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另外一个平面 线面垂直性质的应用 直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直 直线与平面垂直 直线与直线垂直 通过直线与平面位置关系的不断转化来处理有关垂直的问题 例如当直线和平面垂直时 该直线垂直于平面内的任意一条直线 常用来证明线线垂直 迁移发散1 2013 重庆高考 如图所示 四棱锥p abcd中 pa 底面abcd pa 2 3 bc cd 2 acb acd 3 1 求证 bd 平面pac 2 若侧棱pc上的点f满足pf 7fc 求三棱锥p bdf的体积 1 bc cd 即 bcd为等腰三角形 又 acb acd bd ac 3分 pa 底面abcd pa bd 从而bd与平面pac内两条相交直线pa ac都垂直 bd 平面pac 6分 规范解答 2 三棱锥p bcd的底面bcd的面积s bcd 1 2 bc cd sin bcd 1 2 2 2 sin2 3 3 8分 由pa 底面abcd 得vp bcd 1 3 s bcd pa 1 3 3 2 3 2 由pf 7fc 得三棱锥f bcd的高为1 8pa 10分 故vf bcd 1 3 s bcd 1 8pa 1 3 3 1 8 2 3 1 4 vp bdf vp bcd vf bcd 2 1 4 7 4 12分 题型2 面面垂直的判定与性质 例2 2013 临沂模拟 如图 ad 平面abc ad ce ac ad ab 1 bac 90 凸多面体abced的体积为 f为bc的中点 1 求证 af 平面bde 2 求证 平面bde 平面bce 1 在平面bde中寻求与af平行的直线 进一步证明 2 通过af与平面bce的垂直 探讨出平面bde中的直线与平面bce垂直 思路点拨 1 ad 平面abc ac 平面abc ab 平面abc ad ac ad ab ad ce ce ac 四边形aced为直角梯形 又 bac 90 ab ac ab 平面aced 凸多面体abced的体积 2分 v s四边形aced ab 1 3 1 2 1 ce 1 1 1 2 ce 2 3分 取be的中点g 连接gf gd 则gf ec gf ce 1 gf ad gf ad 四边形adgf为平行四边形 af dg 又gd 平面bde af 平面bde af 平面bde 5分 规范解答 2 ab ac f为bc的中点 af bc 6分 由 1 知ad 平面abc ad gf gf 平面abc af 平面abc af gf 7分 又bc gf f af 平面bce 8分 又dg af dg 平面bce 9分 dg 平面bde 平面bde 平面bce 10分 面面垂直的性质定理在立体几何中是一个极为关键的定理 这个定理的主要作用是作一个平面的垂线 在一些垂直关系的证明及线面角 二面角的求解中 很多情况都要借助这个定理作出平面的垂线 注意定理使用的条件 在推理论证时要把定理所需要的条件列举完整 同时要注意推理论证的层次性 确定先证明什么 后证明什么 在线面角 二面角的求解中要注意作图 论证 计算这三个完整的环节 点评 规律总结 1 面面垂直的判定 1 利用判定定理证明面面垂直实质是证明线面垂直 与其中一个平面垂直的直线的选取至关重要 要根据条件的直观图准确选取 2 利用定义证明面面垂直实质是证明线线垂直 即证明两平面形成的二面角是直角 2 面面垂直的性质及应用 1 两平面垂直 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 可以进一步转化为线线垂直 面面垂直 线面垂直 线线垂直 2 两个相交平面同时垂直于第三个平面 那么它们的交线也垂直于第三个平面 迁移发散2 2013 北京高考 如图 在四棱锥p abcd中 ab cd ab ad cd 2ab 平面pad 底面abcd pa ad e和f分别是cd和pc的中点 求证 1 pa 底面abcd 2 be 平面pad 3 平面bef 平面pcd 1 平面pad 底面abcd 且pa垂直于这两个平面的交线ad pa 底面abcd 3分 2 ab cd cd 2ab e为cd的中点 ab de 且ab de 四边形abed为平行四边形 be ad 5分 又be 平面pad ad 平面pad be 平面pad 7分 规范解答 3 ab ad 四边形abed为平行四边形 be cd ad cd 由 1 知pa 底面abcd pa cd 9分 又ad pa a cd 平面pad cd pd e和f分别是cd和pc的中点 pd ef cd ef 又cd be cd 平面bef 又cd 平面pcd 平面bef 平面pcd 12分 题型3 空间角 例3如图 在三棱柱abc a1b1c1中 h是正方形aa1b1b的中心 aa1 2 2 c1h 平面aa1b1b 且c1h 5 1 求异面直线ac与a1b1所成角的余弦值 2 求二面角a a1c1 b1的正弦值 3 设n为棱b1c1的中点 点m在平面aa1b1b内 且mn 平面a1b1c1 求线段bm的长 1 用平移法作出角 求解 2 先作出二面角的平面角 然后解三角形即可 3 先确定点m 再求bm 思路点拨 规范解答 本题比较综合 因此出错点较多 可能的错误有 1 求出异面直线所成角的余弦值为 忘记了角的范围是 2 二面角的平面角没有找到 导致求角失误 3 点m的位置没有定准 导致bm求错 易错警示 点评 要注意余弦定理在求空间角时的应用 本例中 1 2 两问都是作出角之后 通过余弦定理进行解决 1 线面角的求法 1 直接法 利用线面角定义 2 先求斜线上的点到平面的距离h 再与斜线段长度作比 得sin 2 二面角的求法 1 定义法 在二面角的棱上取一点 特殊点 作出平面角 再求解 2 找垂线法 由一个半平面内作 或找 一点到另一个半平面的垂线 用线面垂直的判定与性质作出二面角的平面角 再求解 3 射影法 利用面积射影公式s s cos 其中 为平面角的大小 规律总结 迁移发散3 2013 北京高考 如图 在四棱锥p abcd中 ab cd ab ad cd 2ab 平面pad 底面abcd pa ad e和f分别是cd和pc的中点 求证 1 pa 底面abcd 2 be 平面pad 3 平面bef 平面pcd 1 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ab 平面abcd 故pa ab 又ab ad pa ad a 从而ab 平面pad 2分 故pb在平面pad内的投影为pa 从而 apb为pb和平面pad所成的角 在rt pab中 ab pa 故 apb 45 pb和平面pad所成的角的大小为45 4分 规范解答 解题规范指导 线面角的求法 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 求a1b与平面a1b1cd所成的角 要求a1b与平面a1b1cd所成的角 只需找到a1b在平面a1b1cd上的射影即可 一 作出平面的垂线 二 找到线面角 并证明 三 求出此角 思路点拨 步骤分析 规范解答 求直线和平面所成的角时 应注意以下问题 1 先判断直线和平面的位置关系 2 当直线和平面斜交时 常有的步骤 作 作出或找到斜线与射影所成的角 证 论证所作或找到的角为所求的角 算 常用解三角形的方法求角 规律总结 迁移发散 2013 湖南五市十校联考 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd为平行四边形 adc 45 ad ac 1 o为ac的中点 po 平面abcd po 2 m为pd的中点 1 证明 pb 平面acm 2 证明 ad 平面pac 3 求直线am与平面abcd所成角的正切值 规范解答 备课优选 题型4 求距离的一般方法和作法 例4如图 三棱锥a bcd中 dc bc bc 2 cd ac 2 ab ad 2 1 证明 平面abc 平面acd 2 求点c到平面abd的距离 1 首先根据已知线段的长度确定线线垂直关系 利用线面垂直的判定定理证明dc 平面abc 然后证明结论 2 利用四面体abcd的顶点和底面的变换 根据三棱锥c abd与d abc的体积相等列出方程即可求解 思路点拨 规范解答 空间线面关系的证明一般都是从平面图形中的线线垂直 平行入手的 所以要注意几何体的结构特征 对于给定长度的线段 通过线段长度之间的关系寻找一些垂直关系 是证明空间垂直关系的关键 点评 规律总结 在所有距离中 点到面的距离是最基本的 其他距离都可转化为点到面的距离求解 求点到面的距离可分为两类方法 一类是先作出垂线段 再求出其值 另一类是通过等积法计算得出垂线段的长 特别是求解锥体体积时 一定要注意灵活选择合适的底面 使底面积和高都便于求解 题型5 探索型问题 例5如图 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd 四边形abcd为长方形 ad 2ab 点e f分别是线段pd pc的中点 1 证明 ef 平面pab 2 在线段ad上是否存在一点o 使得bo 平面pac 若存在 请指出点o的位置 并证明bo 平面pac 若不存在 请说明理由 1 利用线面平行的判定定理 由线线平行来证线面平行 2 利用面面平行的性质 由面面平行来证明线面平行 思路点拨 规范解答 第 2 问的关键是 猜想 出点o的位置 然后利用线面垂直的判定定理来证明 探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题 此类题目的条件或结论不完备 要求解答者自己去探索 结合已有条件 进行观察 分析 比较和概括 对于立体几何中点的存在性问题的探索 可以先找到点的位置 再进行证明 点评 规律总结 精选习题 1 若平面 满足 l p p l 则下列命题中的假命题