数学与应用数学毕业论文-矩阵 的幂等性的进一步研究.doc

李延玲 矩阵的幂等性的进一步研究矩阵的幂等性的进一步研究李延玲（数学系 指导老师：陈智雄）摘要：幂等矩阵在矩阵论中起着基础性的作用，特别是幂等矩阵的线性组合的性质。本文得出了两个可交换矩阵次幂等矩阵和矩阵的线性组合的幂等性条件，两个可交换幂等矩阵和次幂等矩阵的线性组合的幂等性的一些充要条件。关键词：幂等矩阵 幂等矩阵 线性组合 幂等性 Abstract：Idempotent matrix in matrix theory plays a basic role, in particular linear combinations of idempotent matrices nature. In this paper, wo give two interchangeable l-potent matrix idempotent matrix and the matrix of linear combination of power and other conditions, and the two interchangeable Idempotent and l-potent matrix of linear combinations of idempotent some of the necessary and sufficient conditions .Keywords: Idempotent matrix l-potent matrix linear combination idempotency 0 符号说明及引言幂等矩阵是一类很重要的矩阵，它在矩阵理论中起着基础性的作用，近几年关于幂等矩阵的线性组合性质（尤其是幂等性和可逆性）研究的文献很多。例如，在文献1中给出了两个幂等矩阵在可交换与不可交换下的幂等性问题，文献2中得出了幂等算子线性组合的幂等性的条件，文献2给出了两幂等矩阵线性组合的次幂等性的一些充要条件以及参考文献5中已经得出了幂等矩阵和幂等矩阵，且，建立了矩阵与的线性组合是幂等矩阵的一些充分条件。在文献16的基础上，进一步探讨两个可交换的幂等矩阵的线性组合的幂等性问题。在给出本文的定理之前，首先对在本文中要用到的符号进行说明，并且引入在这证明过程中要用到的一些结论或者定理。 用表示复数域上的所有矩阵组成的集合；表示复数域上的所有维列向量组成的集合，表示阶单位矩阵，表示阶单位矩阵，表示矩阵的秩。如果非零矩阵,且，称为是幂等矩阵。如果非零矩阵,且，其中，称为是次幂等矩阵。当时，称为是三幂等矩阵。对于非零矩阵，如果存在可逆矩阵，使得,称矩阵和是相似的。如果非零矩阵与对角矩阵相似，称矩阵可对角化。如果矩阵和都可对角化，且存在可逆矩阵，使得和都是对角矩阵，称矩阵和同时可对角化。本文主要是采用定义法和可对角化法讨论矩阵的幂等性,探讨两个可交换矩阵次幂等矩阵与矩阵的线性组合的幂等性，接着给出两个可交换矩阵幂等矩阵和 幂等矩阵的线性组合的幂等性的一些充要条件。1 预备知识下面给出在本文中要用到的一些基本定理。引理1 假设当时，则是三幂等矩阵。证明：引理2 设为次幂等矩阵，则矩阵必相似于对角矩阵，即存在可逆矩阵，使得，其中 ， 。证明：由于为次幂等矩阵，即，设矩阵的化零多项式为，当时，则的可能取值为。矩阵的化零多项式无重根，所以矩阵必相似于对角矩阵，即存在可逆矩阵，使得，其中 。 引理 34 设,其中当，是级单位矩阵，则与可交换的矩阵只能是准对角矩阵，其中是级矩阵（）。证明：设与可交换，其中与分块方式相同，即，由于互异，比较非对角块元素，即，于是。因此与可交换的矩阵是准对角矩阵。引理4 设，是两个非零矩阵，满足，则存在可逆矩阵，使得，证明：令，因为，所以由引理2和引理3知，。引理5 设矩阵为两个可交换的幂等矩阵，则存在非奇异矩阵，使得，其中 ， 分别为阶，阶的对角矩阵，其对角元。引理6设矩阵为两个可交换的幂等矩阵，矩阵为的线性组合，其中，则矩阵是可对角化的。引理7 设，若有可逆矩阵和使，则和有相同的幂等性。证明：假设为k次幂等矩阵，即，则有；另一方面，当时，则有。2 主要结果2.1 可交换次幂等矩阵和矩阵的线性组合的幂等性定理 1 设两个非零矩阵，满足,，令，其中，则成立的充分必要条件是存在可逆矩阵，使得，其中， 。证明： 由及引理2知，存在可逆矩阵，使得,其中 ， 。必要性由及引理4知,所以 ,因为,所以。由引理3知，存在可逆矩阵使得。其中，所以，其中， ， 。充分性，由，故。由定理1,我们可以知道只要给定一个次幂等矩阵，就可以找到与矩阵可交换的矩阵，使得是幂等矩阵。如果取，就可以得到推论1。 推论1设两个非零矩阵，满足,，令，其中，则成立的充分必要条件是存在可逆矩阵，使得， 其中 ， 。由定理1知，矩阵不一定是幂等矩阵，现在假设矩阵是幂等矩阵，结合推论1讨论两个非零可交换幂等矩阵和幂等矩阵的线性组合的幂等性问题，如下：2.2 幂等矩阵和幂等矩阵的线性组合的幂等性 定理 2设两个非零可交换矩阵，满足,，令，其中，则成立的充分必要条件是满足如下任意一个条件：我们把分为偶数和奇数来探讨：（1）为偶数1) ，且满足：；2），为偶数，且满足：且；3）或者，且满足：其中，且；4），为偶数，且满足：。5）或者，且，。（2）为奇数1) ，且满足：；2），且满足：；3），且满足：；4），且满足：； 5）， 为奇数，其中，且。6） ，为奇数；7）或者，且满足：其中，且；8）或者，且，。证明：（1）先证明为偶数时充分性1) ，且满足：，即，则有，所以。2）因为且，所以，即，移项可得,又因为,所以可化简为。对于，令，所以。 3）因为，即有，从而。又因为，所以，注意到，故，即，所以，把代入，化简得。所以。4）对于，令，所以，因为，所以。5）因为,，且，由引理4知，存在可逆矩阵，使得，由于，可得，又因为或者，不妨设或者，由推论1可得。 必要性 因为和推论1知，存在可逆使得，其中，又因为，有 （1） （2） （3） 当都不为零时，由（1）、（2）、（3）得，可知没有非零的公共解。 当时，联立（2）、（3）得 ，由于为偶数，解得，或， 。当，时， 则有，化简得。故故1）得证。当，时，即， 且。故2）得证。当时，联立（1）、（3）得 解得或者 ， ，所以我们可以得到，令，且故3）得证。当时，联立（1）、（2）得，由于为偶数，解得，即，所以。故4）得证。当时，得，又因为，所以，。又，所以，即。同理，当时，得，又因为，所以，。又，所以，即。故5）得证。（2）为奇数时的证明，类似于为偶数的证明。 1）-4）的充分性类似（1）中1）的证明。7）和8)已经在（1)中得证。令时，接下来只需要证明5）和6）。如果，当时，联立（2）、（3）得 ，由于为奇数，解得，所以，即其中，且另一方面，由于， 其中，即有,，又因为，即，所以，故，化简得。所以。故5）得证。6）如果，当时，联立（1）、（2）得，由于为奇数，解得 ，。故6）得证。当取时，可以得到以下的推论，是参考文献7中主要结果中定理4 矩阵和满足可交换的结果。推论2 假设设两个非零可交换矩阵，满足,，令，其中，则成立的充分必要条件是满足如下任意一个条件：1），且满足：；2），且满足：；3）且满足：。两个幂等矩阵的线性组合的幂等性问题已经解决，对于一个幂等矩阵和一个三幂等矩阵，在满足可交换的前提下，在文献1中有得到一些结论，其中令，且矩阵和都是幂等矩阵，。现在对于定理2，取，就可以得到幂等矩阵和三幂等矩阵线性组合的一些结果。推论3假设设两个非零可交换矩阵，满足,，令，其中，则成立的充分必要条件是满足如下任意一个条件：1），且满足：；2），且满足：；3），且满足：；4），且满足：；5），且满足：且；6），且满足：且；7），且满足：；8) ,且满足：。 由定理2，推论2和推论3，我们考虑的特殊取值，可以得到如下推论4：推论46 假设两个非零可交换矩阵，满足,，令，设为非零的实数，则成立的充分必要条件是矩阵为幂等矩阵或者三幂等矩阵，即或者。结束语： 在文献1中讨论的是幂等矩阵和三幂等矩阵的线性组合的幂等性，定理1在这基础上进行了推广得出三幂等矩阵和幂等矩阵线性组合的幂等性结果。在文献2讨论的是两个可逆幂等矩阵线性组合的次幂等性，定理2讨论幂等矩阵和三幂等矩阵的线性组合的次幂等性的情况，接着进一步推广幂等矩阵和幂等矩阵的线性组合的k次幂等性。致谢：本论文是在指导老师陈智雄教授的悉心指导下完成的。本论文从选题到完成，在这整个过程都得到杨忠鹏教授的巨大帮助。老师严谨的治学态度，精益求精的工作作风，严以律己、宽以待人的崇高风范，对我影响深远，使我掌握了基本的研究方法。在此，谨向陈智雄教授和杨忠鹏教授以及各位老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！还要感谢同组同学的支持与帮助；同时还要感谢其他学科老师的教育和帮助，在此表示深深的感谢。参考文献：1 Jerzy K. Baksalary , Oskar Maria Baksalary , George P.H. Styan. Idempotency of linear combinations of an idempotent matrix and a tripotent matrixJ. Linear Algebra and its Applications 2002,(354):21-34.2 朱永林.关于两幂等矩阵线性组合的次幂等性J.铜陵职业技术学院学报.2008,(4):91-97.3 陈建彪,徐兆亮.矩阵的幂等性J.上海海事大学学报.2006,27(2):91-94.4徐仲,陆全,张凯院.高等代数:导教导学导考M.西北工业大学出版社：2006：231-232135卜长江,李娜,孙艳玲.矩阵线性组合幂等性及立方幂等性的一些结论J.哈尔滨工程大学报.2009, 30(12): 1458-14