高考数学总复习（整合考点+典例精析+深化理解）第六章 第二节一元二次不等式及其解法精讲课件 文.ppt

第二节一元二次不等式及其解法 第六章 例1 解下列不等式 1 19x 3x2 6 2 0 x2 x 2 4 解一元二次不等式 自主解答 解析 1 法一 原不等式可化为3x2 19x 6 0 方程3x2 19x 6 0的解为x1 x2 6 函数y 3x2 19x 6的图象开口向上且与x轴有两个交点和 6 0 所以原不等式的解集为 法二 原不等式可化为3x2 19x 6 0 3x 1 x 6 0 x 6 0 原不等式的解集为 2 原不等式等价于 所以原不等式的解集为 x 2 x 1或2 x 3 点评 1 解一元二次不等式主要有两种方法 图象法和因式分解法 如本例第 1 题 注意 不等式的解要写成集合或区间的形式 2 解不等式的基础是解一元一次不等式和一元二次不等式 熟练掌握一元二次不等式的解法是解各类不等式的基础 所以应当熟练记住形如ax2 bx c 0 0 其中a 0 的不等式在各种情况下的解集的形式 1 1 当x 3 2 时 不等式 x2 x 6 0的解集为 2 若 1 x0的解集是 变式探究 解析 1 由 x2 x 6 0得x2 x 6 0 即 x 3 x 2 0 得 2 x 3 又x 3 2 原不等式的解集为 2 2 2 由2sin2 x 5sin x 2 0得 sin x 2 0 sin x 2 0 sin x 0 即sin x 又 1 x x 由sin x 得 x 解得 1 x 即原不等式的解集为 答案 1 2 2 2 解含参数的一元二次不等式 例2 解关于x的不等式x2 x a 0 自主解答 解析 方程x2 x a 0的判别式 1 4a 1 当 时 方程x2 x a 0无实根 此时不等式x2 x a 0的解集为r 2 当 0 即a 时 方程x2 x a 0有两个相等的实根x1 x2 此时不等式x2 x a 0的解集为 3 当 0 即a0的解集为 点评 含有参数的一元二次不等式 若二次项系数为常数 可先考虑因式分解 在求出对应方程根的情况下再对参数进行讨论 如果不能根据因式分解的方法求出其根 则需要按照不等式对应方程根判别式的情况进行分类讨论 若二次项系数为参数 则应考虑二次项系数是否为零 然后讨论二次项系数不为零的情况 综上所述 当a 时 不等式的解集为r 当a 时 不等式的解集是 变式探究 2 1 当a 0时 不等式x2 2ax 3a2 0的解集是 2 若不等式ax2 bx c 0的解集是 不等式cx2 bx a 0的解集是 解析 1 不等式x2 2ax 3a2 0可化为 x 3a x a 0 又 a 0 3a a 3a x a 不等式的解集为 x 3a x a 2 由ax2 bx c 0的解集为 知a 0 又 2 0 则c 0 又 2为方程ax2 bx c 0的两个根 即2ax2 5ax 3a 0 又 a 0 2x2 5x 3 0 所求不等式的解集为 答案 1 x 3a x a 2 例3 已知f x 2x2 4x 7 求不等式 1的解集 解分式不等式 解析 原不等式可化为 由于x2 2x 1 x 1 2 0 所以原不等式等价于 所以原不等式的解集为 x 2 x 1或1 x 4 点评 1 解分式不等式的指导思想是将分式不等式转化为整式不等式 2 解分式不等式或高次不等式常用穿根法 利用穿根法解不等式时 分解因式后各因式中x的最高次项系数须为正 变式探究 3 不等式 0的解集是 解析 用数轴标根法 答案 x 1 1 2 3 不等式的恒成立问题 例4 已知函数f x mx2 mx 1 若对于m 2 2 f x m 5恒成立 则x的取值范围是 思路点拨 将f x m 5变为mx2 mx m 6 0 这是关于x的不等式 将其转化为关于m的不等式m x2 x 1 6 0 可以用一次函数的单调性求解 解析 将f x m 5变为m x2 x 1 6 0 则命题等价于m 2 2 时 g m m x2 x 1 6 0恒成立 x2 x 1 0 g m 在 2 2 上单调递增 只要g 2 2 x2 x 1 6 0 即x2 x 2 0 解得 1 x 2 答案 1 2 点评 1 解决二次不等式恒成立问题 通常有两种思路 一是函数性质法 借助相应的函数图象 构造含参数的不等式 组 二是分离参数法 把不等式等价转化 使之转化为函数的最值问题 2 一元二次不等式在指定范围内的恒成立 或者不等式在指定范围内的恒成立 其本质是这个不等式的解集包含着指定的区间 恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方 恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方 变式探究 4 2013 重庆卷 设0 a 不等式8x2 8sina x