高考数学总复习（整合考点+典例精析+深化理解）第八章 第九节空间向量的应用(二)课件 理.ppt

第九节空间向量的应用 二 第八章 例1 如图所示 在正方体abcda1b1c1d1中 m n分别是c1c b1c1的中点 求证 mn 平面a1bd 思路点拨 直接用线面平行定理不易证明 考虑用向量方法证明 证明与平面a1bd的法向量垂直 利用空间向量证明平行问题 自主解答 证明 法一 如图所示 以d为原点 da dc dd1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 设正方体的棱长为1 点评 证明线面平行问题 可以有以下三种方法 1 利用线面平行的判断定理 转化为线线平行问题 2 向量p与两个不共线的向量a b共面的充要条件是存在实数对x y 使得p xa yb 利用共面向量基本定理可以证明线面平行问题 3 设n为平面 的法向量 要证明直线a 平面 只需要证明a n 0即可 变式探究 1 2013 山东省淄博一模 如图所示的几何体是由以等边三角形abc为底面的棱柱被平面def所截而得 已知fa 平面abc ab 2 af 2 ce 3 bd 1 o为bc的中点 求证 oa 平面def 利用空间向量证明垂直问题 例2 如图 在三棱柱abca1b1c1中 a1a 平面abc ab bc ab bc 2 ac 2 bb1 1 e为bb1的中点 证明 平面aec1 平面aa1c1c 思路点拨 要证明两个平面垂直 由两个平面垂直的条件 可证明这两个平面的法向量垂直 转化为求两个平面的法向量n1 n2 证明n1 n2 0 自主解答 令c 4 得a 1 b 1 n2 1 1 4 n1 n2 1 1 1 1 0 4 0 n1 n2 平面aec1 平面aa1c1c 点评 证明两个平面垂直 关键是求出两个平面的法向量 把证明面面垂直转化为证明法向量垂直 也可以证明一个平面的法向量与另一个平面平行 变式探究 2 在正方体abcda1b1c1d1中 证明 bd1 平面acb1 利用空间向量求距离 例3 如图 在四棱锥pabcd中 pd 平面abcd pd dc bc 1 ab 2 ab dc bcd 90 1 求证 pc bc 2 求点a到平面pbc的距离 1 证明 因为pd 平面abcd bc 平面abcd 所以pd bc 由 bcd 90 得cd bc 又pd dc d pd dc 平面pcd 所以bc 平面pcd 因为pc 平面pcd 故pc bc 2 解析 法一 如图 分别取ab pc的中点e f 连接de df 易证de cb de 平面pbc 则点d e到平面pbc的距离相等 又点a到平面pbc的距离等于点e到平面pbc的距离的2倍 由 1 知 bc 平面pcd 所以平面pbc 平面pcd于pc 因为pd dc pf fc 所以df pc 所以df 平面pbc于f 法二 连接ac 设点a到平面pbc的距离为h ab dc bcd 90 所以 abc 90 从而ab 2 bc 1 得 abc的面积s abc 1 由pd 平面abcd及pd 1 得三棱锥pabc的体积 pd 平面abcd dc 平面abcd pd dc 点评 空间中的距离问题一般都能化为点到直线的距离或点到平面的距离 然后根据空间中的向量距离的公式求解 变式探究 3 2013 安徽合肥二模改编 在几何体abcde中 ab ad bc cd 2 ab ad 且ae 平面abd 平面cbd 平面abd 当ab 平面cde时 求ae的长 解析 设ae a 如图建立空间直角坐标系 则a 0 0 0 b 2 0 0 d 0 2 0 e 0 0 a 立体几何中的探索性问题 例4 如图所示 在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中 e f分别为a1d1和cc1的中点 1 求证 ef 平面acd1 2 求异面直线ef与ab所成角的余弦值 3 在棱bb1上是否存在一点p 使得二面角pacb的大小为30 若存在 求出bp的长 若不存在 请说明理由 1 证明 如图所示 分别以da dc dd1所在的直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系dxyz 由已知得d 0 0 0 a 2 0 0 b 2 2 0 c 0 2 0 b1 2 2 2 d1 0 0 2 e 1 0 2 f 0 2 1 即 变式探究 4 2013 浙江丽水一模 已知四边形abef是矩形 abc是等腰三角形 平面abef 平面abc bac 120 ab af