（基础数学专业论文）模糊集的排序及模糊双线性方程的一些研究结果.pdf

y 7 1 8 7 8 2 模糊集的排序及麒期双线性方程的一些研究结果 基础数学专业 研究生余步雷指导教师王学平( 博士教授) 论文摘要：本文首先对模糊集的排序问题进行了探讨：对满足一定条件的模糊集( 凸模糊集) ，定义了一个摸糊极大集m ，并由此给出每个凸模糊集关于陵糊极大集 的隶属度p 面( z ) ( z 是一个凸模m s ) ，通过凸模糊集屯( z = 1 2 ，一，n 1 对模糊极 大集m 的隶属度“面( a ，) 给出凸模糊集a 。( i = l ，2 ：，n ) 的顺序关系 讨论了定义在 o 、1 格上无限f u z z y 双线陛方程f 口：，z ，= fb ，z ，：r 7 fl z 的一些性质并对其解集进行了刻画进一步，对f o 1 格上f u z z y 双线| 生方 程a o x = 口o x ( 其中a = ( 。，) 。，b = ( 良，) 。j r = ( z ，) 。l ，“o ”表 示m a x - r a i n 合成运算) 进行了讨论，给出了计算方程40x = 日_ 3x 最大结 果口的种简单方法在此基础上讨论了方程的一些性质：给出了r 芒刃f 其 中r f 0 彤) ) 的充要条件( 只是与方程相关的结果刀是方程的结果集) 从而刻 画露及方程的整个解集 关键词：模糊集；凸模糊集：f u z z y 关系方程：双线性方程：解集，结果集 t h e o r d e r i n go ff u z z ys e t sa n ds o m er e s u l t so ff u z z y b i l i n e a re q u a t i o n s p u r em a t h e m a t i c s w r i t e r ：y ub u - l e i s u p e r v i s o r ：w a n gx u e - p i n g a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r ，t h eq u e s t i o nt h a tr a n k i n go ft h ef u z z ys e t si si n v e s t i g a t e da tf i r s t ：af u z z ym a x i m a ls e t sm f o rs o m ef u z z ys e t sw h i c hs a t i s f i e ds o m e g i v e nc o n d i t i o n s ( c o n v e xf u z z ys e t s ) i sd e f i n i t e d ，a n dt h em e m b e r s h i pd e g r e e 肛砑( z ) ( zi s ac o n v e xf u z z ys e t ) o fe v e r yc o n v e xf u z z ys e t szt of u z z ym a x i m a l s e t smi sg i v e no u t ，t h e nt h eo r d e r i n gr e l a t i o no ft h ef u z z ys e t si s g i v e no u tb y t h em e m b e r s h i p d e g r e e 肛面( a t ) o f c o n v e xf u z z ys e ta t ( i = 1 ，2 ，n ) t of u z z y m a 姐m u ms e t 磁 t h es o l u t i o ns e ta n ds o m ep r o p e r t i e so fi n f i n i t e f u z z yr e l a t i o ne q u a t i o n 口旷奶= z ，= r 。n 阶 l a t t i c e i s i n v e s t i g a t e d f u r t h e r l y , t h e j e tj ， e q u a t i o n sao x=bo x ( w h e r ea = ( n 。，) 。，b = ( h i j ) 。n ，x = ( 巧) 。1 ， “o ”i sm a x - m i nc o m p o s i t i o n ) o n o ，1 jl a t t i c ei s i n v e s t i g a t e ，o n es i m p l e a l g o r i t h mo fm a x i m u m r e s u l to fe q u a t i o n saox = boxi s g i v e na n dv e r i f i e d i nt h eb a s e so fa b o v e ，s o m ep r o p e r t i e so ft h ee q u a t i o n sa n das u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o no fr 岳砑i sg i y e n ，( w h e r er ( 0 ，r + ) a n dr i st h er e s u l t o ft h ee q u a t i o n s 贸i st h er e s u l ts e t so ft h ee q u a t i o n s ) s ot h er e s u l ts e t s 毋 o fe q u a t i o n sa 0 x = b 0 xi ss c o r e da n dt h es o l u t i o ns e to ft h ee q u a t i o n so n o ，1 l a t t i c ei sg i v e nc o r r e s p o n d i n g l y k e yw o r d s ： f u z z ys e t s ；c o n v e xf u z z ys e t s ；f u z z y r e l a t i o n a l e q u a t i o n b i l i n e a re q u a t i o n s ；s o l u t i o ns e t s ；r e s u l ts e t s ， l = ( l ，十) 0 ，1 v 部分符号说明 格 格l 的最大下界与最小上界 对每一个 存在 太于( 小于) 大于或等于( 小于或等于) 上确界 下确界 空集 集合的并 集合的交 指标集 s u p - i n f 合成算子 集合q 的元素个数 取值于格上的一个行向量 向量池) 。，的转置 取值于格上的m n 阶矩阵 方程的解集 方程的极小解集 方程的可达解、不可达解的集合 双线性方程的结果集 从1 到n 的所有自然数构成的集合 模糊集 r l 模糊数 z 属于模糊集m 的隶属度 第i v 页，共4 6 页 荆渊叭。u n。蚓一一扩一历盘皂酬 引言 科学研究的不断深入，人们需要研究的关系越来越复杂对系统的判别和 推理的精确性要求也越来越高而在现实生活中，经常会遇见象：f 1 ) 所有远 远大于l 的实数的集合( 2 3 是这集合的一员吗? ) ；( 2 ) 老年人的集合( 我是这 集合的一员吗? ) ；( 3 ) 高个人的集合( 我高1 8 0c m ，我是这集合的一员吗? ) 等等这样的集合，而这些集合是模糊的，不精确定义的类型，具有亦此亦彼性 1 9 6 5 年美国自动控制论教授l a z a d e h 5 4 的开创性论文“f u z z ys e t s ”正 反映了这类具有“亦此亦彼”性集合的模糊性他用隶属函数来刻画元素对集 合属于程度的连续过渡性即元素从属于集合到不属于集合的渐变过程将经典 集合的二值逻辑0 ，1 推广到o ，1 1 区间内的多值逻辑而随着现代企业规模的不 断扩大和经营的多元化，企业的行为关系已变得越来越复杂，因而企业的经济 决策在许多情况下不再是依据某个单一的准则，而不得不均衡考虑多种相互矛 盾，相互制约的因素或目标为此企业迫切需要一种新的决策模式来帮助他们 处理日益复杂的经济决策问题而任何决策理论和方法都反映了人类分析和处 理事物的思辨过程因此涉及到社会，心理，主观意愿和工作经验等多方面的因 素，而这些因素又大都具有模糊特征与动态性质因此决策分析中，决策者往 往会面临在众多的决策事物中作出选择的情形由于模糊环境下的决策事物常 被表示为一系列的模糊集合，故对事物的选择即是对模糊集的比较与判断从 模糊集的定义及其性质知道，模糊集之间的顺序关系不是通常意义下的全序关 系而是格结构下的半序关系这就使模糊集的比较与判别成为既重要又艰难 的任务之一1 9 7 6 年以来，b a l d w i n o u i d 1 ，2 ，j a l n 1 6 】，y a g e r 5 2 】等众多研究 者给出或探讨了对模糊集进行比较和排序的方法但没有一种被公认为是最好 的方法1 9 8 5 年，b o r t o l a n - d e g a n i 3 1 把以前的这些方法归纳成两类：其中一类 方法是采用某种排序函数将模糊集映射到实数轴上，从而得到一个以数字大小 为基准的自然顺序：另一类方法则寻求优化选择的模糊集合，由每个选择在该 集合中的隶属度来表示其作为最佳选择的可能性，并依可能性的大小来判定模 糊集的顺序但是，n a k a m u r a 3 2 1 ( 1 9 8 6 ) 对b o r t o l a n - d e g a n i 的分类方式提出了 第l 页，共4 6 页 引言 异议他认为所有的排序方法应该被划分为另外两种类型：一类是间接给出被 相对位置：而可能性质量型指标取决于隶属函数蓝线在各种状态下覆盖的面积 可能性密度型方法的代表有：r j a i n 等f 1 ，2 ，5 ，1 1 ，1 6 ，1 7 ；可能性质量型方法 的代表有：y a g e r 等f 1 3 ，1 8 ，1 9 ，3 2 ，3 5 ，5 2 ，5 3 1 _ 到目前为止，在众多的可能性密度型排序方法中c h e n ，b a l d w i n - g u i d ，j m n 给出的几种方法被公认相对较好，这几种方法不仅分辨率要高一些，还具有较 强的直观性，其指标的物理和几何意义都比较明显，容易被决策者理解和接受， 故应用相当普遍但对很特殊的模糊集比如：凸模糊集和三角模糊数已有的这 些方法却不能进行很好的排序，有的方法得到的排序结果甚至与人们的直觉相 抵触，基于这样的情况，本文第一章就是通过定义一个模糊极大集和一个隶属 函数，通过模糊集对模糊极大集的隶属度的大小对正则凸模糊集和三角模糊数 作了排序，并与原有的比较经典的方法作了比较 而关系方程是在模糊集产生的基础上在以关系为研究对象的一个数学分 支，在关系结构中布尔变量的处理f 3 4 j 以及数字线路的研究 2 0 i 等方面有着广 泛的应用在f u z z y 集领域中5 4 ，f u z z y 关系方程的研究是1 9 7 6 年由法国学 者s a n c h e zf 3 6 1 从医疗诊断的论题出发作为综合评判问题的逆问题而引入的 理论方面，f u z z y 关系方程的研究主要集中在方程解集的刻画1 0 ，2 7 ，4 7 5 0 】1 具有某些代数性质的解的确定等f 1 4 ，1 5 1 课题 1 9 7 6 年s a n c h e zf 3 6 1 首先建立了完备b r o u w e r i a n 格上s u p i n f 合成f u z z y 关系方程解集非空的充要条件，证明了方程有解则一定有最大解，且给出了 最大解的公式从此人们开始了定义在完备b r o u w e r i a n 格上f u z z y 关系方程 的研究不久，人们发现定义在完备b r o u w e r i a n 格上的f u z z y 关系方程的解集 通常是一上半格，解集是由一个个区间构成f 3 7 ，3 8 因此在方程有解时，考 察对解集中的每一个解是否存在一个小于等于它的极小解对确定定义在完备 y u b u l e i 1 2 6 c o i n 第2 页，共4 6 页 毕业论文 引言 b r o u w e r i a n 格上f u z z y 关系方程解集特别重要，因为如果能够证明对方程的每 一个解至少存在个小于等于它的极小解，且这样的极小解只有有限个、那么 方程的整个解集便可确定因此围绕定义在完备b r o u w e r i a n 格上f u z z y 关系 方程的解集中对每一解是否存在一个小于等于它的极小解问题，研究者们主要 开展了以下几个方面的研究： 1 当论域有限时： ( 1 ) 方程的有解判别【3 1 ，5 5 1 ； ( 2 ) 在有解时，解集中是否存在极小元的问题 4 3 ，4 7 ； ( 3 ) 在解集非空时，证明了对解集中每一个元存在小于等于它的极小 元 3 3 ，4 9 1 ； ( 4 ) 4 o ，1 】格上改进解集中极小元的确定方法【4 ，2 2 ，2 6 ，3 9 ，4 6 j 及极小元个 数的估计f 6 ，7 ，4 4 ，4 5 i ； ( 5 ) 在完备完全分配格上给出了确定关系方程整个解集的方法【1 0 ，5 6 2 当论域为无限时，人们主要研究了当解集非空时对解集中每个元去找小于 等于它的极小元f 1 5 ，4 8 ，5 0 ，极小元的存在性 1 4 及可达解存在的一个充要条 件，满足一定条件下方程的解集5 1 1 1 9 8 1 年s a n c h e z 3 8 1 首先讨论了一种比关系方程更一般的本征方程ao x = x ，( 其中a = ( 叼) 。，x = ( 巧) 。l ，叼，巧 0 ，1 1 ，“o ”表示m a r x m j n 合成运算) ，并给出了该方程的最大本征向量之后，众多研究者朱 6 0 ，谭 4 1 ， 黄( 1 2 1 等投入到刻画该方程的最大解，解集等工作中其中谭 4 1 讨论了本征 方程的解结构；朱f 6 0 1 给出了任意f u z z y 矩阵的本征方程全部解表达式的一 个较为简单的方法易知f u z z y 双线性方程ao x=bo x 是f u z z y 本征方 程aox = x 的般形式1 9 8 8 年t a n gf 4 2 1 讨论了双线性方程，用迭代的方法 给出了计算双线性方程最大解和最大结果的一种算法进一步，t a n g 提出是否 存在更简单的方法来计算方程aox = box 的最大解，从而刻画出解集【4 2 1 7 对于寻找一种计算双线性方程最大结果的简单算法这个问题：1 9 9 2 年l i 2 1 1 构 造了个扩展双线性方程和临界值，然后按从小到大的顺序来确定每个临界值 分量，从而得到双线性方程的最大结果；1 9 9 5 年张 5 9 将论域分成若干个闭区 间，然后构造出方程aox=b0x 中的每个分支方程在这些区间上的解集， y u b u l e i 1 2 6 c o r n 第3 页，共4 6 页 毕业论文 最后取交得到方程的最大解和最大结果；李 2 5 】用迭代的方法在更广泛的一类 格即完备b r o u w e r 格上推广了 4 2 中确定最大解和最大结果的方法而本文第 三章也给出并证明了一种计算f u z z y 双线性方程a o x = b o x 最大结果公 式化的简单算法 众所周知双线性方程a 。x ：b 。x 等价于关系方程 a 。x 2 r ， 【b ox = r r 贸( r 是与方程a0 x=b0 x 相关的一个结果；魔是该方程的结 果集) 而关系方程的解集已经有比较完整的结论因此只要能确定出结果 集历，则双线性方程的解集也就随之确定，故结果集曰的确定就成为解决方 程agx=b0x 的解集的关键下面我们简单的回忆一下对刻画双线性方程 解集这个问题已经得到的结论： 1 有限f u z z y 双线性方程 ( 1 ) 分配格上方程：f o ， 、z一o j = 1 巧的解结构和整个解集 5 8 n ( 2 ) 完备b r o u w e r 格上方程：q 巧= 乃巧的整个解集 2 5 i j = lj = l ( 3 ) 双线性方程aox = b0x 的解集和结果集均是一个上半格f 4 2 1 ； ( 4 ) 双线性方程a o x = b o x 的部分解集f 4 2 ，5 9 1 但f u z z y 双线性方程ao x = box 的整个解集和结果集直到现在也没有 刻画完整本文第四章在确定了f u z z y 双线性方程a 0x = b0x 最大结果彤 的基础上，讨论了该方程的一些性质，并给出了r 留( r ( 0 ，f ) ) 的一个充 要条件，最后给出了双线性方程的整个结果集露 2 无限双线性方程： 对无限双线性方程：q = b 码= r ，( a j ，b j ，z ，r o ，1 】1t ，为 j e jj j 无限集) 的性质及解集至今还没有人讨论过本文第二章讨论了 o ，1 格上无限 双线性方程f n j z ，= f6 j 。j ：r ，并给出了方程有非零解的充要条件，解 】j3 j 集非空的充要条件以及该方程的部分解集 第4 页，共4 6 页毕业论文 吗 。一 i | n z 第一章模糊集的比较与排序 在本章中，我们通过定义模糊极大集和一个效用函数，从而找到一种判定 模糊集优先关系的方法而用这种方法来判断模糊集的优先关系具有较好的普 遍性，可分辨性，直观性以及较强的物理和几何意义 1 + 1 预备 定义1 1 1 2 4 论域x n n n n o ，1 】上的任意映射 肛j ：x 一【0 ，1 。_ + 芦j ( z ) 都确定x 上的一个模糊集a ，弘j 叫做a 的隶属函数，舻互扛) 叫做。对a 的隶属 度，记为 p j = ( z ，芦j ( z ) ) i z x 定义1 1 2 2 4 】对于论域x 上的模糊集a ， ( 1 ) a 是正则的( 或称正规的) ，当且仅当 s u p 颤( x 1 = 1 ，j z x ( 2 ) a 是凸的，当且仅当地1 ，x 2 x ，a 0 ，1 肛x ( a x l + ( 1 一a ) x 2 ) m i n p 五( z 1 ) ，p j ( z 2 ) ) 定义1 1 3 2 4 1 一个模糊数是定义在实数域兄上的正规凸模糊集，且满 足以下条件： ( 1 ) 存在唯一的点如r ，具有隶属度肛膏( z o ) = l ( x o 被称为的平均值) ( 2 ) 隶属函数p 席( 。) 是左，右连续的模糊数的一般表示式可以写为 刚加篡 第5 页，共4 6 页 第一章模糊集的比较与排序 式中l ( z ) 为增函数，右连续，且o l ( z ) 1 ；r ( x ) 为减函数，左连续，且o r ( z ) 1 如果l ( z ) ，r ( z ) 均为线性函数，则被称为是三角模糊数， 定义1 1 4 2 4 设，是实数域r 到【o ，1 】区间的映射，：r 一【0 ，1 ，如果， 满足以下条件： ，( z ) = ，( 一z ) ( 1 - 1 ) f ( o ) = 1 ； ( 1 - 2 ) r f ( x ) 在区间 o ，+ o 。) 单调递减，则称，( z ) 为模糊数的基准函数 定义1 1 5 2 4 设l ( z ) 和r ( z ) 分别是模糊数的左右基准函数，如果 l ( 警) z m ，o 0 蛳卜i 冗( 铲) ，地 则称为l j r 模糊数，记为面= ( m ；d ，口) r ，其中m 称为的均值，盘，卢 称为的左右扩展并且约定a = 卢= 0 时l r 模糊数退化为普通实 数，即( m ，0 ，o ) 腑= m 张f 5 7 1 先从两个r 型模糊数的比较情形出发，提出了下面的排序准则 设面：( m ；。，p ) l r ，= ( 礼；7 ，6 ) 朋，则规定： m n 备m n ，口1 ，卢6 然后以此为基础，考虑下面的可能性线性规划问题 m 口oz = ，z s t a x 6 ，( p i ) z 0 y u b u l e i 1 2 6 c o i n 第6 页，共4 6 页 毕业论文 第一章模糊集的比较与排序 假定a ，b 中的元素硝，b l ，i k = l ，2 ，m ) ，j 厶= 1 ，2 ，n ) 都 是l r 型模糊数，记为面= a 玎；，) l r ，夏= ( 吼；亟，瓦) l 凡由r 型模糊数的 运算法则可知：v x j 0 ，j = 1 礼，a i j x j 也是l 冗模糊数，且有 j = l 南= q ，酗奶 j = lj 2 1j = lj = 1 l r 于是线性规划问题( p 1 ) 中的约束条件可以表示为 q ，鲔q ，如q ) ( k ；垒，瓦) 。凡 j = lj = lj = l l r 按照张( 5 7 】的排序准则，上述约束条件等价于 因此约束条件系数为l r 模糊数的可能性线性规划( p 1 ) 可以改写成下面的普 通线性规划： s 土q b l i = 1 ，m j = l 垒鹕垒，i = l ，m ， j = 1 - t ，i = 1 ，】m i j = l z 0 ，j = 1 ，一，n ( p 2 ) 而李 2 4 将排序准则 m n 甘m 礼，口7 ，卢占 y u b u l e i 1 2 6 ，c o r n 第7 页，共4 6 页 毕业论文 一一s ， 叻 。触 幺q 口一 。m 6 q n 。赳 z 勺 。皿 = z工0m 第一章模糊集的比较与排序 改为： m n 静m n ，m o n 一一y ，m + p n + 占 由它导出的线性规：e l j ( p 3 ) 优于线性规划( p 2 ) 砖巧6 i = 1 ，m ， j = l o 弘尊，i = 1 ，m j = l z 0 ，j = 1 ，一，凡 ( p 3 ) 其中鸥，6 7 ，n 嚣，雏，分别是模糊系数。玎，b i 的左右边界值，而不是它们的左右扩 展 下面是张【5 7 】( 1 9 9 7 ) 中的一个例题，用以比较上面讨论的两种方法 例1 1 1 5 7 】某药品加工厂生产甲乙两种药品，甲种药品每公斤利润3 万 元，乙种药品每公斤利润4 万元生产每公斤甲种药品需要原材料a 约4 公斤 不到一点，需要原材料b 约1 2 公斤多一点生产每公斤乙种药品需要原材料a 约2 0 公斤多一点，需要原材料b 约6 4 公斤现原料a 还有9 4 1 4 6 0 0 公斤，原料b 还有约4 8 0 0 多公斤问应如何安排甲乙两种药品的产量以使利润最大? 解：用l r 模糊数表示问题中的不确切数字： “约4 公斤不到一点”：互= ( 4 ；1 ，o ) l r ， “约2 0 公斤多一点”：两= ( 2 0 ；0 ，o 5 ) l r ， “约1 2 公斤”：1 2 = ( 1 2 ；1 ，1 ) l r ， y u b u l e i 1 2 6 c o r n 第8 页，共4 6 页毕业论文 q 。触 i | zoom ml = ，d 研” 口 。斛 s 第一章模糊集的比较与排序 约6 4 公斤”：6 气= ( 6 4 ；1 ，1 ) l r ， “2 4 6 0 0 公斤”：毓= ( 4 6 0 0 ；1 0 0 ，1 0 0 ) 胁 “约4 8 0 0 公斤”：4 8 0 0 = ( 4 8 0 0 ；2 0 0 ，4 5 0 ) 胁 设甲乙两种药品的产量分别为z 1 和z 。公斤，。= ( z ，x 2 ) ，则该问题的数学模型 为： m a x z = 3 x l + 缸2 s t 盈1 + 面z 2 4 6 0 0 ， 而z + 6 4 z ，丽， z 1 ，z 2 0 采用张 5 7 的方法利用线性规划( p 2 ) 可求得其最优解为 1 5 2 5 采用李 2 4 】的方法利用线性规划( p 3 ) 求得其最优解为： 1 5 9 8 z = ( 2 7 5 ，1 7 5 ) ，z + = z + = ( 3 0 8 ，1 6 8 ) ，驴= 而如果我们将上面的排序准则直接改为：m n 营m n ，m o n + d 则很容易求得其最优解为：矿= ( 3 1 0 ，1 6 8 ) ，z + = 1 6 0 2 1 2 模糊集的比较与排序 在讨论模糊集的比较与排序方法之前，为了使问题简化，我们先假定比较 的对象被控制为正则的凸模糊集，且为了方便起见，将模糊集的支撑集限制 在o ，1 1 区间以内显然，模糊集定义域从实数域到单位区间的变换并不会失去 讨论的一般性 设有n 个正则的凸模糊集a ，i k ，记为a i = z ，p 互。( z ) ) ，z s ( m ) ci 式中，表示单位闭区间 0 ，1 】这里的每个模糊集代表一种可能的决策方案，我们 的目的是要通过对n 个模糊集的比较，确定其中的最大模糊集，亦即可能的最佳 方案 y u b u l e i 1 2 6 c o r n 第9 页，共4 6 页毕业论文 第一章模糊集的比较与排序 定义1 2 1 5 】记m = ( z ，p 丽( 。) l x s ) ，具有隶属函数 i 磊x - - x m n x m a x ，z n z z 。 lz m l n “”“、”o ” p 丽( z ) = 【。， 否妣 式中s = | ：js ( 五) ，。m = i n fs ，z 。= s u ps ，最= zi 卢五( 卫) 0 ) ，贝o _ l 称m 为模糊极大集 定义1 2 2 记i ( i ) 为正则凸模糊集五在模糊极大集面中的隶属度，如( z ) 为模糊集五的左隶属函数；r ( z ) 为模糊集五的右隶属函数：l ( x ) 为极大模糊 集的左隶属函数 现我们来定义正则凸模糊集五在模糊极大集m 中的隶属函数 定义1 2 3 记p 。( i ) = l ( m ) “l ( i ) = m a x l ( r ) i r x i l i ( x ) = l ( z ) ，z p n 。一口i ，m i + 屈 ) ) p 冗( i ) = m a x 工( r ) l r z l 昆( z ) = l ( z ) ，z 竹q 一。，竹h + 屈 ) ( i ) ：赵巫出乎幽，江1 ，扎 定义1 2 ，4 设五，五( i ，j 厶) ，为两个正则凸模糊集，若u 爵( j ) u 矗( i ) ，则 称五优于( 或大于) 五，记作五五 现在我们用本文的方法来判断下面4 情形：( 1 ) 峰值相同的模糊集，( 2 ) 峰 值贴近的模糊集，( 3 ) 呈对称分布的模糊集，( 4 ) 峰值间隔较远的模糊集 y u b u l e i 1 2 6 c o r n 第1 0 页，共4 6 页 毕业论文 第一章模糊集的比较与排序 中五，a 2 的优先关系 ( 1 ) 情形l ( 峰值相同的模糊集) ： l t ( z ) = 孚0 一o 2 ) ，r l ( z ) = 一百1 0 ( z o 8 ) 故 所以 l 2 ( z ) = l o ( x 一0 4 ) ，r 2 ( x ) = - l o ( x 一0 6 ) l ( x ) = ；江一0 2 ) p l ( 1 ) = o ，肛r ( 1 ) 圭o 6 6 7 ，肛。( 1 ) = 0 5 p l ( 2 ) = 0 4 ，p 凡( 2 ) 圭0 5 4 3 ，p 。( 1 ) = 0 5 ( 1 ) = 吐譬产盟= 0 3 8 9 ( 2 ) = 丝也畔= 0 4 8 1 即u e f ( i ) ( 2 ) ，根据定义2 3 我们得出结论a 1 也，而这符合我们 的直观判断因为a s 比互1 具有较少的模糊性 ( 2 ) 情形2 ( 峰值贴近的模糊集) ： l l ( z ) = 2 ( x 一0 1 ) ，r l ( x ) = 0 6 故 l 2 ( x ) = 0 5 ，r 2 ( z ) = - 2 ( x 一1 ) l ( 。) = 警扛一o 1 ) p l ( 1 ) = 0 ，p r ( 1 ) 圭o 5 5 6 ，p m ( 1 ) 圭0 5 5 6 y u b u l e i 1 2 6 c o r n 第1 l 页，共4 6 页毕业论文 苎二主堡塑叁塑生墼量坐生 p l ( 2 ) 圭0 4 4 4 ，弘r ( 2 ) = 0 6 8 ，肛m ( 2 ) 圭0 4 4 4 所以 f 1 ) = 吐业学= 0 3 7 1 ， ( 2 ) = 唑出絮幽= 0 5 2 3 即u 矗( 1 ) i ( 2 ) ，根据定义2 3 我们得出结论a l a 2 ，而这也符合我们的观 判断因为五比j i 具有较好的整体性 a ，j i ， 一晤形l 一霹i 呈相同的模糊集_ j 。一五一 情形主碡面瓣瓣 表1本方法与另外几种基本方法对情形i ，2 结果的比较 b a s s 鼍雹 r j a i n k w a k e r a a l s h c h e n本文方法 1 a 1 0 6 6 7l0 50 3 8 9 a 1 0 5 4 3io 50 4 8 1 2 a 1 0 5 5 6l0 4 6 20 3 7 1 a 2 0 6 4 30 90 5 3 90 5 2 3 ( 3 ) 情形3 ( 呈对称分布的模糊集) ： l ，( z ) = i ( z o 1 ) ，r 1 ( z ) = 一l o ( z 一0 6 ) l 2 ( x ) = l o ( z o ，3 ) r 2 ( z ) = - - 。5 ( z 一0 ，8 ) y u b u l e i 1 2 6 c o r n 第1 2 页共4 6 页 毕业论支 第一章模糊集的比较与替序 l ( x ) = 萼扛一o 1 ) 故弘l ( 1 ) = o ，卢r ( 1 ) 圭0 6 2 5 ，肛。( 1 ) 圭o 5 7 1 所以 卢l ( 2 ) 圭o 3 3 3 ，肛r ( 2 ) = o 6 2 5 ，p 。( 2 ) = o 4 2 8 ( 1 ) = 蛀盟萼业= 0 3 3 9 ( 2 ) = 0 3 3 3 t 0 6 3 2 5 + 0 4 2 8 = 0 4 2 6 即西( 1 ) u 矗( 2 ) ，根据定义2 3 我们得出结论五 五 ( 4 ) 情形4 ( 峰值间隔较远的模糊集) l i ( x ) = 。，r i ( x ) = o 8 ； 故 所以 l 2 ( x ) = 0 2 ，r 2 ( x ) = 一i ( z 1 ) l ( x 1 = z p , l ( 1 ) = 0 ，, a r ( 1 ) = 0 8 ，( 1 ) = 0 8 a l ( 2 ) = 0 2 ，p r ( 2 ) = 0 2 ，m ( 2 ) = 0 5 6 6 ( 1 ) = 吐掣= 0 5 3 3 ( 2 ) = 蝗出严= 0 3 1 5 即u 裔( 2 ) u 矗( 1 ) ，根据定义2 3 我们得出结论a 2 a 1 y u b u l e i 1 2 6 c o r n 第1 3 页，共4 6 页 毕业论文 第一章模糊集的比较与排序 x a l a 2 一 情形3 呈对称分布的模糊集情形4 峰值间隔较远的模糊集 表2本方法与另外几种基本方法对情形3 ，4 结果的比较 魏 r j 越n b a 3 h h c h k w a k e r a a l = h e n 本文方法 3 a 1 0 6 2 510 50 3 3 9 a 2 0 6 2 50 8 7 5050 4 2 6 4 a 10 8 10 9o 5 3 3 a 2 0 5 5 60 6 2 50 6 7 80 3 1 5 不难从表l ，表2 中看出，在比较简单的情形4 中，四种方法的判定结果都 比较一致五 b 下面给出一些要用到的辑记= ( 若以) ( p ) n r ) ，g ( 6 ) = i ：饥r ) ，g ( r ) = ( i ，j ) ：i g ( o ) ，j g ( b ) ) 第1 5 页，共4 6 页 g ( o ) = i g 1 ( o ) ，g 2 ( n ) 苎三主唑! ! ! 整圭垂垦墨塑些查壅箜丝堕壅苎堡叁 定义如下：若i = r ，则令g 。( 。) = 八g ( 。) ；否则令g 2 ( d ) ：八g ( 口) ； g ( 地g 2 ( 6 ) 定义如下：若6 = r ，则令g 1 ( 6 ) = 八g ( 6 ) ；否则令g 2 ( 6 ) ： e l a ( b ) ，a f b ) ； 注2 1 1 由g ( ) ，g ( b ) ，g 1 ( 口) ，g 1 ( 6 ) ，g 2 ( o ) ，g 2 ( 6 ) 的定义有g ( 。) ，g l ( ) ， g 2 ( n ) 不能同时为空集，g ( 6 ) ，g t ( b ) ，g 2 ( 6 ) 不能同时为空集；g 。( o ) ，g 。( 。) 不能 同时为非空集合，即若g l ( d ) = 0 ，则g 2 ( 。) = i g ( o ) 口，若g 2 ( o ) = 口， 则g ( a ) = j g ( 。) 口；g ( 6 ) ，g 2 ( 6 ) 不能同时为非空集合，即若g 1 ( 6 ) = 0 ， 则g 2 ( 6 ) = i g ( 6 ) 0 ，若g 2 ( 6 ) = 0 ，则g 。( 6 ) = ，c ( b ) 0 ； 注2 ，1 2 r a g ( a ) ，g ( 6 ) ，g 1 ( o ) ，g 1 ( 6 ) ，g 2 ( o ) ，g 2 ( b ) 的定义知，若g 1 ( 。) = d ， 则，= g ( n ) u g 2 ( ) ，若g 2 ( 。) = 0 ，贝, t j i = g ( ) ug 1 ( o ) ；同理若g 1 ( 6 ) = 口， 则j = g ( b ) u g 2 ( b ) ，若g 2 ( 6 ) = 0 ，则j = g ( b ) u g l ) 定义2 1 5 设x = ( 甄) ，j ( 1 ) 若3 ( ，j ) ，x ，使得a 。，戤= r i 砖茁j = r ，则由这样的解构成的解集记 作影( + ( 2 ) 若v ( i ，) ，xi ，使得a ， r ，6 ，- z ， r ，则由这样的解构成的解集记 作影( ， ( 3 ) 若j i f 使得o 。z ，= r ，而i 使得q r ，则由这样的解构成的解集 记作影( + 一。 ( 4 ) 若i 使得o 。z ； r ，而j j f 使得6 j x j = r ，则由这样的解构成的解集 记作。万( 一十1 2 2 无限双线性方程aox = box = 柏翠集的一些性质 本节我们讨论无限双线性方程a o x = b o x = r 的一些性质 y u b u l e i 1 2 6 c o r n第1 6 页，共4 6 页毕业论文 墨三兰巴! ! ! 鳖圭垂垦墨丝些查墨塑些堕丛苎壁叁 命题2 2 1 2 5 若0 ，则r r o 命题2 2 ，2 若g ( r ) 口，且o r r 0 ，则存在x = ( 孔) 划彤使x 0 证明若g ( r ) 0 ，设x = ( kr ，其中& 定义如下： 则 a 。 t ， g ( 。) ， a ( b ) g ( n ) ， ， a ( a ) u a ( b ) 孔) = ( 。；哺) +( 即z ；) + ( ”岛) i e g ( a )i 6 g ( b ) g ( a ) n ( g ( n ) u g ( 6 ) 】 = ( 啦r ) + ( 吼，r ) i e a ( a )i e a ( b ) a ( a ) = r + a t 小= r g ( 6 ) g ( a ) 同理可证( b l 墨) = r ，即( 啦- 疵) = ( 玩瓤) 所以x = ( z ) 州形 i e it ，；i 且x 0 命题2 2 3 若g 7 ( r ) d ，则存在x = ( z ) 。，影，e x 0 证明若g ( r ) 0 ，则有g 1 ( n ) 0 ，g ( 6 ) 0 ，设x = ( 墨) 倒定义如下 轳 i | | 鬻洳洲加洲酬， ( 即盈) =( 。t ) + ( 啦喝) + ( 吼馕) j y u b u l e i 1 2 6 c o r n 第1 7 页，共4 6 页 毕业论文 ：0 ， ， ， r r 0 ，rl_fclill 1 1 z 第二章( o ，1 】格上无限双线性方程的性质及其解集 = ( n ； i e g i ( a ) n g , ( b ) 1 ) + e ( o t r ) i g = 啦+ ( o 。r ) t g l ( d ) n g l ( 6 ) i e g = 吼= r i 6 g 1 ( a ) 同理可证( 6 。z ，) = r 所以xt ( 而) 划影且x o i e l 命题2 2 4 x = ( 啦b 1 ) i ， 证明因为 ( 0 t 盈) i ， ( 6 i 恤) = 饥 i 6 1i e i ( 即6 t ) ) = ( 即饥) i e i ( n ，6 ；) = ( 。t 6 。) i e i 所以( 啦矗) = ( 执孔) 即x = ( 。；6 1 ) 吲影 i e ii 6 1 注2 2 1 由定义2 1 5 知z = ( + ) u 影( 一) u 彤( + 一) u ( 一+ ) 万( h ，影，彤( + ，( 一+ ) 互不相交 命题2 2 5 若z 0 且o l g ( r ) 1 o 。，且g 2 ( o ) d ，g 2 ( 6 ) 0 ，则彤= 证明若彤o ，设x = ( 盈) 州，所以有( 啦x i ) = r 因为g 2 ( o ) o ，所以r = ( a i - 也) = ( ”钆) 又因为o i c ( r ) i 。，故有o i c ( d ) i i e i ，g ( o ) 。，所以一定存在t g ( 。) 使得o t 龟= r 同理可证存在j g ( 6 ) ，使得= r 所以x ( 十j ，所以彤z ( “又因为根据注2 2 1 知彤( + ) 彤，所 以。圣? ：。女i ( + j y u b u l e i 1 2 6 c o i d 第1 8 页，共4 6 页 毕业论文 0 州 第二章【o ，1 】格上无限双线性方程的性质及其解集 命题2 2 6 若彤0 ， i g ( a ) uv ( 5 ) = 0 ，则彤= 彤( 一) 证明若。彩口，则v x = ( 孔) ；，彤，因为g ( 8 ) uc ( 5 ) = 0 ，即 ，。， nb i r ，所以即置 r ，魄喝 r 但r = ( 即孔) = ( b i 喝) ， i e le ， 所以根据定义2 1 5 知x 彤( 由x 的任意性知z 影( 一 由注2 2 1 知彤( 一) ，所以影= 彤( 命题2 2 7 若影0 ，则z ( + ) d 的充要条件是a ( t ) 0 证明 “等”，若影d ，设x = ( 盈) ；， 影即 有f ( 啦敏) = ( 饥x i ) = r 由定义2 1 5 中的( 1 ) 一定玉，j e ，使 i e ll ， 得a ，z l = b j z ，= r 则有皿r ，6 j r ，所以( i ，j ) g ( r ) ，目o g ( r ) “仁”若a ( r ) 0 ，贝u 3 ( i o ，j o ) g ( r ) ，使得a l 。r ，r 设x = ( 现) 引 其中甄定义如下： 轳r , i “；j 0 o , l0 ，i ，f i o ，j o 即存在n z 。= 吼。r = r 使得( a i x i ) = a i o x i o ) + ( o f