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第二节平面向量的基本定理及坐标运算 1 平面向量基本定理如果e1 e2是同一平面内的两个 向量 那么对于该平面内任一向量a 有且只有一对实数 1 2 使a 2 平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 的向量 叫做把向量正交分解 不共线 1e1 2e2 互相垂直 4 平面向量的坐标运算 提示 不正确 求两向量的夹角时 两向量起点应相同 向量a与b的夹角为 abc 解析 中 e2 2e1 e1与e2共线 中e1 4e2 e1与e2共线 答案 a 2 若a 3 2 b 0 1 则2b a的坐标是 a 3 4 b 3 4 c 3 4 d 3 4 解析 2b a 2 0 1 3 2 3 4 答案 d 答案 a 答案 1 1 解答本题的关键是根据平面向量基本定理列出关于 的方程组 2 1 利用平面向量基本定理表示向量时 要选择一组恰当的基底来表示其他向量 即用特殊向量表示一般向量 常与待定系数法 方程思想紧密联系在一起解决问题 2 利用已知向量表示未知向量 实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算 在解题时 注意方程思想的运用 思路点拨 利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点 终点坐标的关系求解 1 向量的坐标运算主要是利用向量加减 数乘运算的法则进行 若已知有向线段两端点的坐标 则应先求向量的坐标 注意方程思想的应用 2 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言 坐标语言 实质是 形 化为 数 向量的坐标运算 使得向量的线性运算都可用坐标来进行 实现了向量运算完全代数化 将数与形紧密结合起来 答案 1 4 2 2 1 1 或 3 1 1 两平面向量共线的充要条件有两种形式 1 若a x1 y1 b x2 y2 则a b的充要条件是x1y2 x2y1 0 2 若a b a 0 则b a 2 向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行 也可以由平行求参数 当两向量的坐标均非零时 也可以利用坐标对应成比例来求解 从近两年高考试题来看 平面向量基本定理的应用 向量的坐标运算及共线向量的坐标表示是考查的重点 题型以客观题为主 常与三角函数 平面向量的数量积等知识结合命题 并且常考常新 答案 2 sin2 1 cos2 创新点拨 1 以单位圆 角的弧度表示为背景 考查向量的坐标 同时考查学生的阅读理解和知识迁移能力 2 以单位圆从一点运动到另一点为条件 考查学生观察和分析问题的能力 应对措施 1 把待求问题和已知条件联系起来 分析它们之间的联系 寻找解决问题的方案 2 分析单位圆的运动过程 从点p的运动轨迹 寻找解决问题的条件 答案 a 2 2013 惠州模拟 定义平面向量之间的一种运算 如下 对任意的a m n b p q 令a b mq np 下面说法错误的序号是 若a与b共线 则a b 0 a b b a 对任意的 r 有 a b a b a b 2 a b 2 a 2 b 2 a b c d 解析 若a与b共线 则有a b mq np
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