维数-基-坐标ppt课件.ppt

一 线性空间中向量之间的线性关系 二 线性空间的维数 基与坐标 6 3维数 基与坐标 三 线性子空间的几个结果 引入 即线性空间的结构如何 怎样才能便于运算 问题 如何把线性空间的全体元素表示出来 这些元素之间的关系又如何呢 基的问题 问题 线性空间是抽象的 如何使其元素与具体的东西 发生联系 坐标问题 使其能用比较具体的数学式子来表达 数 一 线性空间中向量之间的线性关系 1 有关定义 设V是数域P上的一个线性空间 则称向量可由向量组线性表出 使 若向量组中每一向量皆可由向量组 线性表出 可由向量组线性表出 若两向量组可以互相线性表出 则称这两个向量组 为等价的 使得 则称向量组线性相关 则称向量组 若存在不全为零的数 4 如果向量组不是线性相关的 即 只有在时才成立 则称线性无关 1 单个向量线性相关 单个向量线性无关 向量组线性相关 中有一个向量可由其余向量线性表出 2 有关结论 2 若向量组线性无关 且可被 向量组线性表出 若与为两个线性无关的 等价向量组 3 若向量组线性无关 但向量组 则可被向量组 线性表出 且表法是唯一的 则 线性相关 则 1 维数 若线性空间V中可以找到任意多个线性无关的向量 则称V是无限维线性空间 二 线性空间的维数 基与坐标 n维线性空间 常记作dimV n 若在线性空间V中有n个线性无关的向量 但是 任意n 1个向量都是线性相关的 则称V是一个 注 零空间的维数定义为0 dimV 0V 0 因为对任意的正整数n 都有n个线性无关的 例2所有实系数多项式所成的线性空间R x 是无 限维的 1 x x2 xn 1 例1数域P上的向量空间Pn的维数等于n 即dimPn n 向量 在n维线性空间V中 n个线性无关的向量 2 基 称为V的一组基 下的坐标 记为 3 坐标 设为线性空间V的一组基 则数组 若 就称为在基 有时也形式地记作 注意 唯一确定的 即向量在基 在不同基下的坐标一般是不同的 下的坐标是唯一的 4 线性空间的基与维数的确定 定理 若线性空间V中的向量组满足 线性无关 可经线性表出 则V是n维线性空间 是V的一组基 例33维几何空间R3 是R3的一组基 也是R3的一组基 一般地 向量空间 为n维的 就是Pn的一组基 称为Pn的标准基 n维线性空间V的基不是唯一的 任意两组基向量是等价的 例4 1 证明 线性空间P x n是n维的 注意 线性无关的向量都是V的一组基 2 证明 1 x a x a 2 x a n 1 1 x x2 xn 1为P x n的一组基 也为P x n的一组基 V中任意n个 且 证 1 首先 1 x x2 xn 1是线性无关的 1 x x2 xn 1为P x n的一组基 从而 P x n是n维的 其次 可经1 x x2 xn 1线性表出 注 在基1 x x2 xn 1下的坐标就是 此时 2 1 x a x a 2 x a n 1是线性无关的 即 f x 可经1 x a x a 2 x a n 1线性表出 1 x a x a 2 x a n 1为P x n的一组基 在基1 x a x a 2 x a n 1下的坐标是 注 此时 按泰勒展开公式有 若把C看成是实数域R上的线性空间呢 而实数域R上的线性空间C为2维的 例5求全体复数的集合C看成复数域C上的线性 空间的维数与一组基 解 复数域C上的线性空间C是1维的 数1就是它的 一组基 它的一组基 注 任意数域P看成是它自身上的线性空间是一维的 数1 i就是 维数与所考虑的数域有关 数1就是它的一组基 解 令 有 例6求数域P上的线性空间的维数和一组基 矩阵在基下的 坐标就是 一般地 数域P上的全体矩阵构成的线性空间 是维的 注 就是的一组基 矩阵单位 下的坐标 其中 例7在线性空间中求向量在基 练习 1 已知全体正实数R 对于加法与数量乘法 构成实数域R上的线性空间 求R 的维数与一组基 2 求实数域R上的线性空间V的维数与一组基 这里 1解 数1是R 的零元素 即x可由a线性表出 任取R 中的一个数a 且 则a是线性无关的 故R 是一维的 任一正实数就是R 的一组基 2解 下证线性无关 设 得齐次线性方程组 其系数行列式 方程组 只有零解 故线性无关 又由 知 任意f A 均可表成的线性组合 所以V为三维线性空间 就是V的一组基 三 线性子空间的几个结果 设V是数域P上的线性空间 W是V的一个线性子空间 线性子空间也有基与维数的概念 任一线性子空间的维数不能超过整个空间的维数 例1P x n是P x 的线性子空间 维数等于n 例2n元齐次线性方程组AX 0解空间的维数 方程组的一个基础解系就是解空间的一组基 n R A 例3求Pn的下列子空间的维数和一组基 解 1 W1是n元齐次线性方程组 的解空间 就是W1的一组基 所以 dimW1 n 1 的一个基础解系 2 dimW3 n 1 是W3的一组基 例4在Pn中 为Pn的一组基 即Pn由它的一组基生成 类似地 还有 事实上 任一有限维线性空间都可由它的一组基生成 有关结论 1 设W为n维线性空间V的任一子空间 是W的一组基 则有 2 定理3p256 1 为线性空间V中的两组向量 则 与等价 2 生成子空间的维数 向量组的秩 为V的一组基 即在V中必定可找到n m个向量 设W为n维线性空间V的一个m维子空间 4 定理4p256 为W的一组基 则这组向量必定可扩充 使为V的一组基 扩基定理 证明 对n m作数学归纳法 无关组 则 推论 设是线性空间V中不全为零 的一组向量 是它的一个极大 它扩充为P4的一组基 其中 例5求的维数与一组基 并把 解 对以为列向量的矩阵A作 初等行变换 由B知 为的一个极大 故维数 3 就是的一组基 无关组 则线性无关 从