高考数学总复习 第十章 第三节坐标系课件 文.ppt

第三节坐标系 第十章选考部分 课前自修 知识梳理 二 极坐标系的概念1 极坐标系 如图所示 在平面内取一个定点o 叫做极点 自极点o引一条射线ox 叫做极轴 再选定一个长度单位 一个角度单位 通常取弧度 及其正方向 通常取逆时针方向 这样就建立了一个极坐标系 注 极坐标系以角这一平面图形为几何背景 而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景 平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系 而极坐标系则不可 但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系 2 极坐标 设m是平面内一点 极点o与点m的距离 om 叫做点m的极径 记为 以极轴ox为始边 射线om为终边的角 xom叫做点m的极角 记为 有序数对 叫做点m的极坐标 记作m 一般地 不作特殊说明时 我们认为 0 可取任意实数 特别地 当点m在极点时 它的极坐标为 0 r 和直角坐标不同 平面内一个点的极坐标有无数种表示 如果规定 0 0 2 那么除极点外 平面内的点可用唯一的极坐标 表示 同时 极坐标 表示的点也是唯一确定的 三 极坐标和直角坐标的互化1 互化条件 把直角坐标系的原点作为极点 x轴的正半轴作为极轴 并在两种坐标系中取相同的长度单位 如图所示 2 互化公式 设m是坐标平面内任意一点 它的直角坐标是 x y 极坐标是 0 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表 在一般情况下 由tan 确定角时 可根据点m所在的象限取最小正角 4 常见曲线的极坐标方程 基础自测 1 2012 韶关市调研 极坐标系中 圆m 2 2 cos 3 0 则圆心m到直线 cos sin 7 0的距离是 解析 利用互化公式将圆和直线的极坐标方程化为直角坐标方程得x2 y2 2x 3 0 x y 7 0 圆心坐标为 1 0 由点到直线的距离公式得所求距离为 2 2012 粤西北九校联考 在极坐标系中 过圆 4cos 的圆心 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 解析 圆的直角坐标方程为x2 y2 4x 0 圆心为 2 0 过该点的直线的极坐标方程为 cos 2 答案 cos 2 3 2012 江门市调研 已知在极坐标系下 点a b o是极点 则 aob的面积等于 4 2012 南京市模拟 已知曲线c1 c2的极坐标方程分别为 cos 3 4cos 则曲线c1 c2交点的极坐标为 考点探究 考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换 例1 通过平面直角坐标系中的平移变换和伸缩变换把圆 x 2 2 y 3 2 4变为椭圆c 椭圆c的中心在原点 长轴长为6 短轴长为4 求上述两个变换及这两个变换的合成变换 思路点拨 先用平移变换把圆心变到原点 再用伸缩变换把圆变为椭圆 点评 在进行平移或伸缩变换时 不需要刻意记忆变换公式 只要根据变换前后的方程形式就可以写出变换关系 即变换公式 另外要注意两种变换的先后顺序 顺序不同 变换公式也不同 变式探究 1 将抛物线c y x2 2x 3的图象上的每个点的横坐标都变为原来的2倍 纵坐标不变得到抛物线c1 再将抛物线c1向上平移3个单位长度 向右平移2个单位长度 得到曲线c2 求抛物线c2的顶点坐标 考点二 极坐标与直角坐标的互化 例2 1 在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中 直线l y kx 2 0与曲线c 2cos 相交 则实数k的取值范围是 2 求极点到直线 sin 10的距离是 思路点拨 1 将曲线c的方程化为直角坐标系下的方程 用判别式大于零求解 2 将直线方程化为直角坐标方程 用点到直线的距离公式求解 解析 1 将曲线c的方程 2cos 两边同乘以 得 2 2 cos 使用互化公式化为x2 y2 2x 0 将直线l的方程代入x2 y2 2x 0 整理得 1 k2 x2 4k 2 x 4 0 因为直线l与曲线c相交 所以 4k 2 2 16 1 k2 0 解得k 2 将直线 sin 10变为 sin cos cos sin 10 即 sin cos 20 将互化公式代入 化简得x y 20 0 则极点到该直线的距离为d 10 点评 极坐标与直角坐标的互化 基本要求就是会使用互化公式 将极坐标化为直角坐标时 结果是唯一的 而将直角坐标化为极坐标时 结果的表现形式不唯一 这就要注意极角的取值范围和极径的正负 一般地 极径取非负值 极角的范围是 0 2 有时极径也会取负值 极角也会取任意实数 要根据具体情况确定 变式探究 2 1 2012 深圳市松岗中学模拟 在极坐标系 0 2 中 曲线 2sin 与 cos 1的交点的极坐标为 2 2012 深圳市调研 在极坐标系中 已知直线l sin cos a把曲线c 2cos 所围成的区域分成面积相等的两部分 则常数a的值是 考点三 求曲线的极坐标方程 例3 已知圆 2 直线 cos 4 过极点作射线交圆于点a 交直线于点b 当射线以极点为中心转动时 求线段ab的中点m的轨迹方程 思路点拨 设点m 将 om 的长用 表示 然后在rt boc中用余弦关系即得 解析 如图 设m 因为 oa 2 om 所以 am 2 ab 2 am 2 4 所以 ob 2 4 2 2 2 在rt bco中 cos 即 1 cos 2为所求的线段ab的中点m的轨迹方程 点评 求曲线的极坐标方程 关键就是找出曲线上的点满足的几何条件 将它们用极坐标表示 通过解三角形得到 直角坐标系中求轨迹方程的方法 对极坐标方程的求解也适用 如直译法 定义法 动点转移法等 变式探究 3 从极点o作直线与另一直线l cos 4相交于点m 在om上取一点p 使om op 12 1 求点p的轨迹方程 2 设r为l上的任意一点 试求 rp 的最小值 解析 1 设动点p的极坐标为 点m的极坐标为 0 则 0 12 0cos 4 3cos 即为所求的轨迹方程 2 将 3cos 化为直角坐标方程是x2 y2 3x 即所以点p的轨迹是以为圆心 半径为的圆 直线l的直角坐标方程是x 4 结合图形易得 rp 的最小值为1 考点四 极坐标系的应用 例4 已知椭圆的中心为o 长轴 短轴的长分别为2a 2b a b 0 a b分别为椭圆上的两点 且oa ob 1 求证 为定值 2 求 aob面积的最大值和最小值 思路点拨 由于点的极坐标更加容易表示距离和角度 所以涉及长度和角度问题时 采用极坐标系往往能够简化思路 简便运算 点评 恰当的选用极坐标系 有时能够有效地提供解决解析几何问题的方法和思路 提高问题解决的速度 变式探究 4 2012 深圳高级中学期末 极坐标系中 圆 2 2 cos 3 0上的动点到直线 cos sin 7 0的距离的最大值是 1 注意极坐标与直角坐标的两组互化公式的使用条件 1 原点与极点重合 2 x轴与极轴重合 3 两坐标系中长度单位相同 互化过程中要注意等价性 2 极坐标系的问题多数情况下转化到直角坐标系去解决 因为我们对直角坐标系比较熟悉 运用起来得心应手 比如判断曲线的类型 求距离和点的坐标等 3 如果直接在极坐标系中解决问题 则要和解三角形联系起来 根据几何图形 合理使用公式 比如正余弦定理 三角形面积公式 直角三角形中的正余弦关系等 解决问题 感悟高考 品味高考 1 2012 江西卷 曲线c的直角坐标方程为x2 y2 2x 0 以原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 则曲线c的极坐标方程为 解析 将互化公式 2 x2 y2 cos x 代入方程x2 y2 2x 0 整理得极坐标方