高中数学 1.3.4 函数的奇偶性配套课件 新人教A版必修1.ppt

1 3 4 函数的奇偶性 2 学习目标 1 掌握函数的基本性质 单调性 最值和奇偶性 2 能应用函数的基本性质解决一些问题 3 会运用函数图象理解和研究函数的性质 练习1 下列结论正确的是 b a 偶函数的图象一定与y轴相交b 若奇函数y f x 在x 0处有定义 则f 0 0c 定义域为r的增函数一定是奇函数d 图象过原点的增函数 或减函数 一定是奇函数练习2 如果定义在区间 3 a 5 上的函数f x 为奇函数 那么a 8 练习3 设f x 是定义在 上的奇函数 且当 x 0时 f x x2 1 则f 2 5 练习4 已知当x 0 时 f x x 1 x 若f x 为奇函数 则当x 0 时 f x 若f x 为偶函数 则当x 0 时 f x x 1 x x 1 x 问题探究 已知f x 是奇函数 在 0 上是增函数 判断f x 在 0 上的单调性 并加以证明 答案 f x 在 0 上单调递增 证明 设任意的x1 x2 且0 x1 x2 因为f x 在 0 上是增函数 所以f x1 f x2 又 x2 x1 0 且f x 是奇函数 所以f x2 f x1 f x2 f x1 f x1 f x2 0 即f x2 f x1 所以f x 在 0 上是单调递增 题型1 函数奇偶性与单调性的关系 例1 已知f x 是偶函数 且在 0 上是减函数 判断f x 在 0 上是增函数还是减函数 并加以证明 解 由偶函数的图象特征 可知 f x 在 0 上是增函数 用单调性定义证明如下 设任意的x1 x2 0 f x 在 0 上是减函数 f x1 f x2 又 f x 是偶函数 f x1 f x1 f x2 f x2 f x1 f x2 即f x 在 0 上是增函数 函数的奇偶性与单调性密切相关 其关系如下 表所示 变式与拓展 1 函数f x 是定义在 上的奇函数 且f x 在 0 上是增函数 试讨论函数f x 在 0 上的增减性 并证明你的结论 解 f x 在 0 上是增函数 证明 任取x1 x2使x2 x1 0 则 x2f x1 f x 在 0 上也是增函数 题型2 函数奇偶性与单调性的应用 例2 2014年广东二模 定义在r上的偶函数f x 在 0 上是增函数 且f 0 则不等式xf x 0的解集是 思维突破 根据函数奇偶性和单调性之间的关系 将不等式进行转化 即可得到不等式的解集 函数f x 的草图如图d13 图d13答案 c 变式与拓展 2 若函数f x 是定义在r上的偶函数 在 0 上是减 函数 且f 2 0 则使得f x 0的x的取值范围是 a 2 b 2 c 2 2 d 2 2 d 题型3 抽象函数的奇偶性与单调性 例3 已知函数f x 是定义在r上的偶函数 且在 0 上是增函数 1 判断函数f x 在 0 上的单调性 2 若f 2a2 a 1 f 2a2 2a 1 求实数a的取值范围 思维突破 这是抽象函数问题 欲要脱掉函数符号 f 必须应用函数的单调性 解 1 函数f x 在 0 上是减函数 证明如下 设任意0 x1 x2 则 x2 x1 0 f x 在 0 上是增函数 f x2 f x1 又 f x 为偶函数 f x1 f x1 f x2 f x2 f x2 f x1 即f x 在 0 上是减函数 又 f x 在 0 上是减函数 且f 2a2 a 1 2a2 2a 1 解得3a 0 即a 0 故实数a的取值范围是 0 本题以抽象函数为载体 综合考查函数的奇偶性与单调性的关系 以及利用函数的单调性解不等式的能力 判断出2a2 a 1 0 2a2 2a 1 0 对本题的解答起到关键作用 变式与拓展 3 已知函数f x 为奇函数 且在 2 2 上单调递增 且有f 2 a f 1 2a 0 求a的取值范围 解 因为函数f x 为奇函数 则f x f x 由f 2 a f 1 2a 0 得f 2 a f 1 2a 即f 2 a f 2a 1 又因为f x 在 2 2 上单调递增 例4 已知当x 0时 函数f x x2 2x 1 1 若f x 为r上的奇函数 求f x 的解析式 2 若f x 为r上的偶函数 能确定f x 的解析式吗 请说 明理由 解 1 当x 0时 f x x2 2x 1 设x0 有f x x 2 2 x 1 x2 2x 1 因为f x 为r上的奇函数 所以f x f x 即当x 0时 f x x2 2x 1 当x 0时 f 0 f 0 f 0 即2f 0 0 f 0 0 2 若f x 为r上的偶函数 不能确定f x 的解析式 因为不知f 0 的表达式 方法 规律 小结 1 把函数f x x r 写成一个偶函数与一个奇函数之和的 形式f x f x f x 2 f x f x 2 其中 f x f x 2 是偶函 数 f x f x 2 是奇函数 以上代数式说明 任意的函数都可 写成一个奇函数与一个偶函数之和的形式 2 函数的单调性是函数的一个重要性质 几乎是每年必考的内容 而且函数的单调性仍将