高考数学第一轮细致复习（最新考纲+知识梳理+辨析感悟+高频考点多点训练）212导数的综合应用课件 理 新人教A版.ppt

第12讲导数的综合应用 最新考纲 1 利用导数研究函数的单调性 极 最 值 并会解决与之有关的方程 不等式 问题 2 会利用导数解决某些简单的实际问题 知识梳理1 生活中的优化问题通常求利润最大 用料最省 效率最高等问题称为优化问题 一般地 对于实际问题 若函数在给定的定义域内只有一个极值点 那么该点也是最值点 2 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤3 导数在研究方程 不等式 中的应用研究函数的单调性和极 最 值等离不开方程与不等式 反过来方程的根的个数 不等式的证明 不等式恒成立求参数等 又可转化为函数的单调性 极值与最值的问题 利用导数进行研究 感悟 提升 1 两个转化一是利用导数研究含参函数的单调性 常化为不等式恒成立问题 注意分类讨论与数形结合思想的应用 二是函数的零点 不等式证明常转化为函数的单调性 极 最 值问题处理 如 2 2 两点注意一是注意实际问题中函数定义域 由实际问题的意义和解析式共同确定 如 3 二是在实际问题中 如果函数在区间内只有一个极值点 那么可直接根据实际意义判定是最大值还是最小值 如 4 若在开区间内有极值 则一定有最优解 考点一导数在方程 函数零点 中的应用 例1 2013 北京卷 已知函数f x x2 xsinx cosx 1 若曲线y f x 在点 a f a 处与直线y b相切 求a与b的值 2 若曲线y f x 与直线y b有两个不同交点 求b的取值范围 审题路线 1 由导数的几何意义 知f a 0且f a b 解方程得a b的值 2 两曲线的交点问题 转化为方程x2 xsinx cosx b 0 通过判定零点个数来求解 解由f x x2 xsinx cosx 得f x 2x sinx x sinx sinx x 2 cosx 1 因为曲线y f x 在点 a f a 处与直线y b相切 所以f a a 2 cosa 0 b f a 解得a 0 b f 0 1 2 设g x f x b x2 xsinx cosx b 令g x f x 0 x 2 cosx 0 得x 0 当x变化时 g x g x 的变化情况如下表 所以函数g x 在区间 0 上单调递减 在区间 0 上单调递增 且g x 的最小值为g 0 1 b 当1 b 0时 即b 1时 g x 0至多有一个实根 曲线y f x 与y b最多有一个交点 不合题意 当1 b1时 有g 0 1 b4b 2b 1 b 0 y g x 在 0 2b 内存在零点 又y g x 在r上是偶函数 且g x 在 0 上单调递增 y g x 在 0 上有唯一零点 在 0 也有唯一零点 故当b 1时 y g x 在r上有两个零点 则曲线y f x 与直线y b有两个不同交点 综上可知 如果曲线y f x 与直线y b有两个不同交点 那么b的取值范围是 1 规律方法 1 在解答本题 2 问时 可转化为判定f x b有两个实根时实数b应满足的条件 并注意g x 的单调性 奇偶性 最值的灵活应用 另外还可作出函数y f x 的大致图象 直观判定曲线交点个数 但应注意严谨性 进行必要的论证 2 该类问题的求解 一般利用导数研究函数的单调性 极值等性质 并借助函数图象 根据零点或图象的交点情况 建立含参数的方程 或不等式 组求解 实现形与数的和谐统一 解 1 f x x2 1 a x a x 1 x a 由f x 0 得x 1或a a 0 当x变化时f x 与f x 的变化情况如下表 故函数f x 的单调递增区间是 1 a 单调递减区间是 1 a 考点二导数在不等式中的应用 例2 2013 新课标全国 卷 已知函数f x ex ln x m 1 设x 0是f x 的极值点 求m 并讨论f x 的单调性 2 当m 2时 证明f x 0 审题路线 1 由极值点确定出实数m的值 然后利用导数求出函数的单调区间 2 当m 2时 转化为求f x min 证明f x min 0 规律方法 1 第 2 问证明抓住两点 一是转化为证明当m 2时 f x 0 二是依据f x0 0 准确求f x ex ln x 2 的最小值 2 对于该类问题 可从不等式的结构特点出发 构造函数 借助导数确定函数的性质 借助单调性或最值实现转化 训练2 2014 郑州一模 已知函数f x a x2 1 lnx 1 讨论函数f x 的单调性 2 若对任意a 4 2 及x 1 3 恒有ma f x a2成立 求实数m的取值范围 由 1 知当a 4 2 时 f x 在 1 3 上是减函数 所以f x max f 1 2a 所以ma a2 2a 即m a 2 因为a 4 2 所以 2 a 2 0 即m 2 所以实数m的取值范围是 2 规律方法求实际问题中的最大值或最小值时 一般是先设自变量 因变量 建立函数关系式 并确定其定义域 利用求函数的最值的方法求解 注意结果应与实际情况相结合 用导数求解实际问题中的最大 小 值时 如果函数在开区间内只有一个极值点 那么依据实际意义 该极值点也就是最值点 训练3 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 不计厚度 设该蓄水池的底面半径为r米 高为h米 体积为v立方米 假设建造成本仅与表面积有关 侧面的建造成本为100元 平方米 底面的建造成本为160元 平方米 该蓄水池的总建造成本为12000 元 为圆周率 1 将v表示成r的函数v r 并求该函数的定义域 2 讨论函数v r 的单调性 并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大 1 理解极值与最值的区别 极值是局部概念 最值是整体概念 2 利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题 要注意分类讨论和数形结合思想的应用 3 在实际问题中 如果函数在区间内只有一个极值点 那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可 不必再与端点的函数值比较 答题模板第一步 利用导数的几何意义求k的值 第二步 求g x 构造函数f x 第三步 将问题转化为证明f x 1 e 2 第四步 对f x 求导 判断其单调性 求最大值 第五步 将问题