高考数学总复习 6.7 数学归纳法课件 理 新人教A版.ppt

最新考纲展示 了解数学归纳法的原理 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 第七节数学归纳法 数学归纳法 一般地 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n取时命题成立 2 归纳递推 假设n k k n0 k n 时命题成立 证明当时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 第一个值n0 n0 n n k 1 通关方略 1 数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题 但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法证明 2 n0是命题成立的第一个正整数 并不一定所有的第一个允许值n0都是1 解析 边数最少的凸n边形是三角形 答案 c 解析 验证n 1 2 3 知当n 8时成立 故初始值至少应取8 答案 b 3 用数学归纳法证明1 2 22 2n 1 2n 2 1 n n 的过程中 在验证n 1时 左端计算所得的项为 a 1b 1 2c 1 2 22d 1 2 22 22解析 n 1时 左 1 2 22 答案 c 解析 当n k时 左边 k 1 k 2 k k 当n k 1时 左边 k 1 1 k 1 2 k 1 k 1 k 2 k 3 2k 2k 1 2k 2 所以其差为 2k 1 2k 2 k 1 3k 2 答案 3k 2 用数学归纳法证明等式 例1 求证 n 1 n 2 n n 2n 1 3 5 2n 1 n n 证明 当n 1时 等式左边 2 右边 2 故等式成立 假设当n k时等式成立 即 k 1 k 2 k k 2k 1 3 5 2k 1 那么当n k 1时 左边 k 1 1 k 1 2 k 1 k 1 k 2 k 3 k k 2k 1 2k 2 2k 1 3 5 2k 1 2k 1 2 2k 1 1 3 5 2k 1 2k 1 这就是说当n k 1时等式也成立 综上可知原等式对于任意正整数n都成立 反思总结利用数学归纳法证明恒等式时应注意的问题在证明过程中突出两个 凑 字 即一 凑 假设 二 凑 结论 关键是在证明n k 1时要用上n k时的假设 其次要明确n k 1时证明的目标 充分考虑由n k到n k 1时 命题形式之间的区别和联系 化异为同 中间的计算过程千万不能省略 变式训练1 用数学归纳法证明1 2 3 2n 1 n 1 2n 1 时 从n k到n k 1 左边需增添的代数式是 a 2k 2b 2k 3c 2k 1d 2k 2 2k 3 解析 当n k时 左边共有2k 1个连续自然数相加 即1 2 3 2k 1 所以当n k 1时 左边共有2k 3个连续自然数相加 即1 2 3 2k 1 2k 2 2k 3 答案 d 证明不等式 反思总结应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 1 当遇到与正整数n有关的不等式证明时 应用其他办法不容易证 则可考虑应用数学归纳法 2 用数学归纳法证明不等式的关键是由n k成立 推证n k 1时也成立 证明时用上归纳假设后 可采用分析法 综合法 求差 求商 比较法 放缩法等证明 归纳猜想证明 例3 2014年北京海淀模拟 数列 an 满足sn 2n an n n 1 计算a1 a2 a3 a4 并由此猜想通项公式an 2 用数学归纳法证明 1 中的猜想 反思总结 归纳 猜想 证明 的模式 是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式 其一般思路是 通过观察有限个特例 猜想出一般性的结论 然后用数学归纳法证明 这种方法在解决探索性问题 存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用 其关键是归纳 猜想出公式 变式训练2 将正整数作如下分组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 分别计算各组包含的正整数的和如下 试猜测s1 s3 s5 s2n 1的结果 并用数学归纳法证明 s1 1 s2 2 3 5 s3 4 5 6 15 s4 7 8 9 10 34 s5 11 12 13 14 15 65 s6 16 17 18 19 20 21 111 解析 由题意知 当n 1时 s1 1 14 当n 2时 s1 s3 16 24 当n 3时 s1 s3 s5 81 34 当n 4时 s1 s3 s5 s7 256 44 猜想 s1 s3 s5 s2n 1 n4 下面用数学归纳法证明 1 当n 1时 s1 1 14 等式成立 2 假设当n k k n 时等式成立 即s1 s3 s5 s2k 1 k4 那么 当n k 1时 s1 s3 s5 s2k 1 s2k 1 k4 2k2 k 1 2k2 k 2 2k2 k 2k 1 k4 2k 1 2k2 2k 1 k4 4k3 6k2 4k 1 k 1 4 所以 当n k 1时 等式也成立 根据 1 和 2 可知对于任意的n n s1 s3 s5 s2n 1 n4都成立 数学归纳法的应用问题 数学归纳法除证明与自然数n 有关的恒等式 不等式 以及归纳猜想证明外 在应用时还常用来证明整除性问题 证明几何中的有关问题等 证明数的整除性问题 典例1 2014年保定模拟 利用数学归纳法证明 3n 1 7n 1 n n 能被9整除 证明 1 当n 1时 3 1 1 71 1 27 能被9整除 所以命题成立 2 假设当n k k n 时命题成立 即 3k 1 7k 1能被9整除 那么当n k 1时 3 k 1 1 7k 1 1 3k 4 7k 1 1 3k 1 7k 1 1 3 7k 1 3k 1 7k 1 3 7k 1 6 3k 1 7k 3k 1 7k 1 7k 21 6 3k 6 3k 1 7k 1 9 7k 2k 3 由归纳假设知 3k 1 7k 1能被9整除 而9 7k 2k 3 也能被9整除 故 3 k 1 1 7k 1 1能被9整除 这就是说 当n k 1时 命题也成立 由 1 和 2 知 对一切n n 3n 1 7n 1能被9整除 由题悟道数学归纳法证明有关数或整式的整除问题时 要充分利用整除的性质 若干个数 或整式 都能被某一个数 或整式 整除 则其和 差 积也能被这个数 或整式 整除 证明几何问题 典例2 2014年潍坊模拟 平面上有n个圆 每两个圆交于两点 每三个圆不过同一点 求证 这n个圆分平面为n2 n 2个部分 证明 1 当n 1时 n2 n 2 1 1 2 2 而一个圆把平面分成两部分 所以n 1时命题成立 2 假设当n k时 命题成立 即k个圆分平面为k2 k 2个部分 则n k 1时 第k 1个圆与前k个圆有2k个交点 这2k个交点把第k 1个圆分成2k段 每一段把原来的所在平面一分为二 故共增加了2k个平面块 共有k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2个部分 当n k 1时命题也成立 由 1 2 可知 这n个圆把平面分成n2 n 2个部分 由题悟道用数学归纳法证明几何问题的关键是 找项 即几何元素从k个变成k 1个时 所证的几何量将增加多少 这需用到几何知识或借助于几何图形来分析 也可将n k 1和n k分别代入所证的式子 然后作差 即可求出增加量 这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧 用数学归纳法证明an 1 a 1 2n 1 n n 能被a2 a 1整除 证明 1 当n 1时 a2 a 1 a2 a 1可被a2 a 1整除 2 假设当n k k n 且k 1 时 ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 则当n k 1时 ak 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2 a 1 2k 1 a ak 1 a a