高考数学总复习（整合考点+典例精析+深化理解）第二章 第十三节导数在研究函数中的应用(一)精讲课件 文.ppt

第十三节导数在研究函数中的应用 一 第二章 例1 已知函数f x x ex 1 x2 求函数f x 的单调区间 求不含参数的函数的单调区间 自主解答 解析 因为f x x ex 1 x2 所以f x ex 1 xex x ex 1 x 1 令f x 0 得x 0或x 1 当x 1时 f x 0 所以 1 是函数f x 的单调递增区间 当x 0时 f x 0 所以 0 是函数f x 的单调递增区间 当 1 x 0时 f x 0 所以 1 0 是函数f x 的单调递减区间 综上可知 函数f x 的单调增区间为 1 和 0 递减区间为 1 0 点评 求可导函数单调区间的一般步骤和方法 1 确定函数f x 的定义域 2 求f x 令f x 0 求出它们在定义域内的一切实数根 3 把函数f x 的间断点 即f x 的无定义点 的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来 然后用这些点把函数f x 的定义区间分成若干个小区间 4 确定f x 在各个开区间内的符号 根据f x 的符号判定函数f x 在每个相应小开区间内的增减性 1 2012 南京 盐城模拟 函数f x x2 x 1 ex x r 的单调递减区间为 变式探究 解析 因f x 2x 1 ex x2 x 1 ex x2 3x 2 ex 令f x 0 则x2 3x 2 0 解得 2 x 1 单调递减区间为 2 1 答案 2 1 写成闭区间也对 例2 2013 山西太原调研文改编 已知函数f x lnx ax2 x a r 1 当a 2时 求y f x 的单调区间 2 若y f x 存在单调递减区间 求a的取值范围 思考点拨 1 先求f x 然后利用f x 的符号与函数f x 的单调性的关系即可求得函数f x 的单调区间 2 先求f x 分类讨论 求使f x 0的a的取值范围 讨论含参数的函数的单调性 自主解答 解析 1 当a 2时 f x lnx x2 x x 0 其定义域为 0 所以f x 2x 1 令f x 0 则0 x 令f x 0 则x 所以是函数f x 的单调递增区间 是f x 的单调递减区间 2 因为f x lnx ax2 x 所以f x ax 1 x 0 因为y f x 存在单调递减区间 所以f x 0在 0 上有解 又因为x 0 则ax2 x 1 0在 0 上有解 当a 0时 x 1在 0 上有解 当a 0时 ax2 x 1 0在 0 上总有解 当a 0时 要使ax2 x 1 0在 0 上有解 只需ax2 x 1 0有两个不等的正实根 所以解得 a 0 综上所述 a的取值范围是 点评 讨论含参数的函数的单调性 一般步骤是 1 确定函数f x 的定义域 2 求f x 令f x 0 可得f x 单调递增时参数的范围 令f x 0 可得f x 单调递减时参数的范围 变式探究 2 2013 郑州一中模考 若函数f x mx2 lnx 2x在定义域内是增函数 则实数m的取值范围是 解析 f x 2mx 2 函数f x 在其定义域 0 内为增函数的充要条件是2mx 2 0在 0 内恒成立 即2m 在 0 内恒成立 由于函数 x 2 1 1 故只要2m 1即可 即m 答案 求函数的极值 例3 已知函数f x x3 mx2 nx 2的图象过点 1 6 且函数g x f x 6x的图象关于y轴对称 1 求m n的值及函数y f x 的单调区间 2 若a 0 求函数y f x 在区间 a 1 a 1 内的极值 解析 1 由函数f x 的图象过点 1 6 得m n 3 由f x x3 mx2 nx 2 得f x 3x2 2mx n 则g x f x 6x 3x2 2m 6 x n 而g x 的图象关于y轴对称 所以 0 所以m 3 代入 得n 0 所以f x x3 3x2 2 于是f x 3x2 6x 3x x 2 由f x 0得x 2或x 0 故f x 的单调递增区间是 0 和 2 由f x 0得0 x 2 故f x 的单调递减区间是 0 2 2 由 1 得f x 3x x 2 令f x 0得x 0或x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由此可得 当0 a 1时 f x 在 a 1 a 1 内有极大值f 0 2 无极小值 当a 1时 f x 在 a 1 a 1 内无极值 当1 a 3时 f x 在 a 1 a 1 内有极小值f 2 6 无极大值 当a 3时 f x 在 a 1 a 1 内无极值 综上得 当0 a 1时 f x 有极大值 2 无极小值 当1 a 3时 f x 有极小值 6 无极大值 当a 1或a 3时 f x 无极值 点评 1 可导函数y f x 在点x0处取得极值的充要条件是f x0 0 且在x0左侧和右侧f x 的符号不同 特别注意 导数为零的点不一定是极值点 2 若函数y f x 在区间 a b 内有极值 那么y f x 在 a b 内绝不是单调函数 即在某区间上单调函数没有极值 3 运用导数求可导函数y f x 的极值的步骤 先求函数的定义域 再求函数y f x 的导数f x 求方程f x 0的根 检查f x 在方程根的左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 变式探究 3 2012 佛山模拟改编 已知函数f x x2 2 b x blnx 实数b为常数 1 若b 1 求函数f x 的极值 2 若b 0 讨论函数f x 的单调性 解析 易知函数的定义域为 0 1 当b 1时 函数f x x2 x lnx 则f x 2x 1 令f x 0 得x 1 x 舍去 当01时 f x 0 函数单调递增 f x 在x 1处取得极小值 f x 极小值 f 1 0 2 由于f x 2x 2 b 令f x 0 得x1 x2 1 当0 1 即0 b 2时 列表如下 所以 函数f x 的单调递增区间为和 1 单调递减区间为 当 1 即b 2时 f x 0 所以函数f x 的单调递增区间为 0 当 1 即b 2时 列表如下 所以函数f x 的单调递增区间为 0 1 和 单调递减区间为 综上所述 当0 b 2时 函数f x 的单调递增区间为和 1 单调递减区间为 当b 2时 函数f x 的单调递增区间为 0 当b 2时 函数f x 的单调递增区间为 0 1 和 单调递减区间为 求函数的最值 例4 2013 广东六校联考 已知f x 3x2 x m x r g x lnx 1 若函数f x 与g x 的图象在x x0处的切线平行 求x0的值 2 求当曲线y f x 与y g x 有公共切线时 实数m的取值范围 并求此时函数f x f x g x 在区间上的最值 用m表示 思路点拨 1 由两函数在x x0处的导数相等可解得x0 2 先由 1 得公共切点的横坐标 从而求得公共切点的纵坐标 再用数形结合法求有公共切线时 实数m的范围 求导数f x 根据f x 的符号和给定区间求极值 进而求得最值 解析 1 因为f x 6x 1 g x 由题意知6x0 1 即6x x0 1 0 解得x0 或x0 因为x0 0 所以x0 2 若曲线y f x 与y g x 相切且在交点处有公共切线 由 1 得切点横坐标为 所以f g 所以 m ln 得m ln2 作出函数f x 与g x 的图象 图略 可知 m ln2时 f x 与g x 有公共切线 又f x 6x 1 则f x 与f x 在区间的变化情况见下表 又因为f m ln3 f 1 2 m f 所以当x 时 f x min f m ln2 f x max f 1 m 2 点评 1 如果在闭区间上函数的图象是一条连续不断的曲线 那么它必有最大值和最小值 2 求闭区间上可导函数的最值时 对函数极值是极大值还是极小值 可不再作判断 只需要直接与端点的函数值比较即可获得 3 当连续函数的极值点只有一个时 相应的极值点必为函数的最值 变式探究 4 已知函数f x ax2 1 a 0 g x x3 bx 1 若曲线y f x 与曲线y g x 在它们的交点 1 c 处具有公共切线 求a b的值 2 当a 3 b 9时 若函数f x g x 在区间 k 2 上的最大值为28 求k的取值范围 解析 1 f x 2ax g x 3x2 b 因为曲线y f x 与曲线y g x 在它们的交点 1 c 处具有公共切线 所以f 1 g 1 且f 1 g 1 即a 1 1 b 且2a 3 b 解得