高考数学第一轮总复习 2.11 导数在研究函数中的应用课件 文 新人教A版.ppt

第十一节导数在研究函数中的应用 知识梳理 1 函数的单调性与导数的关系 增函数 常量函数 减函数 2 函数的极值与导数 1 极值的概念 极大值点 小值点 极 2 利用导数求极值的步骤 求导数f x 求方程f x 0的根 列表 检验f x 在方程f x 0的根左右两侧的符号 判断y f x 在根左右两侧的单调性 如果 左增右减 那么f x 在这个根处取得 如果 左减右增 那么f x 在这个根处取得 如果左右两侧符号一样 那么这个根不是极值点 得极值 由表得极大值与极小值 左正右负 极大值 左负右正 极小值 3 求函数f x 在 a b 上最值的步骤 1 求函数y f x 在 a b 内的 2 将函数y f x 的各 与端点处的 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 得出函数f x 在 a b 上的最值 极值 极值 函数值f a f b 考点自测 1 思考 给出下列命题 f x 0是f x 为增函数的充要条件 函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的 函数的极大值不一定比极小值大 对可导函数f x f x0 0是x0点为极值点的充要条件 函数的最大值不一定是极大值 函数的最小值也不一定是极小值 其中正确的是 a b c d 解析 选c 错误 f x 0能推出f x 为增函数 反之不一定 如函数f x x3在 上单调递增 但f x 0 所以f x 0是f x 为增函数的充分条件 但不是必要条件 错误 一个函数在某区间上或定义域内的极大值可以不止一个 正确 一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系 极大值可能比极小值大 也可能比极小值小 错误 对可导函数f x f x0 0只是x0点为极值点的必要条件 如y x3在x 0时f 0 0 而函数在r上为增函数 所以0不是极值点 正确 当函数在区间端点处取得最值时 这时的最值不是极值 2 2014 湘潭模拟 函数y x2 lnx的单调递减区间为 a 1 1 b 0 1 c 1 d 0 解析 选b 由题意知函数的定义域为 0 又由y x 0 解得0 x 1 所以函数的单调递减区间为 0 1 3 已知f x x3 ax在 1 上是增函数 则a的最大值是 a 0b 1c 2d 3 解析 选d f x 3x2 a 0在 1 上恒成立 即a 3x2在 1 上恒成立 而 3x2 min 3 12 3 所以a 3 故amax 3 4 2014 荆门模拟 设函数f x lnx 则 a x 为f x 的极大值点b x 为f x 的极小值点c x 2为f x 的极大值点d x 2为f x 的极小值点 解析 选d 因为f x lnx 所以f x 令f x 0 即解得x 2 当0 x2时 f x 0 所以x 2为f x 的极小值点 5 函数y x 2cosx在区间 0 上的最大值是 解析 y 1 2sinx 令y 0 且x 0 得则x 0 时 y 0 x 时 y 0 故函数在 0 上递增 在 上递减 所以当x 时 函数取最大值 为答案 6 2014 济南模拟 已知函数f x 的定义域为 1 5 部分对应值如下表 f x 的导函数y f x 的图象如图所示 1 f x 的极小值为 2 若函数y f x a有4个零点 则实数a的取值范围为 解析 1 由y f x 的图象可知 所以f 2 为f x 的极小值 f 2 0 2 y f x 的大致图象如图所示 若函数y f x a有4个零点 则a的取值范围为1 a 2 答案 1 0 2 1 2 考点1利用导数确定函数的单调性 典例1 1 2014 武汉模拟 已知函数y f x 的图象关于y轴对称 且当x 0 时 f x xf x a cb c a bc c b ad a c b 2 2013 新课标全国卷 已知函数f x ex ax b x2 4x 曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y 4x 4 求a b的值 讨论f x 的单调性 并求f x 的极大值 解题视点 1 根据已知条件构造函数y xf x 并用导数确定其单调性 利用单调性比较a b c大小 2 根据f 0 f 0 4构建关于a b的方程求解 根据 确定f x 的解析式 利用导数确定f x 的单调性 规范解答 1 选a 因为函数y f x 关于y轴对称 所以函数y xf x 为奇函数 因为 xf x f x xf x 所以当x 0 时 xf x f x xf x a c 选a 2 由已知得函数的定义域为r f x ex ax a b 2x 4 由已知得f 0 4 f 0 4 故b 4 a b 8 从而a 4 b 4 由 知 f x 4ex x 1 x2 4x f x 4ex x 2 2x 4 4 x 2 令f x 0 得x ln2或x 2 从而当x 2 ln2 时 f x 0 当x 2 ln2 时 f x 0 故f x 在 2 ln2 上单调递增 在 2 ln2 上单调递减 当x 2时 函数f x 取得极大值 极大值为f 2 4 1 e 2 互动探究 若本例题 2 中所有条件变为 已知函数f x alnx x a 0 讨论f x 的单调性 解析 依题意得函数的定义域为 0 当a 0时 由f x 0 及x 0得x 2a 由f x 0得00时 函数f x 在 2a 上单调递增 在 0 2a 上单调递减 当a0及x 0得x a 由f x 0得00时 函数f x 在 2a 上单调递增 在 0 2a 上单调递减 易错警示 求单调区间时要先关注函数的定义域利用导数确定函数的单调性 区间 切记应先求定义域 再考虑导数的符号 特别在确定含参数函数的单调性时 要注意分类讨论 如本题中函数的定义域为 0 若解题时未求出此定义域 则会导致错误 规律方法 用导数求函数的单调区间的 三个方法 及步骤 1 方法一 当不等式f x 0 或f x 0 可解时 确定函数y f x 的定义域 求导数y f x 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为单调递增区间 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为单调递减区间 2 方法二 当方程f x 0可解时 确定函数y f x 的定义域 求导数y f x 令f x 0 解此方程 求出在定义区间内的一切实根 把函数f x 的间断点 即f x 的无定义点 的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来 然后用这些点把函数f x 的定义区间分成若干个小区间 确定f x 在各个区间内的符号 根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性 3 方法三 当不等式f x 0 或f x 0 及方程f x 0均不可解时 确定函数y f x 的定义域 求导数并化简 根据f x 的结构特征 选择相应基本初等函数 利用其图象与性质确定f x 的符号 得单调区间 提醒 利用导数确定单调性时要把导数的符号与函数单调性的关系记准 变式训练 2014 长沙模拟 已知函数 k为常数 e 2 71828 是自然对数的底数 曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线与x轴平行 1 求k的值 2 求f x 的单调区间 解析 1 由f x 得x 0 由曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线与x轴平行可知解得k 1 2 f x 当01 所以 1 0 又lnx0 所以 1 lnx 0 所以f x 0 当x 1时 00 所以 1 0 lnx 0 所以 1 lnx 0 所以f x 0 于是f x 在区间 0 1 内为增函数 在 1 内为减函数 加固训练 1 2014 洛阳模拟 定义在r上的函数f x 的导函数为f x 已知f x 1 是偶函数 x 1 f x 2 则f x1 与f x2 的大小关系是 a f x1 f x2 d 不确定 解析 选c 由 x 1 f x 1时 f x 0 函数递增 因为函数f x 1 是偶函数 所以f x 1 f 1 x f x f 2 x 即函数的对称轴为x 1 所以若1f x2 若x12 x1 1 此时由f x2 f x2 2 2013 湖南高考 已知函数f x 1 求f x 的单调区间 2 证明 当f x1 f x2 x1 x2 时 x1 x2 0 解析 1 函数f x 的定义域是 当x0 当x 0时 f x 0 所以f x 的单调递增区间为 0 单调递减区间为 0 2 当x0 同理 当x 1时 f x 0 当f x1 f x2 x1 x2 时 不妨设x1 x2 由 1 知 x1 0 x2 0 1 下面证明 x 0 1 f x f x 即证此不等式等价于 1 x ex 0 令g x 1 x ex 则g x xe x e2x 1 当x 0 1 时 g x 0 g x 单调递减 从而g x g 0 0 即 1 x ex 0 所以 x 0 1 f x f x 而x2 0 1 所以f x2 f x2 从而f x1 f x2 由于x1 x2 0 f x 在 0 上单调递增 所以x1 x2 即x1 x2 0 3 2014 天津模拟 已知函数f x ax2 1 a 0 g x x3 bx 1 若曲线y f x 与曲线y g x 在它们的交点 1 c 处具有公切线 求a b的值 2 当a2 4b时 求函数f x g x 的单调区间 解析 1 f x 2ax g x 3x2 b 由已知可得解得a b 3 2 令f x f x g x x3 ax2 x 1 f x 3x2 2ax 令f x 0 得x1 x2 因为a 0 所以x10得 由f x 0得 所以单调递增区间是单调递减区间为 考点2根据函数的单调性求参数的范围 考情 利用导数根据函数的单调性 区间 求参数的取值范围 是高考考查函数单调性的一个重要考向 常与函数 不等式 最值等知识综合以解答题的形式出现 考查根据函数在某区间上单调递增 减 或存在单调区间 在区间上为单调函数求参数的取值范围等问题 高频考点通关 典例2 1 2014 北京模拟 若f x x2 bln x 2 在 1 上是减函数 则b的取值范围是 a 1 b 1 c 1 d 1 2 2014 厦门模拟 已知函数f x x2 alnx 当a 2时 求函数f x 的单调区间 若g x f x 在 1 上是单调函数 求实数a的取值范围 解题视点 1 先求导数 再根据导数与单调性的关系 转化为不等式恒成立问题求解 2 利用导数确定单调区间的方法求解 分g x 在 1 单调递增 单调递减两种情况讨论求解 规范解答 1 选c 函数的导数f x x 要使函数在 1 上是减函数 则f x x 0在 1 上恒成立 即 x 因为x 1 所以x 2 1 0 即b x x 2 成立 设y x x 2 则y x2 2x x 1 2 1 因为x 1 所以y 1 所以要使b x x 2 成立 则有b 1 2 由已知 函数的定义域为 0 当a 2时 f x x2 2lnx 所以f x 则当x 0 1 时 f x 0 1 为f x 的单调递增区间 由题意得g x 函数g x 在 1 上是单调函数 若函数g x 为 1 上的单调增函数 则g x 0在 1 上恒成立 即a 2x2在 1 上恒成立 设 x 2x2 因为 x 在 1 上单调递减 所以 x max 1 0 所以a 0 若函数g x 为 1 上的单调减函数 则g x 0在 1 上恒成立 不可能 综上 实数a的取值范围是 0 通关锦囊 关注题型 特别提醒 f x 为增函数的充要条件是对任意的x a b 都有f x 0且在 a b 内的任一非空子区间上f x 不恒为0 应注意此时式子中的等号不能省略 否则漏解 通关题组 1 2014 烟台模拟 若函数y a x3 x 的单调递减区间为则a的取值范围是 a a 0b 1 a 0c a 1d 0 a 1 解析 选a 因为因为函数y a x3 x 在上单调递减 所以y 0 即a 0 经检验a 0不合题意 所以a 0 2 2014 合肥模拟 若函数f x a 0 为r上的单调函数 则a的取值范围为 解析 若f x 为r上的单调函数 则f x 在r上不变号 结合f x 与条件a 0 知ax2 2ax 1 0在r上恒成立 因此 4a2 4a 4a a 1 0 由此并结合a 0 知0 a 1 答案 0 1 3 2014 孝感模拟 已知函数f x x3 mx2 3m2x 1 m r 1 当m 1时 求曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程 2 若f x 在区间 2 3 上是减函数 求m的取值范围 解析 1 当m 1时 f x x3 x2 3x 1 又f x x2 2x 3 所以f 2 5 又f 2 所以所求切线方程为y 5 x 2 即15x 3y 25 0 所以曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为15x 3y 25 0 2 因为f x x2 2mx 3m2 令f x 0 得x 3m或x m 当m 0时 f x x2 0恒成立 不符合题意 当m 0时 f x 的单调递减区间是 3m m 若f x 在区间 2 3 上是减函数 则解得m 3 当m 0时 f x 的单调递减区间是 m 3m 若f x 在区间 2 3 上是减函数 则解得m 2 综上所述 实数m的取值范围是m 3或m 2 加固训练 1 2014 重庆模拟 若函数f x ex x2 ax在r上不单调 求实数a的取值范围 解析 因为f x ex x2 ax 所以f x ex 2x a 又由题意知f x 0 即方程ex 2x a 0 在r上有无重复的实数解 由 得a 2x ex 令g x 2x ex 所以g x 2 ex 令g x 0 得x ln2 当x ln2 时 g x 0 所以g x 在 ln2 上为增函数 当x ln2 时 g x 0 所以g x 在 ln2 上为减函数 所以g x max g ln2 2ln2 2 所以g x 2ln2 2 所以a 2ln2 2 2 2014 苏州模拟 已知a r 函数f x x2 ax ex x r e为自然对数的底数 1 当a 2时 求函数f x 的单调递增区间 2 函数f x 是否为r上的减函数 若是 求出a的取值范围 若不是 请说明理由 解析 1 当a 2时 f x x2 2x ex 所以f x 2x 2 ex x2 2x ex x2 2 ex 令f x 0 即 x2 2 ex 0 因为ex 0 所以 x2 2 0 解得所以函数f x 的单调递增区间是 2 f x 不是r上的减函数 若函数f x 在r上单调递减 则f x 0对x r都成立 即 x2 a 2 x a ex 0对x r都成立 因为ex 0 所以x2 a 2 x a 0对x r都成立 所以 a 2 2 4a 0 即a2 4 0 这是不可能的 故函数f x 不可能是r上的减函数 考点3利用导数研究函数的极值 最值 典例3 1 2013 新课标全国卷 若函数f x 1 x2 x2 ax b 的图象关于直线x 2对称 则f x 的最大值为 2 2013 新课标全国卷 已知函数f x x2e x 求f x 的极小值和极大值 当曲线y f x 的切线l的斜率为负数时 求l在x轴上截距的取值范围 解题视点 1 根据f x 的图象关于x 2对称 得求出a b的值 再利用导数求最值的步骤求解 2 根据求极值的步骤进行求解 设切点 表示出切线l的方程 令y 0得l在x轴上的截距 利用函数知识求得截距的取值范围 规范解答 1 因为函数f x 的图象关于直线x 2对称 所以f 0 f 4 得4b 60 15a 又f x 4x3 3ax2 2 1 b x a 而f 2 0 4 2 3 3a 2 2 2 1 b 2 a 0 得11a 4b 28 即解得a 8 b 15 故f x 1 x2 x2 8x 15 则f x 4x3 24x2 28x 8 4 x3 6x2 7x 2 4 x 2 x2 4x 1 令f x 0 即 x 2 x2 4x 1 0 则x 2或当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 答案 16 2 f x e x x2 2x 令f x 0 得x 0或2 列表如下 函数f x 的极小值为f 0 0 极大值为f 2 设切点为 x0 则切线l的斜率为此时切线l的方程为令y 0 得由已知和 得x0 0 2 令t x0 2 则t 2 0 令h t 则当t 0 时 h t 的取值范围为 当t 2 时 h t 的取值范围是 3 所以当x0 0 2 时 x的取值范围是 0 2 3 综上 l在x轴上的截距的取值范围是 0 2 3 规律方法 利用导数研究函数的极值的一般流程 变式训练 1 2014 潍坊模拟 若函数f x xlnx ax2 x a r 在x 1处取得极值 则a的值为 解析 函数定义域为 0 f x lnx 2ax 因为f x 在x 1处取得极值 所以f 1 0 即 2a 0 所以a 0 答案 0 2 2014 长沙模拟 已知f x xlnx 1 求f x 在 t t 2 t 0 上的最小值 2 证明 x 0 都有lnx 解析 1 f x lnx 1 令f x 0 得x 当时 f x 0 f x 单调递减 当时 f x 0 f x 单调递增 因为t 0 t 2 2 当0 t 时 当t 时 f x min f t tlnt 所以 2 由 1 知 当x 0 时 f x xlnx的最小值为于是问题等价于证明设m x 则m x 易得从而对一切x 0 都有成立 加固训练 1 2013 福建高考 已知函数f x x alnx a r 1 当a 2时 求曲线y f x 在点a 1 f 1 处的切线方程 2 求函数f x 的极值 解析 函数f x 的定义域为 0 f x 1 当a 2时 f x x 2lnx f x 1 x 0 所以f 1 1 f 1 1 所以y f x 在点a 1 f 1 处的切线方程为y 1 x 1 即x y 2 0 2 由可知 当a 0时 f x 0 函数f x 为 0 上的增函数 函数f x 无极值 当a 0时 由f x 0 解得x a 因为x 0 a 时 f x 0 所以f x 在x a处取得极小值 且极小值为f a a alna 无极大值 综上 当a 0时 函数f x 无极值 当a 0时 函数f x 在x a处取得极小值a alna 无极大值 2 2012 广东高考 设0 a 1 集合a x r x 0 b x r 2x2 3 1 a x 6a 0 d a b 1 求集合d 用区间表示 2 求函数f x 2x3 3 1 a x2 6ax在d内的极值点 解析 1 令g x 2x2 3 1 a x 6a 9 1 a 2 48a 9a2 30a 9 3 3a 1 a 3 当0 a 时 0 方程g x 0的两个根分别为所以g x 0的解集为因为x1 x2 0 所以 当 a 1时 0 则g x 0恒成立 所以d a b 0 综上所述 当0 a 时 当 a 1时 d 0 2 f x 6x2 6 1 a x 6a 6 x a x 1 令f x 0 得x a或x 1 当0 a 时 由 1 知d 0 x1 x2 因为g a 2a2 3 1 a a 6a a 3 a 0 g 1 2 3 1 a 6a 3a 1 0 所以0 a x1 1 x2 所以f x f x 随x的变化情况如表 所以f x 的极大值点为x a 没有极小值点 当 a 1时 由 1 知d 0 所以f x f x 随x的变化情况如表 所以f x 的极大值点为x a 极小值点为x 1 综上所述 当0 a 时 f x 有一个极大值点x a 没有极小值点 当 a 1时 f x 有一个极大值点x a 一个极小值点x 1 3 2014 天津模拟 已知p x y 为函数y 1 lnx图象上一点 o为坐标原点 记直线op的斜率k f x 1 若函数f x 在区间 m 0 上存在极值 求实数m的取值范围 2 当x 1时 不等式f x 恒成立 求实数t的取值范围 解析 1 由题意k f x 所以f x 当00 当x 1时 f x 0 上存在极值 所以即实数m的取值范围是 1 2 由 因为x 1 所以h x 0 故h x 在 1 上单调递增 所以h x h 1 1 0 从而g x 0 g x 在 1 上单调递增 g x g 1 2 所以实数t的取值范围是 2 规范解答3 导数在研究函数中的应用 典例 12分 2013 新课标全国卷 已知函数f x ex ln x m 1 设x 0是f x 的极值点 求m 并讨论f x 的单调性 2 当m 2时 证明f x 0 审题 分析信息 形成思路 解题 规范步骤 水到渠成 1 因为f x x 0是f x 的极值点 所以f 0 1 0 解得m 1 所以函数f x ex ln x 1 其定义域