高考数学第一轮总复习 2.10 变化率与导数、导数的计算课件（含高考真题和模拟题）新人教A版.ppt

第十节变化率与导数 导数的计算 知识梳理 1 函数y f x 在x x0处的导数 1 定义 称函数y f x 在x x0处的瞬时变化率 为y f x 在x x0处的导数 记作f x0 或即f x0 2 几何意义 函数f x 在点x0处的导数f x0 的几何意义是在曲线y f x 上点 x0 f x0 处的 相应地 切线方程为 2 函数y f x 的导函数称函数f x 为函数y f x 的导函数 导函数有时也记作y 切线的斜率 y f x0 f x0 x x0 3 基本初等函数的导数公式 0 x 1 cosx sinx axlna ex 4 导数四则运算法则 1 f x g x 2 f x g x 3 g x 0 f x g x f x g x f x g x 考点自测 1 思考 给出下列命题 y f x 在点x x0处的函数值就是函数y f x 在点x x0处的导数值 求f x0 时 可先求f x0 再求f x0 曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点 与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线 若f x f a x2 lnx a 0 则f x 2xf a 其中正确的是 a b c d 解析 选c 正确 根据导数的定义知其正确 错误 应先求f x 再求f x0 正确 如y 1是曲线y sinx的切线 但其交点个数有无数个 错误 如y 0与抛物线y2 x只有一个公共点 但是y 0不是抛物线y2 x的切线 正确 f x f a x2 lnx f a x2 lnx 2xf a 2 下列求导过程其中正确的个数是 a 1b 2c 3d 4 解析 选c 正确 由求导公式可知 正确 正确 错误 因为为一常数 所以故正确的只有 三个 3 函数f x x 2a x a 2的导数为 a 2 x2 a2 b 2 x2 a2 c 3 x2 a2 d 3 x2 a2 解析 选c f x x a 2 x 2a 2 x a 3 x2 a2 4 某汽车的路程函数是s t 2t3 gt2 g 10m s2 则当t 2s时 汽车的加速度是 a 14m s2b 4m s2c 10m s2d 4m s2 解析 选a 由题意知 汽车的速度函数为v t s t 6t2 gt 则v t 12t g 故当t 2s时 汽车的加速度是v 2 12 2 10 14 m s2 5 2013 大纲版全国卷 已知曲线y x4 ax2 1在点 1 a 2 处切线的斜率为8 a a 9b 6c 9d 6 解析 选d 由题意可知 点 1 a 2 在曲线上 因为y 4x3 2ax 则4 1 3 2a 1 8 解得a 6 6 2014 济南模拟 曲线y 在点 1 1 处的切线方程为 解析 y 故y x 1 2 所以切线方程为y 1 2 x 1 即y 2x 1 答案 y 2x 1 考点1导数的定义及应用 典例1 1 已知f 2 2 f 2 3 则的值为 a 1b 2c 3d 4 2 利用定义求函数y 的导数 解题视点 1 根据导数的定义 将表示成平均变化率的形式 根据定义求解 2 先求 y 再求出当 x 0时的极限值 规范解答 1 选c 令 x x 2 互动探究 在本例 1 中 若将题干中 x 2 变为 2 x 2 其他条件不变 则结果如何 解析 令 x x 2 则 规律方法 1 定义法求导数流程 2 确定函数y f x 在x x0处的导数f x0 的方法 1 利用导数的定义法 2 先求导函数f x 再求导函数值f x0 提醒 求f x0 时 要先求f x 再求f x0 顺序不可颠倒 变式训练 若函数y f x 在区间 a b 内可导 且x0 a b 则的值为 a f x0 b 2f x0 c 2f x0 d 0 解析 选b x x0 h x0 h 2h y f x0 h f x0 h 所以 加固训练 1 如图 函数f x 的图象是折线段abc 其中a b c的坐标分别为 0 4 2 0 6 4 则f f 0 用数字作答 解析 f 0 4 f f 0 f 4 2 由导数定义当0 x 2时 f x 4 2x f x 2 f 1 2 答案 2 2 2 函数y f x 在x 1处的导数为 解析 方法一 y f 1 x f 1 答案 考点2导数的计算 典例2 1 2014 岳阳模拟 已知函数f x g x bx2 3x 设函数h x f x g x 且h 1 h 1 0 则a b的值分别为 和 2 求下列各函数的导数 y 2x2 1 3x 1 解题视点 1 先求h x f x g x 再据h 1 h 1 0构建关于a b的方程组求得 2 可以先展开解析式 然后再求导 也可以直接利用乘积的求导法则进行求导 将利用三角公式化简后 再求导 先通分 再求导 规范解答 1 函数h x 的定义域为 x x a 则h x f x g x 答案 0或 2或 6 2 方法一 y 2x2 1 3x 1 6x3 2x2 3x 1 所以y 6x3 2x2 3x 1 6x3 2x2 3x 1 18x2 4x 3 方法二 y 2x2 1 3x 1 2x2 1 3x 1 4x 3x 1 3 2x2 1 12x2 4x 6x2 3 18x2 4x 3 先使用三角公式进行化简得 易错警示 注意求复杂函数导数的顺序对于复杂函数的求导 在求导之前 切记应先化简 再求导 否则会出现不必要的错误 如本例 均可先化简 再求导 这样可简化步骤 减少运算量 规律方法 导数计算的原则和方法 1 原则 先化简解析式 使之变成能用八个求导公式求导的函数的和 差 积 商 再求导 2 方法 连乘积形式 先展开化为多项式的形式 再求导 分式形式 观察函数的结构特征 先化为整式函数或较为简单的分式函数 再求导 对数形式 先化为和 差的形式 再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式 再求导 三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式 再求导 变式训练 1 2014 天津模拟 已知f x x 2013 lnx f x0 2014 则x0等于 a e2b 1c ln2d e 解析 选b 因为f x 2013x xlnx 所以f x 2013 lnx 1 2014 lnx 又因为f x0 2014 所以2014 lnx0 2014 解得x0 1 2 求下列各函数的导数 1 y 3x2 4x 2x 1 2 y x2sinx 3 解析 1 因为y 3x2 4x 2x 1 6x3 3x2 8x2 4x 6x3 5x2 4x 所以y 18x2 10 x 4 2 y x2 sinx x2 sinx 2xsinx x2cosx 加固训练 1 2014 长沙模拟 若函数f x 则与的大小关系是 解析 选c 依题意得f x sinx 2 求下列函数的导数 1 y 3xex 2x e 解析 1 y 3xex 2x e 3x ex 3x ex 2x 3xln3 ex 3xex 2xln2 3e xln 3e 2xln2 2 先化简 考点3导数几何意义的应用 考情 导数的几何意义是高考重点考查的内容 常与解析几何中的直线 抛物线等知识交汇命题 以选择 填空题或解答题中基本的一问的形式出现 考查求曲线的切线的斜率 方程或已知曲线的切线斜率 切线方程求参数等问题 高频考点通关 典例3 1 2013 广东高考 若曲线y kx lnx在点 1 k 处的切线平行于x轴 则k 2 2013 北京高考 设l为曲线c 在点 1 0 处的切线 求l的方程 证明 除切点 1 0 之外 曲线c在直线l的下方 解题视点 1 先求导 根据切线平行于x轴得切线的斜率为0 进而根据导数的几何意义构建方程求解 2 先求出切点处的导数 再代入点斜式方程求切线方程 转化为再转化为求f x x x 1 lnx x 0 的极小值问题 规范解答 1 对y kx lnx求导得y 而x轴的斜率为0 所以在点 1 k 处切线的斜率为y x 1 k 1 0 解得k 1 答案 1 2 y 于是y x 1 1 因此l的方程为y x 1 只需要证明 x 0且x 1时 x 1 设f x x x 1 lnx x 0 则f x 当x 0 1 时 f x 0 所以f x 在 0 1 上单调递减 在 1 上单调递增 所以f x 在x 1处取得极小值 也是最小值 所以f x f 1 0 x 1 因此 除切点 1 0 之外 曲线c在直线l的下方 通关锦囊 通关题组 1 2014 福州模拟 若曲线y x2 ax b在点p 0 b 处的切线方程是x y 1 0 则 a a 1 b 1b a 1 b 1c a 1 b 1d a 1 b 1 解析 选a y 2x a 因为切线x y 1 0的斜率为1 所以2 0 a 1 即a 1 又 0 b 在直线x y 1 0上 因此0 b 1 0 即b 1 2 2014 孝感模拟 设曲线y xn 1 n n 在点 1 1 处的切线与x轴的交点横坐标为xn 则log2014x1 log2014x2 log2014x3 log2014x2013的值为 a log20142013b 1c 1 log20142013d 1 解析 选b 由已知得y n 1 xn 所以曲线在点 1 1 处的切线斜率为k n 1 切线方程为y 1 n 1 x 1 令y 0 解得xn 所以原式 log2014 x1x2x3 x2013 3 2014 长沙模拟 函数y f x 的图象在点m 1 f 1 处的切线方程为y x 2 则f 1 f 1 解析 由题意可知所以f 1 f 1 3 答案 3 加固训练 1 2014 广州模拟 已知f x lnx g x m 0 直线l与函数f x g x 的图象都相切 且与f x 图象的切点为 1 f 1 则m等于 a 1b 3c 4d 2 解析 选d f x 所以直线l的斜率为k f 1 1 又f 1 0 所以直线l的方程为y x 1 g x x m 设直线l与g x 的图象的切点为 x0 y0 则有x0 m 1 y0 x0 1 y0 x02 mx0 m 0 于是解得m 2 故选d 2 2014 长春模拟 曲线y ex在点 2 e2 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 a e2b 2e2c e2d 解析 选d 令f x ex 因为f x ex 所以曲线在点 2 e2 处的切线的斜率为k f 2 e2 切线方程为y e2 e2 x 2 即e2x y e2 0 切线与x轴和y轴的交点分别为a 1 0 b 0 e2 则切线与坐标轴围成的 oab的面积为 1 e2 选d 3 2014 南京模拟 抛物线y x2上的点到直线 x y 2 0的最短距离为 解析 y 2x 根据题意可知与直线x y 2 0平行的抛物线y x2的切线对应的切点到直线x y 2 0的距离最短 设切点坐标为 x0 x02 则所以切点坐标为切点到直线x y 2 0的距离所以抛物线上的点到直线x y 2 0的最短距离为答案 易错误区7 求解曲线切线方程问题中的易错点 典例 2014 天津模拟 若存在过点 1 0 的直线与曲线y x3