2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的简单几何性质练习（含解析）新人教A版.docx

2.3.2 抛物线的简单几何性质学生用书P111(单独成册)A基础达标1以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是()Ay28xBy28xCy28x或y28xDx28y或x28y解析：选C.依题意设抛物线方程为y22px(p0)，则2p8，所以抛物线方程为y28x或y28x.2若直线y2x与抛物线x22py(p0)相交于A，B两点，则|AB|等于()A5pB10pC11pD12p解析：选B.将直线方程代入抛物线方程，可得x24pxp20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24p，所以y1y29p.因为直线过抛物线的焦点，所以|AB|y1y2p10p.3设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A为抛物线上一点，若4，则点A的坐标为()A(2，2)B(1，2)C(1，2)D(2，2)解析：选B.设A(x，y)，则y24x，又(x，y)，(1x，y)，所以xx2y24.由可解得x1，y2.4过点(1，0)作斜率为2的直线，与抛物线y28x交于A，B两点，则弦AB的长为()A2B2C2D2解析：选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)由题意知AB的方程为y2(x1)，即y2x2.由得x24x10，所以x1x24，x1x21.所以|AB|2.5设F为抛物线C：y23x的焦点，过点F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A.BC.D解析：选D.易知抛物线中p，焦点F，直线AB的斜率k，故直线AB的方程为y，代入抛物线方程y23x，整理得x2x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2.由抛物线的定义可得弦长|AB|x1x2p12.结合图象可得O到直线AB的距离dsin 30，所以OAB的面积S|AB|d.6过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，则线段AB的中点M到抛物线准线的距离为_解析：抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x1.由抛物线的定义知|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是线段AB的中点M的横坐标为，因此点M到抛物线准线的距离为1.答案：7有一个正三角形的两个顶点在抛物线y22px(p0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是_解析：设A，B在y22px上，另一个顶点为O，则A，B关于x轴对称，则AOx30，则直线OA的方程为yx.由得y2p，所以AOB的边长为4p.答案：4p8已知A(2，0)，B为抛物线y2x上的一点，则|AB|的最小值为_解析：设点B(x，y)，则xy20，所以|AB| .所以当x时，|AB|取得最小值，且|AB|min.答案：9若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|，|AF|3，求此抛物线的标准方程解：设所求抛物线的标准方程为x22py(p0)，设A(x0，y0)，由题知M.因为|AF|3，所以y03，因为|AM|，所以x17，所以x8，代入方程x2py0得，82p，解得p2或p4.所以所求抛物线的标准方程为x24y或x28y.10已知抛物线C：y22px(p0)过点A(2，4)(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)若点B(0，2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程解：(1)由抛物线C：y22px(p0)过点A(2，4)，可得164p，解得p4.所以抛物线C的方程为y28x，其准线方程为x2.(2)当直线l的斜率不存在时，x0符合题意当直线l的斜率为0时，y2符合题意当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为ykx2.由得ky28y160.由6464k0，得k1，故直线l的方程为yx2，即xy20.综上直线l的方程为x0或y2或xy20.B能力提升11直线4kx4yk0与抛物线y2x交于A，B两点，若|AB|4，则弦AB的中点到直线x0的距离等于()A.B2C.D4解析：选C.直线4kx4yk0，即yk，即直线4kx4yk0过抛物线y2x的焦点.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x24，故x1x2，则弦AB的中点的横坐标是，弦AB的中点到直线x0的距离是.12直线yx3与抛物线y24x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为_解析：由消去y得x210x90，得x1或9，即或所以|AP|10，|BQ|2或|BQ|10，|AP|2，所以|PQ|8，所以梯形APQB的面积S848.答案：4813已知抛物线y2x与直线yk(x1)相交于A，B两点(1)求证：OAOB；(2)当AOB的面积等于时，求k的值解：(1)证明：如图，由方程组消去x并整理，得ky2yk0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系知y1y2，y1y21.因为kOAkOB1，所以OAOB.(2)设直线与x轴交于点N，显然k0.令y0，则x1，即点N(1，0)所以SOABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2|ON|y1y2|1 ，所以k.14(选做题)已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值解：(1)直线AB的方程是y2，与y22px联立，有4x25pxp20，所以x1x2.由抛物线的定义，得|AB|x1x2p9，所以p4，抛物线的方程是y28x.(2)因为p4，所以4