度高中数学 4.2.3 直线与圆的方程的应用同步辅导与检测课件 新人教A版必修2.ppt

4 2直线 圆的位置关系4 2 3直线与圆的方程的应用 圆与方程 正确理解直线与圆的概念 能由直线与圆的位置关系解决简单的实际问题 基础梳理 1 用坐标方法解决平面几何问题的 三步曲 练习1 x a 2 y b 2 r2表示圆心在 半径为 上的圆 练习2 y 表示圆心在 半径为 的半圆 练习3 y b 表示圆心在 半径为 的下半圆 练习1 a b r练习2 0 0 1练习3 a b r 思考应用 用坐标方法解决平面几何问题的工具是什么 解析 用坐标方法解决平面几何问题的基本思想就是用代数的方法解决几何问题 而建立它们联系的主要工具就是平面直角坐标系 自测自评 1 方程x2 y2 2ax 2ay 0 a 0 表示的圆 a 关于x轴对称b 关于y轴对称c 关于直线x y 0对称d 关于直线x y 0对称 解析 该圆的圆心 a a 在直线x y 0上 故关于直线x y 0对称 答案 d 2 若直线x y m 0与圆x2 y2 m相切 则m为 a 0或2b 2c d 无解 解析 圆心 0 0 到直线x y m 0的距离d m 2 答案 b 3 一直线经过点p 3 被圆x2 y2 25截得的弦长为8 求此弦所在的直线方程 直线与圆方程的实际应用 某市气象台测得今年第三号台风中心在某市正东300km处 以40km h的速度向西偏北30 方向移动 据测定 距台风中心250km的圆形区域内部都将受到台风影响 请你推算该市受台风影响的起始时间与持续时间 精确到分钟 分析 注意到受台风影响的范围是一个圆 受台风影响的时间由风向所在直线与圆形区域相交所得弦长确定 故只要建立适当的坐标系 求出风向及圆形区域圆方程 然后利用弦长公式即可解决 解析 以该市所在位置a为原点 正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系 开始时台风中心在b 300 0 处 台风中心沿倾斜角为150 方向直线移动 其轨迹方程为y x 300 x 300 该市受台风影响时 台风中心在圆x2 y2 2502内 设射线与圆交于c d 则 ca ad 250 所以台风中心到达c点时 开始影响该市 中心移至d点时 影响结束 作ah cd于h 则 ah ab sin30 150 hb 150 ch hd 200 bc 150 200 则该市受台风影响的起始时间t1 1 5 h 即约90分钟后台风影响该市 台风影响的持续时间t2 10 h 即台风对该市的影响持续时间为10小时 点评 1 要建立适当的坐标系 建系决定了运算的繁简程度 因此 如何将实际问题转化为数学问题 如何建立适当的数学模型是解题的关键 2 本题亦可直接求出弦长 cd 400 则t 10 即为台风对该市的持续影响时间 跟踪训练 1 台风中心从a地的每小时20千米的速度向东北方向移动 离台风中心30千米内的地区为危险地区 城市b在a的正东40千米处 b城市处于危险区内的时间为 a 0 5小时b 1小时c 1 5小时d 2小时 解析 建系后写出直线和圆的方程 求得弦长为20千米 故处于危险区内的时间为 1 小时 答案 b 直线与圆的方程在平面几何中的应用 如图所示 在圆o上任取c点为圆心 作一圆c与圆o的直径ab相切于d 圆c与圆o交于e f 且ef与cd相交于h 求证 ef平分cd 点评 利用坐标方法解决平面几何问题时 要充分利用直线方程 圆的方程 直线与圆 圆与圆的位置关系等有关性质 建立适当的平面直角坐标系 正确使用坐标法 使几何问题转化为代数问题 用代数运算求得结果以后 再解释代数结果的实际含义 也就是将代数问题再转化到几何问题中 对几何问题作出合理解释 跟踪训练 2 如图 直角 abc的斜边长为定值2m 以斜边的中点o为圆心作半径为n的圆 bc的延长线交圆于p q两点 求证 ap 2 aq 2 pq 2为定值 解析 如图 以o为坐标原点 以直线bc为x轴 建立平面直角坐标系 于是有b m 0 c m 0 p n 0 q n 0 设a x y 由已知 点a在圆x2 y2 m2上 ap 2 aq 2 pq 2 x n 2 y2 x n 2 y2 4n2 2x2 2y2 6n2 2m2 6n2 定值 涉及圆的最值问题 多解题 在直线2x y 3 0上求一点p 使p向圆x2 y2 4x 0所引得的切线长为最短 解析 解法一 代数法 圆化简为 x 2 2 y2 4 切线长最短 即点p到圆心的距离最短 设圆心为o p x0 y0 则 po 2 x0 2 2 y20 x0 2 2 2x0 3 2 5x20 8x0 13 当x0 时 po 2最小 此时切线最短 y0 p点的坐标为 解法二 几何法 由题意知过圆心作直线的垂线l 从垂足所引的圆的切线最短 垂线l所在直线的斜率为 又过圆心 2 0 垂线l的方程为y x 2 即x 2y 2 0 点评 充分利用式子的几何意义 可以减少运算量 跟踪训练 3 已知x y是实数 且x2 y2 4x 6y 12 0 求 1 的最值 2 x2 y2的最值 3 x y的最值 4 x y的最值 解析 圆的方程可化为 x 2 2 y 3 2 1表示以点c 2 3 为圆心 1为半径的圆 1 表示圆c上的点p x y 与坐标原点o 0 0 连线的斜率k 故当y kx为圆c的切线时 k可取得最值 2 设x2 y2表示圆c上的点p x y 与坐标原点o 0 0 连接的线段长的平方 故由平面几何知识 知p为直线oc与圆c的两交点p1 p2时 op12与op22分别为op2的最大值 最小值 1 若直线3x 4y k 0与圆x2 y2 6x 5 0相切 则k的值等于 a 1或 19b 10或 10c 1或 19d 1或19 解析 圆方程为 x 3 2 y2 22 圆与直线相切 圆心到切线距离等于半径 2 k 1或 19 答案 a 2 如果实数x y满足等式 x 1 2 y2 那么的最大值是 解析 的几何意义是圆上的点p x y 与原点连线的斜率 结合图形得 斜率的最大值为 max 答案 d 1 用坐标法解决平面几何问题的 三步曲 1 建立适当的平面直角坐标系 用坐标和方程表示问题中的几何元素 将平面几