高中数学 6.4含绝对值的不等式配套课件 理 新人教A版.ppt

第四节含绝对值的不等式 三年2考高考指数 理解不等式 a b a b a b 1 绝对值不等式的性质及解法常与集合的运算及充要条件结合形成低 中档题目 常以选择题 填空题的形式考查 2 绝对值不等式与其他知识结合形成综合题 考查函数与方程的思想 等价转化的思想 分类讨论的思想等 1 绝对值不等式的性质 a r 1 a 0 当且仅当a 0时取等号 2 a a a 3 a b a b a b 即时应用 1 思考 不等式 a b a b a b 中 等号成立的条件是什么 提示 不等式 a b a b a b 右侧等号成立的条件是ab 0 左侧等号成立的条件是ab 0且 a b 不等式 a b a b a b 右侧等号成立的条件是ab 0 左侧等号成立的条件是ab 0且 a b 2 x x 则x的取值范围是 解析 x 0 故x 0 答案 0 3 填写下列各式成立的条件 x y x y 成立的条件是 x y x y 成立的条件是 x y x y 成立的条件是 答案 xy 0 x y r xy 0 x y r xy 0 x y r 2 含绝对值的不等式的解法设f x 的定义域为d 即时应用 1 不等式 x 1 2的解集是 2 不等式 x 1 x 2 的解集是 3 不等式 x2 2x 3 3x 1 的解集是 解析 1 x 1 2 x 1 2或x 1 2 即x 1或x 3 2 x 1 x 2 x 1 2 x 2 2 即x 3 x2 2x 3 x 1 2 2 0 x2 2x 3 3x 1 x2 2x 3 3x 1 x2 2x 3 3x 1或3x 1 x2 2x 3 x2 5x 4 0或x2 x 2 0 1 x 4或x 答案 1 3 1 2 12 3 1 4 绝对值不等式的解法 方法点睛 含两个或两个以上绝对值的不等式的解法 1 零点分段法其步骤为 令每个绝对值取零求零点 划分区间 去掉绝对值符号 在每个区间分别解去掉绝对值的不等式 取每个区间解集的并集得所求不等式的解集 注意在分段时不要遗漏区间端点的值 2 函数图象法针对绝对值不等式的形式构造对应的函数 通过绝对值的代数意义去掉绝对值符号等价变形为相应的分段函数 作出对应的函数图象 利用运动变化的观点看图写解集 例1 1 2011 广东高考 不等式 x 1 x 3 0的解集是 2 2011 江苏高考 解不等式 x 2x 1 3 3 已知不等式 x 4 x 3 a有解 求实数a的取值范围 解题指南 1 移项 利用平方脱去绝对值符号 2 利用绝对值的意义脱去绝对值符号 3 先找零点 去掉绝对值符号 化为一元一次不等式求解 或利用绝对值的意义求解 或先构造函数 然后脱去绝对值符号 利用图象求解 规范解答 1 由题意得 x 1 x 3 两边平方得x2 2x 1 x2 6x 9 即8x 8 解得x 1 所以原不等式的解集为 x x 1 答案 x x 1 2 原不等式等价于 x 3 2x 1 3 x 2 x 解集为 2 3 方法一 由x 4 0 x 3 0得x 4 x 3 可将数轴分成三段 3 3 4 4 当x 3时 得4 x 3 x a x 有解的条件为 3 即a 1 当3 x 4时 得4 x x 3 a 即a 1 当x 4时 得x 4 x 3 a x 有解的条件为 4 即a 1 综上得 a 1 方法二 设3 4在数轴上对应的点分别为a b 则线段ab上的点到a b两点的距离之和最小 且其值为1 由题意得 a x 4 x 3 有解 所以a 1 方法三 令f x x 4 x 3 则f x 令g x a 作出它们的图象如图所示 2x 7 x 3 1 3 x 4 2x 7 x 4 由f x 图象可知 其最小值为1 又 f x g x 有解 a 1 互动探究 若将本例 3 改为 若不等式 x 4 x 3 a的解集为空集 求实数a的取值范围 若不等式 x 4 x 3 a恒成立 求实数a的取值范围 解析 x 4 x 3 表示数轴上的a x 到b 4 和c 3 两点的距离之和 而bc 1 所以a到b c两点的距离之和的最小值为1 若 x 4 x 3 a的解集为 只需a 1即可 所以a的取值范围是 1 由 知 x 4 x 3 的最小值为1 所以要使 x 4 x 3 a恒成立 则a 1 即实数a的取值范围是 1 反思 感悟 使用平方法去绝对值时 要特别注意 容易出现增根 必须检查变形的同解性 事实上 平方法去绝对值一般只适合于两边非负的不等式 变式备选 1 若对任意x r 不等式 x ax恒成立 则实数a的取值范围是 a a 1 b a 1 c a 1 d a 1 解析 选b 当x 0时 x ax a 1 当x 0时 a r 当x 0时 x ax a 1 综上得 1 a 1 即实数a的取值范围是 a 1 2 已知函数f x x a 1 若不等式f x 3的解集为 x 1 x 5 求实数a的值 2 在 1 的条件下 若f x f x 5 m对一切实数x恒成立 求实数m的取值范围 解析 1 由f x 3得 x a 3 解得a 3 x a 3 又已知不等式f x 3的解集为 x 1 x 5 所以 解得a 2 2 方法一 当a 2时 f x x 2 设g x f x f x 5 于是g x x 2 x 3 a 3 1a 3 5 2x 1 x 35 3 x 22x 1 x 2 所以当x 3时 g x 5 当 3 x 2时 g x 5 当x 2时 g x 5 综上可得 g x 的最小值为5 从而 若f x f x 5 m 即g x m对一切实数x恒成立 则m的取值范围为 5 方法二 当a 2时 f x x 2 设g x f x f x 5 由 x 2 x 3 x 2 x 3 5 当且仅当 3 x 2时等号成立 得 g x 的最小值为5 从而 若f x f x 5 m 即g x m 对一切实数x恒成立 则m的取值范围为 5 绝对值不等式的证明 方法点睛 证明含绝对值的不等式的思想方法一是运用不等式 a b a b a b 的性质及取等号的条件进行等价变形或合理放缩 要把握好放缩的度 二是把含有绝对值的不等式根据绝对值的代数意义 或使用平方法 去掉绝对值 等价转换为不含绝对值的不等式 再利用前面熟悉的不等式的证明方法进行证明 提醒 利用绝对值不等式的性质求最值或放缩法证明的过程中 一定要注意等号成立的条件 例2 设f x ax2 bx c 当 x 1时 总有 f x 1 求证 f 2 8 解题指南 解答本题可由 x 1时总有 f x 1推出 f 0 1 f 1 1 f 1 1 进而确定 a b 的范围 从而证得 f 2 8 规范解答 当 x 1时 f x 1 f 0 1 即 c 1 又 f 1 1 且 f 1 1 a b c 1 a b c 1 又 a b c a b c 2 c a b c a b c 2c 2 a 且 a b c a b c 2 c 4 a 2 2b a b c a b c a b c a b c 2 b 1 f 2 4a 2b c f 1 3a b f 1 3 a b 1 6 1 8 即 f 2 8 反思 感悟 在证明本题时 结合题目的已知条件利用赋值的思想 是解决这道题的关键 要好好体会并掌握 变式训练 设函数f x ax2 bx c对一切x 1 1 都有 f x 1 求证 对一切x 1 1 都有 2ax b 4 证明 由得代入2ax b 整理得 2ax b x f 1 x f 1 2xf 0 因为当x 1 1 时 f x 1 所以得 2ax b x f 1 x f 1 2xf 0 x f 1 x f 1 2x f 0 x x 2x f 1 a b cf 1 a b cf 0 c a f 1 f 1 2f 0 b f 1 f 1 c f 0 当x 1 时 2ax b 4x 4 当x 0 时 2ax b 1 2x 2 当x 0 时 2ax b 1 2x 2 当x 1 时 2ax b 4x 4 综上所述 对一切x 1 1 都有 2ax b 4 绝对值不等式的综合应用 方法点睛 绝对值不等式的综合应用绝对值不等式常常与一次函数 二次函数等融合形成综合问题 它要求学生熟练掌握函数的单调性 奇偶性等性质 并能对含绝对值不等式的性质灵活运用 综合考查学生运用不等式 函数 方程的知识分析问题和解决问题的能力 例3 已知函数f x x2 ax b a b r g x 2x2 4x 16 1 求不等式g x 0的解集 2 若 f x g x 对x r恒成立 求a b 3 在 2 的条件下 若对一切x 2 均有f x m 2 x m 15成立 求实数m的取值范围 解题指南 1 解一元二次不等式 2 f x g x 对x r恒成立 利用赋值法求得a b的值 3 分离参数m 利用均值不等式求最值 规范解答 1 g x 2x2 4x 16 0 x 2 x 4 0 2 x 4 不等式g x 0的解集为 x 2 x 4 2 x2 ax b 2x2 4x 16 对x r恒成立 当x 4 x 2时成立 经验证a 2 b 8符合题 16 4a b 0 4 2a b 0 16 4a b 04 2a b 0 a 2b 8 3 由 2 知 f x x2 2x 8 x2 2x 8 m 2 x m 15 x 2 即x2 4x 7 m x 1 对一切x 2 均有不等式 m成立 而 x 1 2 2 当且仅当x 3时等号成立 实数m的取值范围是 2 反思 感悟 解答本例 2 抓住 f x g x 恒成立 特别地 g x 0时 f x 0恒成立 又 f x 0 从而f x 0是解题的关键 变式训练 定义在r上的函数f x 满足 如果对任意x1 x2 r 都有f f x1 f x2 则称f x 在r上为凹函数 已知二次函数f x ax2 x a r a 0 1 求证 当a 0时 函数f x 是凹函数 2 如果x 0 1 时 f x 1 试求实数a的取值范围 解析 1 a 0 f x1 f x2 2f 由题意知 f x 为凹函数 2 由 f x 1知 1 f x 1 1 ax2 x 1 当x 0时 1 0 1恒成立 a r 且a 0 当x 0 1 时 使恒成立 化简不等式组 可得且 1 ax2 xax2 x 1 当 1时 2 取最大值 2 当 1时 2 取最小值0 2 a 0且a 0 2 a 0 综上所述 a的取值范围为 2 0 满分指导 绝对值不等式证明题的规范解答 典例 12分 2012 柳州模拟 已知函数f x x a x 0 欲使f x 恒成立 求实数a的取值范围 解题指南 将恒成立问题转化为求最值问题 再利用函数的单调性求最值 从而得到实数a的取值范围 规范解答 f x x a 当 0 即x 2时 2分a x 或a x a x 或a x 4分x 在 2 上有最小值2 无最大值 故满足a x 的a值不存在 6分 又x 在区间 0 1 上单调递减 在 1 上单调递增 由于x 2 因此当x 2时x 取得最小值 其值为2 因此a 2 8分当 0 即0 x 2时 满足不等式 x a 的a的取值范围为r 11分综上 欲使f x 恒成立 则a的取值范围为 2 12分 阅卷人点拨 通过阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2011 天津高考 已知集合a x r x 3 x 4 9 b x r x 4t 6 t 0 则集合a b 解析 对集合a 当x 3时 解得x 4 3 当x 3 4 时 恒成立 当x 4时 x 4 5 综上可得x 4 5 对集合b x 4t 6 2 6 4 6 2 当且仅当t 时等号成立 a b x 2 x 5 答案 x 2 x 5 2 2011 江西高考 对于实数x y 若 x 1 1 y 2 1 则 x 2y 1 的最大值为 解析 根据条件有 x 2y 1 x 1 2 y 2 2 x 1 2 y 2 2 x 1 1 y 2 1 x 2y 1 1 2 1 2 5 答案 5 3 2011 陕西高考 若关于x的不等式 a x 1 x 2 存在实数解 则实数a的取值范围是 解析 当x 1时 x 1 x 2 x 1 x 2 2x 1 3 当 1 x 2时 x 1 x 2 x 1 x 2 3 当x 2时 x 1 x 2 x 1 x 2 2x 1 3 综上可得 x 1 x 2 3 所以只要 a 3即可 解得a 3或a 3 即实数a的取值范