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解两种非线性波动方程的交替分段并行方法 摘要 本文包括如下两部分的工作 第部分利用h o p f - c o l e 变换,将一维非线性b u r g e r s 方程转化为线性扩散 方程,基于第二类s a u l y c v 型非对称格式和c r a n k - n i c o l s o n 格式对扩散方程进行 差分离散,建立了解b u r g c r s 方程的两种交替分段并行差分格式,并讨论了方法 的稳定性,给出了数值算例这两种算法把剖分节点分成若干组,在每组上构造 能够独立求解的差分方程,因此具有并行本性,适合在高性能多处理器的并行计 算机上使用数值试验的结果表明此方法是有效的,且有较高的精度 第二部分以k d v 方程的对流项、色散项的非对称差分格式为基础,给出了 一组遥近k d v 方程的菲对称差分格式,并用这组格式和对称的c r a n k - n i c o l s o n 型 格式构造了求解k d v 方程的并行交替分段差分隐格式文章还证明了所给算法 线性绝对稳定,能直接在并行计算机上使用数值试验表明,该方法使用简便, 稳定性好,有较好的精度 关键词: b u r g e r s 方程;k d v 方程;h o p e - c o l e 变换;交替分段并行差 分格式;s a u l ,y e v 型非对称格式;稳定性 p a r a l l e la l t e r n a t i n gg r o u pm e t h o d sf o rt w ok i n d so fn o n l i n e a r w a v ee q u a t i o n s a b s t r a c t t h ec o n t e n t so ft h i sd i s s e r t a t i o na r ed i v i d e di n t ot w oc h a p t e r s i nd i a p t e ro n e t w ok i n d so f p a r a l l e la l t e r n a t i n gg r o u pm e t h o d sf o rs o l v i n gb v x g e r s e q u a t i o nw h i c h 黜也a n g e di n t od i f f u s i o ne q u a t i o nf i r s tb yh o p f - c o l et r a n s f o r m a t i o ni s c o n s t r u c t e dh e r e t h e s em e t h o d sb a s e do ns a n l y e vt y p ea s y m m e t r i cd i f f e r e n c es c h e m e s a n dc r a n k - n i c o l s o ns c h e m ea r eu n c o n d i t i o n a l l ys t a b l eb ya n a l y s i s t h eb a s i ci d e ao f t h em c t h o d si st h a tt h eg r i dp o i n t so nt h es m et i m el e v e la r ed i v i d 酣i n t oan u m b e r o fg r o u p s ,t h ed i f f e r e n c ee q u a t i o n so fe a c hg r o u pc a nb es o l v e di n d e p e n d e n t l y , h e n c e t h e s em e t h o d sw i t hi n t r i n s i cp a r a l l e l i s mc b eu s e dd i r e c t l yo i lp a r a l l e lc o m p u t e r t h e n u m e r i c a le x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h e s em e t h o d sh a v eg o o ds t a b i l i t ya n da c c u r a c y i nc h a p t e rt w o ,ag r o u po fa s y m m e t r i cd i f f e r e n c es c h e m e st oa p p r o a c ht h ek d v e q u a t i o ni sg i v e nh e r e t h e s es c h e m e sa x eb a s e do nt h o s ef o rc o n v e c t m n a la n dd i s p e r s i v e t e r m s u s i n gt h es c h e m e sa n dt h es y m m e t r i cc r a n k - n i c o l s o nt y p es c h e m e ,t h ep a r c e l a l t e r n a t i n gd i f f e r e n c es c h e m ef o rs o l v i n gt h ek d ve q u a t i o ni sc o n s t r u c t e d t h em e t h o d i su n c o n d i t i o n a l l ys t a b l eb ya n a l y s i so f l i n e a r i z a t i o np r o c e d u r e a n dc a nb eu s e dd i r e c t l y o l lt h ep a r a l l e lc o m p u t e r t h en u m e r i c a le x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h em e t h o dh a sg o o d s t a b i l i t ya n d c u r a c y k e yw o r d si b u r g e r s e q u a t i o n ,k d ve q u a t i o n ,h o p f - c o l et r a n s f o r m a - t i o n ,a l t e r n a t i n gg r o u ps c h e m e ,s a u l y e vt y p ea s y m m e t r i c ,s t a b i l i t y 引言 当代科学技术的发展对大规模科学与工程计算的需求是无止境的在科学与 工程的广泛领域内都提出了大型科学计算的问题,这些问题的解算需要在高性能 并行计算机或向量计算机上进行为了应用并行计算机完成规模尽可能大的科 学与工程计算任务,需要研究求解问题的并行算法,使计算机的性能得到充分利 用3 0 年来,随着并行计算机和向量计算机的出现和发展,并行算法这个新兴 学科正在迅速的崛起区别于单指令流单数据流计算机,使用并行机需要研究和 发展并行算法这种新。技法”传统的计算方法正在经历着深刻的变革,迫切地 需要并行化和向量化 本文第一部分研究一维b u r g e r s 方程b l t r g e r s 方程曾被j m b u r g e r s 1 】作为 流体一类运动现象的数学模型加以研究,且方程本身具有n 枷s t o k 【2 ,3 l 方程 的一些性质,可以看作n a v i e r - s t o k c s 方程的简单模型方程,又可以代表浅水波问 题的洪水数学模型,而且也是当代交通流动力学的模型,通常称之为非线性输运 一扩散方程因此,它的求解方法具有实用意义,一直为人们所关注 许多作者 4 - i i 】利用基于有限差分法,有限元法和边界元法等数值求解方法 来解b u r g e r s 方程,但这些算法中,显式算法受到严格的稳定性条件的限制,而隐 式算法虽不受上述条件的限制,却要求解大型稀疏非线性方程组,故这些算法均 不适合于并行机和向量机上实现这里,我们主要讨论b u r g e r s 方程的适合于并行 计算机上使用的具有并行本性的数值方法关于并行算法方面的研究,文【1 2 ,1 3 】 针对扩散方程和对流扩散方程设计了一类有并行本性的a g e 和a g e - i 方法,文 i l4 】还把a s c - n 方法用于求解扩散方程,文f 5 , 1 5 ,1 6 】分别对b u r g e r s 方程给出了 a g e 格式文【1 7 】建立了交替分段显格式,文【18 】构造了交替分段显隐格式,文 【19 l 引进了高精度的交替分段隐格式,文【2 0 】利用第二类s a u l ,y e v 型非对称格式 给出了解扩散方程的交替分组四点方法本文利用h o p f - c o l e 变换【2 0 ,2 1 】,将一 维非线性b u r g e r s 方程转化为线性扩散方程,基于第二类s a u l ,y e v 型非对称格式 和c r a n k - n i c o l s o n 格式对扩散方程进行差分离散,先后建立了解b u r g e f s 方程的 交替分段四点差分格式和交替分段六点差分格式,并讨论了方法的稳定性,给出 了数值算例这两种算法把剖分节点分成若干组,在每组上构造能够独立求解的 差分方程。因此具有并行本性,适合在高性能多处理器的并行计算机上使用数 值试验的结果表明此方法是有效的,且有较高的精度 本文第二部分研究k o r t e w e g - d ev r i e s 方程众所周知,k d v 方程可用来描 述很多诸如等离子体动力学中的波动现象等物理现象在非线性波及孤立子理论 的物理问题中,k d v 方程占有相当重要的位置,对此方程数值解法的研究已经 受到人们的广泛关注,许多专家学者在这方面已做了不少工作 2 2 - 2 5 】针对这类 问题,本文以k d v 方程的对流项、色散项的非对称差分格式为基础,给出了一 组逼近k d v 方程的非对称差分格式,并用这组格式和对称的c r a n k - n i c o l s o n 型 格式构造了求解k d v 方程的并行交替分段差分隐格式文章还证明了所给算法 线性绝对稳定,能直接在并行计算机上使用数值试验表明,该方法使用简便, 稳定性好,有很好的精度 2 第一章一维b u r g e r s 方程的交替分段并行算法 本章利用h o p c o l e 变换,将一维非线性b u r g m 方程转化为线性扩散方程, 基于第二类s a u l y 型非对称格式和c r n k _ n i c o l s 格式对扩散方程进行差分离 散,建立了两种解b u r g h s 方程的交替分段并行差分格式,并讨论了方法的稳定 性,给出了数值算例此算法把剖分节点分成若干组,在每组上构造能够独立求 解的差分方程,因此具有并行本性,适合在高性能多处理器的并行计算机上使 用数值试验的结果表明此方法是有效的,且有较高的精度 1 1 几种基本格式 考虑如下一维b u r g e m 方程初边值l 可题: u t + u u z = 讹z 2 u ( o ,0 ) = ( 。) u ( o ,t ) = 0 ,u ( b ,t ) o $ 0 a 0 是运动粘性系数,( z ) 是给定的函数 利用h o p f - c o l e 变换 n 一知鲁 可将问题( 1 1 1 ) 变换为如下初边值问题; f 忙儿, “ o 以( m t ) = 以( 6 ,t ) = 0 , t 0 ( 1 1 2 ) 【坼,= 唧( 一刍r 似,甸,a x 0 ,由式( 1 2 2 1 ) ,( 1 2 2 2 ) 以及( 1 3 2 1 ) 定义的交替分 段差分方法绝对稳定 1 5 数值实验 令( n ,6 ) = ( 0 ,1 ) ,取初值 ( z ,0 ) = 庐( z ) = 咖( ) ,则 ,0 ) = e x p ( 一丽1 ( 一c o s ( 删) 利用变量分离法,不难求出问题( i i 2 ) 的解为, o o 口( z ,t ) = c 0 + e 。e 印( 一n 2 2 u t ) 。o s ( ,l ) ,= l 其中傅立叶系数为: 咖2 j ( e x p 一( 斯t 圹1 f l 一) 1 出, ,j h = 2 e x p 一( 2 丌u ) 一1 【l c o s ( 7 r z ) 】c o s ( n 霄z ) 出 利用h o p f - c o l e 变换,就可得到问题( i i 1 ) 的真解; m 。唧( 一铲 r 2 优) s i n ( n w ) u ( z ,0 = 2 j 三广一 a o + “e 砷( 一舻矿优) c o s ( n 7 r z ) ,= l 对于格式( 1 2 2 1 ) ,取r = 0 0 1 , = 1 4 2 ,”= 0 0 5 进行数值实验数值结果 和解的曲线图分别见表1 ,图l 表1 t = 0 5 时由格式( 1 2 2 1 ) 计算的数值解( u ) ,真解( x 0 ) ,绝对误差( 舢) t a b l e1 t h en u m e r i c ms ,i u t i o i 璩( u ) c m c u l a t e db yf o r m a t ( 1 2 2 1 ) ,e 湖础s o l u t i t m s a n da b s o l u t ee l - l - o r sa tt = 0 5 x i ux 0a b 1 4 2 o 0 2 7 9 7 1o 0 2 7 8 6 91 0 2 4 e 一4 5 4 2 o 1 3 8 90 1 3 9 0 6 1 6 6 8 和一4 9 4 2 0 2 4 8 7 30 2 4 9 1 23 8 4 7 3 e 一4 1 3 4 2 0 3 5 0 4 90 3 5 6 9 64 7 4 3 2 e 一4 1 7 4 2 0 4 6 0 8 60 4 6 1 2 3 3 7 6 0 3 e 一4 2 1 4 2 0 5 5 9 8 2o 5 5 蛳;85 9 7 7 1 e 一5 2 5 4 2 0 6 4 9 70 6 4 9 2 44 6 4 2 4 e 一4 3 2 4 2 0 7 4 9 7 20 7 4 7 9 51 7 6 9 3 e 一3 3 7 4 2 0 6 3 3 9 lo 6 3 1 1 7 2 7 4 2 9 e - 3 4 0 4 2 0 3 2 0 5 50 3 2 1 0 55 0 5 5 3 e 一4 图1 数值解与真解( - ) 的比较图 f 1 胛r ei t h ec 麒n p n 鲫d 1 州p 。枷o f m l m e r i e a | 舯1 1 l q s ( 甜l de x a 付_ t i t l m 8 对于格式( 1 2 2 2 ) ,取r = 0 0 1 ,h = 1 4 4 ,”= 0 i 进行数值实验数值结果和 解的曲线图分别见表2 ,图2 表2 t = 0 5 时由格式( 1 2 2 2 ) 计算的数值解( 矿) ,真解( x 0 ) ,绝对误差( m ) t a b l e2 t h en u m e r i c a ls o l u t i o n s ( u 】c a l m f l a t e db yf o r m a t ( 1 2 2 2 ) ,e x a c ts o l u t i o n s a n da b s o l u t e 目t o a tt = o 5 五 vx 0a b 1 4 4 0 0 2 5 3 0 7 0 0 2 5 0 4 22 6 4 4 e 一4 5 4 4 0 1 2 4 7 90 1 2 4 8 l- i ,8 7 4 6 e 一5 0 4 4 0 2 2 2 6 5o 2 2 2 8 92 ,4 6 7 1 e 一4 1 2 4 40 2 9 3 8 80 2 9 4 3 54 6 8 8 3 e 一4 1 6 4 4 0 3 8 4 8 20 3 8 4 9 5 - 1 3 0 5 8 e - - 4 1 7 4 4 0 4 0 6 3 5o 4 0 6 4 37 9 1 2 6 e 一5 2 0 4 40 4 6 7 5 80 4 6 6 8 8 z 0 3 0 0 e - 4 2 5 4 4 0 5 4 9 6 80 5 4 7 0 52 6 2 8 l e 一3 2 9 4 4 0 5 8 4 50 5 7 7 9 26 5 7 6 0 e 一3 3 8 4 4 0 4 2 5 6 70 3 9 6 62 9 0 7 2 e 2 图2 数值解( o ) 与真解( ) 的比较田 、 f i g u r e2 t h ec o m i m n s d i a g r a mo fn u m e r i c a ls o l u t i o n _ ( o ) a n de x a c ts c 4 u t i o n s 对于格式( 1 1 6 ) ,取r = 0 0 1 ,h = 1 6 4 ,1 j = 0 0 5 5 进行数值实验数值结果和 解的曲线图分别见表3 图3 表3 t = 0 5 时由格式( 1 1 6 ) 计算的数值解( u ) ,真解( x 0 ) ,绝对误差( a b ) t a b l e3 t h en u m e r i c a ls o l u t i o n s ( u ) c a l c u l a t e db yf o m t ( 1 ,3 2 1 ) ,e x a c ts o l u t i o n s a n da b s o l u t e , e r r o r sa tt = 0 5 玛 ux 0a b 3 6 40 ( ) f ;2 1 6 60 0 5 4 5 7 5 7 6 p 一3 8 6 4 0 1 4 8 3 6 0 1 4 5 2 3 3 1 c 一3 1 3 6 4 0 2 3 5 5 0 2 3 5 0 4 4 6 e 一4 1 8 6 4 0 3 2 6 3 40 3 2 3 42 9 e - 3 2 4 6 4 0 4 2 8 3 50 4 2 6 4 2 1 9 c 一3 3 0 6 4 0 5 2 6 1 20 5 2 4 3 8 1 7 e 一3 4 0 6 4 0 ,6 7 9 5 5 80 6 7 8 8 2 7 6 f 一4 4 8 6 4 0 7 3 5 8 80 7 2 8 1 8 7 7 c 一3 6 4 6 4 0 6 7 1 5 30 6 7 1 8 1- 2 ,8 e - 4 6 2 6 4 0 2 0 1 5 90 1 9 6 7 6 4 8 p 一3 图3 数值解( o ) 与真解( ) 的比较图 f i g u r e3 t h ec o m p a r l b o nd i a g r a mo fn u m e r i c a l l u t i s ( o ) a n de x a c td u t i o 第二章一维k d v 方程的交替分段并行方法 本章针对k d v 方程,给出了一组新的非对称差分格式,并用这些非对称格 式和对称的c r a n k - n i c o l s o n 型格式设计了一类并行交替分段差分格式该算法具 有并行本性,可以直接在并行计算机上使用,经证明,此算法绝对稳定最后本 章给出了数值箅例 考虑下面的k d v 方程s 2 1 格式的建立 毗+ e t n b + 黜g = 0 ,一口 z o ,0 t t( 2 1 1 ) 初始条件和边界条件是 乜( z ,0 ) = ,( z ) , 一d z 口 ( 2 1 2 ) u ( - a ,t ) = u ( a ,t ) = o ,o t 0 ,由式( 2 2 2 1 ) ,( 2 2 2 2 ) 定义的交替分段差分方法绝 对稳定 2 4 数值试验 为了检验我们构造的交替分段并行算法的精度和稳定性,我们对问厨( 2 1 1 ) 一 ( 2 1 3 ) 选取下面的模型问题 令( 一口,a ) 一( 一7 5 ,7 5 ) ,在= 一6 ,p = 1 的情况下,取k d v 方程的初值 ( 毛0 ) = 一2 s e c h 2 ( z ) ,则问题( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 的真解为: t 0 ,t ) = 一2 s e t h 2 ( x 一4 0 对于格式( 2 2 2 1 ) ,取r = 0 0 0 1 h = 1 l o l 进行数值实验数值结果和解的 曲线图分别见表4 ,图4 表4 = o 0 2 时由恪式( 2 2 2 1 ) 计算的数值解( 厂) :真解( z 0 ) ,绝对误差( a b 】 t a b l c4 t h cn u m c r i c a ls o l u t i o n s ( u ) c a l c u l a t c db yf o r m a t ( 1 2 2 1 ) ,c x a c ts o l u t i o n s a n da b s o l u t cc l t o sa tt = 0 0 2 五 u x 0a b l o l o l 一3 2 2 8 7 53 1 0 3 0 e - 5 一1 2 5 6 8 e 一6 2 0 1 0 1 - 6 2 1 3 2 e - 4- 6 2 3 1 6 e _ 41 8 3 2 0 e 一6 3 0 1 0 10 0 1 2 40 0 1 2 5 7 4 5 6 1 e 一5 4 0 1 0 1 0 2 3 一0 2 3 6 3 3 3 e 一3 5 0 l m 1 9 5 6 6- 1 8 9 7 85 8 8 e 一2 6 0 1 0 1 o 5 1 0 3- 0 5 4 2 1 3 1 鼬一2 7 0 1 0 1 - 0 0 3 1 0一o 0 3 1 21 9 1 8 2 e - 4 8 0 l o l o 0 0 1 60 0 0 1 61 0 3 0 8 e 一5 9 0 1 0 1 7 6 8 4 6 e - 57 7 8 6 2 卜51 0 1 5 6 e 一6 1 0 0 1 0 1 1 9 7 7 6 e - 63 8 7 6 6 e - 61 8 9 9 0 e - 6 图4 数值解一) 与真解( - ) 的比较囝 f i g u r e4 t h ec o l a p e l l j s o nd i , 噼a mo fu u m e r i t 丑s o | u t i o n s ( o ) 缸l d 瞄【a “s o l u t i o a s 对于格式( 2 2 2 2 ) ,取r = 0 0 6 1 ,h = 1 1 0 6 进行数值实验数值结果和解的 曲线图分别见表5 ,图5 表5 t = o 0 1 时由格式( 2 2 2 2 ) 计算的数值解( u ) ,真解( z 0 ) ,绝对误差( a 6 ) t a b l e5 t h en u m e r i c a ls o l u t i o n s ( u ) c a l c u l a t e db yf o r m a t ( 2 2 2 2 ) ,e x a c ts o l u t i o n s a n da b s o l u t ee r r o r sa tt = 0 0 1 x u x 0a b l o 1 0 6 3 0 7 6 倍52 9 5 5 9 e - 51 2 0 8 0 e 一6 2 0 1 0 6 5 1 4 1 州- 5 1 4 6 0 e - 44 1 3 0 6 e 一7 3 0 1 0 6 - 0 0 0 8 90 ( 1 ( 1 8 96 3 7 6 0 f 一6 4 0 ,t 1 0 6 0 1 5 1 00 1 5 0 l一8 9 9 1 5 e - 4 5 0 t 1 0 61 - 5 8 2 7 1 5 1 3 9 6 8 7 e 一2 6 0 q 0 6 0 9 4 9 7 一o q s q 8 4 0 l e 一2 7 0 7 1 0 6 0 0 7 5 80 0 7 6 2 4 1 2 9 2 e 一4 8 07 1 0 6一o 0 0 4 50 0 0 4 55 2 4 5 6 e - 6 9 0 1 0 62 5 6 7 b 42 5 6 2 9 卜44 8 8 5 9 ,一7 1 0 0 1 0 6 1 5 5 8 7 e - 51 _ 4 7 2 0 e _ 58 6 6 1 7 e 一7 图5 数值解( o ) 与真解( ) 的比较图 f i g u r e5 t h ec o m p s m o r td j q g r , u mo fu w n t 口- i c a js o l u c i o m a u de x a c tb o l u f l t m s 致谢 三年的研究生生活即将结束,在此我首先感谢尊敬的导师谢树森教授,谢老 师在科研和工作上勤奋好学、踏实严谨;在教学上,认真负责、谆谆教导,在生 活上正直无私、热情待人,做谢老师的学生使我受益终生,是我一生的财富同 时,我也感谢朴大雄教授刘新国教授曹圣山教授,白锦东教授,赵元章教授、 刘珑珑副教授,吕老师,以及系办公室齐主任和姜老师,他们在学习与生活上都 给了我莫大的关心与帮助我还要感谢这三年来周围的同学在我学习和论文写作 中给予的帮助最后感谢这三年来所有关心和帮助过我的朋友和我的家人 作者再次向他们表示衷心的感谢! 参考文献 f l jj m b , t r g ( 窖,a 地吐h 蛆a 恤蝴m m c lm l 州眺gt ht l 姒) r yo ft i b 1 1 州q 山瑚h m i c p r ,n e wy o r k1 9 4 8 ,p p 1 7 1 - 1 9 9 f 2 jw f a m e s ,n o n l i n e a rp a r t m ld i f f e r e n t m le q u a t i o n si ne n g i n c e n n g ,a c a d e m a cp r e s s , m wl q , r k 1 9 6 5 【3 lv i k 盯p m 扯,n o n l l n e a xw a v e si nd i s p e r s i v em e d i a ,p e r g a m o np r e s s ,n e wy i r k ,1 9 7 5 【4 】g a d o m i a n e x p l i c i ts o l u t i o n so fn o n l i n e m p a r t i a ld l f f e r e n t i a le q l m t l o n s ,a p p l m a t h c o m p u t 8 8 ( 1 9 9 7 ) 1 1 7 - 1 2 6 1 5 1j c a l d w e l l :pw a n l e s s ,a e c o o k ,af i n i t ed e m e n ta p p r o a c h t ob u r g e r s e c l t m t i o n ,a p p l m a t h m o d d l i n g5 ( 1 9 8 1 ) 1 8 9 - 1 9 3 。 f 6 】dj e v a n s ,a 1 la b d 岫t h eg r o u pe x p l i c i tm e t h o df o rt h es o l u t i o no fb u r g e r s e q u a t i o n ,c o m p u t i n g3 2 ( 1 9 8 4 ) 2 3 9 - 2 5 3 1 7 】y c h o n ,x z m a o ,a ne 伍a e n tn u m e r i c ms c h e m ef o rb u r g e r s 。e q u a t i o n ,a p p l m a t h c o m p u t 9 5 ( 1 9 9 8 ) 3 7 - 5 0 【8 】e l m i l l e r ,p r e d i c t o r c o r r e c t o r s m d i e s o f b u r g e r 8 m o d e l o f t u r b u l e n t f l e w ,m s t h e s i s , u n i v e r s i wo fd e l n ,n e w a r k ,d e l a w a r e ,1 9 6 6 【9 】rc m i t t a l ,ps i g h h a l ,n u m e r i c a ls o l u t i o no fb u r g e r se q u a t m n ,c o m m n u m e f m e t h e n g 9 ( 1 9 9 3 ) 3 9 7 - 4 0 6 【1 0 jt o z i 5 ,a 6 z d 船,a d i r e c tw r i a t i o n a lm e t h o d sa p p l i e dt ob u r g e r s e q 姐t i o n j c o m p u t a p p l m a t h 7 1 ( 1 9 9 6 ) 1 6 3 - 1 7 5 f l i 】nj e v a n j ,a b d u l l s ha 免b g r o u pe x p l i c i tm e t l i o d sf o rp a r a b o l i ce q u a t i o n sm i n t e r n jc o m p u t e tm a t h ,1 9 8 3 ,1 4 :7 3 - 1 0 5 f 1 2 z h a n gb a o l i n s ux i u m i n a l t e r n a t i n gb l o c ke x p l i ( f i t - i m p l i c i tm e t h o df o rt w o - d i m e n s i o n m d i 如髓o ne q u a t i o n 闭i n t e r njc o m p u t e rm 地1 9 9 1 ,3 8 :2 4 1 2 5 5 【1 3 lz h a u gb a o l i n ,l i w o h 1 o na t e r n a t n gm 掣n tc r a n k - n i c o b w ms c h e m e , p a r a l l e l c o m p u t i n g ,1 9 9 4 ,2 0 :8 9 7 - 9 0 2 1 1 4 ldje v a n s ,m s s a h i m i t h e n u m e x i c a ls o l u t i o n o f b u r g e r s e q u a 廿o n s b y t h e a k e r n a t i n g g r o u pe x p l i c i t ( a g e ) m e t h o d 闭i m c r njc o m p u t e rm a h ,2 9 :3 9 - 6 4 【1 5 1 陆金甫,张宝琳。徐涛二维b u r g e t x 方程的a g e 方法与并行计算娜计算物理, 1 9 9 8 ( 2 ) :2 2 5 - 2 3 3 1 6 】e h o p l t h ep a t = i a j l i i 伍n l = 砒e q u a t i o n + u u z = t t u z # ,蛐t h e r e a p p l ,m 8 t h ,1 9 5 0 ,3 :2 0 1 - 2 3 0 【17 】曾文平b u r g e r s 方程的a g e 与a d e 方法比较华侨大学学报,2 0 0 0 ,2 1 ( 2 ) : 1 1 6 - 1 2 0 【1 目陆金甫,张宝琳。徐涛求解对流一扩散方程的交替分段显隐式方法数值计算与 计算机应用,1 9 9 8 1 9 ( 3 ) :1 6 1 - 1 6 7 f 1 9 w a n g , w a - q l a ap a r a l l e lc o m p u t i n gm e t h o d6 b u r g e r se q u a t i o n 闭c ”f l l n e s ej o u r n a l o fc o m p ut a t l o n a lp h y s l a ,2 0 0 1 ,1 8 ( 5 ) :3 8 5 - 3 8 9 【2o j 土文洽,靳聪明求解扩散方程的一类交替分组四点方法【j 】计算物理,2 0 0 2 ,1 9 ( 6 ) :5 3 2 - 5 3 6 【2 1

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