高三数学一轮复习 5.5数列的综合问题课件.ppt

备考方向要明了 考什么 怎么考 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系 并能用相关知识解决相应的问题 考查数列与函数 不等式 解析几何的综合问题 且多以解答题的形式出现 如2012年高考t20 2011年高考t13 t20等 归纳知识整合 1 数列综合应用题的解题步骤 1 审题 弄清题意 分析涉及哪些数学内容 在每个数学内容中 各是什么问题 2 分解 把整个大题分解成几个小题或几个 步骤 每个小题或每个 步骤 分别是数列问题 函数问题 解析几何问题 不等式问题等 3 求解 分别求解这些小题或这些 步骤 从而得到整个问题的解答 具体解题步骤如下框图 2 常见的数列模型 1 等差数列模型 通过读题分析 由题意抽象出等差数列 利用等差数列有关知识解决问题 2 等比数列模型 通过读题分析 由题意抽象出等比数列 利用等比数列有关知识解决问题 3 递推公式模型 通过读题分析 由题意把所给条件用数列递推式表达出来 然后通过分析递推关系式求解 探究 银行储蓄单利公式及复利公式分别属于什么模型 提示 单利公式 设本金为a元 每期利率为r 存期为n 则本利和an a 1 rn 属于等差数列模型 复利公式 设本金为a元 每期利率为r 存期为n 则本利和an a 1 r n 属于等比数列模型 自测牛刀小试 1 教材习题改编 已知等差数列 an 的公差为2 若a1 a3 a4成等比数列 则a2 答案 b 2 已知log2x log2y 2成等差数列 则m x y 的轨迹的图象为 填序号 解析 由于log2x log2y 2成等差数列 则有2log2y log2x 2 所以y2 4x 又y 0 x 0 故m的轨迹图象为 答案 3 在如图所示的表格中 如果每格填上一个数后 每一行成等差数列 每一列成等比数列 那么x y z的值为 答案 3 答案 4 等差数列 等比数列的综合问题 例1 在等比数列 an n n 中 a1 1 公比q 0 设bn log2an 且b1 b3 b5 6 b1b3b5 0 1 求证 数列 bn 是等差数列 2 求 bn 的前n项和sn及 an 的通项an 在本例 2 的条件下 试比较an与sn的大小 解答数列综合问题的注意事项 1 要重视审题 善于联系 将等差 等比数列与函数 不等式 方程 应用性问题等联系起来 2 对于等差 等比数列综合问题 应重点分析等差 等比数列的通项 前n项和以及等差 等比数列项之间的关系 往往用到转化与化归的思想方法 1 2013 青岛模拟 已知等差数列 an 的公差大于零 且a2 a4是方程x2 18x 65 0的两个根 各项均为正数的等比数列 bn 的前n项和为sn 且满足b3 a3 s3 13 1 求数列 an bn 的通项公式 数列与函数的综合应用 解决函数与数列的综合问题应该注意的事项 1 数列是一类特殊的函数 它的图象是一群孤立的点 2 转化以函数为背景的条件时 应该注意题中的限制条件 如函数的定义域 这往往是很容易被忽视的问题 3 利用函数的方法研究数列中的相关问题时 应准确构造相应的函数 注意数列中相关限制条件的转化 1 求 的值 数列与不等式的综合应用 例3 2012 广东高考 设数列 an 的前n项和为sn 满足2sn an 1 2n 1 1 n n 且a1 a2 5 a3成等差数列 1 求a1的值 2 求数列 an 的通项公式 自主解答 1 当n 1时 2a1 a2 4 1 a2 3 当n 2时 2 a1 a2 a3 8 1 a3 7 又a1 a2 5 a3成等差数列 所以a1 a3 2 a2 5 由 解得a1 1 2 由题设条件可知n 2时 2sn an 1 2n 1 1 2sn 1 an 2n 1 得2an an 1 an 2n 1 2n 即an 1 3an 2n 整理得an 1 2n 1 3 an 2n 则 an 2n 是以3为首项 3为公比的等比数列 所以an 2n a1 2 3n 1 3n 即an 3n 2n n 1 又a1 1满足上式 故an 3n 2n 数列与不等式相结合问题的处理方法解决数列与不等式的综合问题时 如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法 如比较法 综合法 分析法 放缩法等 如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法 如列表法 因式分解法 穿根法等 总之这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了 1 求数列 bn 的前n项和sn 数列与不等式的综合应用 例4 2012 湖南高考 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产 该企业第一年年初有资金2000万元 将其投入生产 到当年年底资金增长了50 预计以后每年资金年增长率与第一年的相同 公司要求企业从第一年开始 每年年底上缴资金d万元 并将剩余资金全部投入下一年生产 设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元 1 用d表示a1 a2 并写出an 1与an的关系式 2 若公司希望经过m m 3 年使企业的剩余资金为4000万元 试确定企业每年上缴资金d的值 用m表示 解决数列实际应用题的方法解等差数列 等比数列应用题时 首先要认真审题 深刻理解问题的实际背景 理清蕴含在语言中的数学关系 把应用问题抽象为数学中的等差数列 等比数列问题 使关系明朗化 标准化 然后用等差数列 等比数列知识求解 这其中体现了把实际问题数学化的能力 即数学建模能力 4 某市2010年新建住房400万平方米 其中有250万平方米是中低价房 预计在今后的若干年内 该市每年新建住房面积平均比上一年增长8 另外 每年新建住房中 中低价房的面积均比上一年增加50万平方米 那么 到哪一年底 1 该市历年所建中低价房的累计面积 以2010年为累计的第一年 将首次不少于4750万平方米 2 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比较首次大于85 参考数据 1 084 1 36 1 085 1 47 1 086 1 59 2 设新建住房面积形成数列 bn 由题意可知 bn 是等比数列 其中b1 400 q 1 08 则bn 400 1 08 n 1 由题意可知an 0 85bn 有250 n 1 50 400 1 08 n 1 0 85 当n 5时 a50 85b6 即满足上述不等式的最小正整数n为6 故到2015年底 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85 等比数列中处理分期付款问题的注意事项 1 准确计算出在贷款全部付清时 各期所付款额及利息 最后一次付款没有利息 2 明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所生的利息之和 等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和 只有掌握了这一点 才可顺利建立等量关系 1 数列与解析几何结合时注意递推 2 数列与不等式相结合时注意对不等式进行放缩 3 数列与函数相结合时主要考查函数的思想及函数的性质 多为单调性 创新交汇 数列的新定义问题1 数列题目中有时定义一个新数列 然后根据定义的新数列所具备的性质解决有关问题 2 解决新情境 新定义数列问题 首先要根据新情境 新定义进行推理 从而明确考查的是哪些数列知识 然后熟练运用归纳 构造 正难则反 分类与整合等方法进行解题 典例 2011 北京高考 若数列an a1 a2 an n 2 满足 ak 1 ak 1 k 1 2 n 1 则称an为e数列 记s an a1 a2 an 1 写出一个满足a1 a5 0 且s a5 0的e数列a5 2 若a1 12 n 2000 证明 e数列an是递增数列的充要条件是an 2011 3 对任意给定的整数n n 2 是否存在首项为0的e数列an 使得s an 0 如果存在 写出一个满足条件的e数列an 如果不存在 说明理由 解 1 0 1 2 1 0是一个满足条件的e数列a5 答案不唯一 0 1 0 1 0也是一个满足条件的e数列a5 2 必要性 因为e数列an是递增数列 所以ak 1 ak 1 k 1 2 1999 所以an是首项为12 公差为1的等差数列 所以a2000 12 2000 1 1 2011 充分性 由于a2000 a1999 1 a1999 a1998 1 a2 a1 1 所以a2000 a1 1999 即a2000 a1 1999 又因为a1 12 a2000 2011 所以a2000 a1 1999 故ak 1 ak 1 0 k 1 2 1999 即an是递增数列 综上 结论得证 3 令ck ak 1 ak k 1 2 n 1 则ck 1 因为a2 a1 c1 a3 a1 c1 c2 1 本题具有以下创新点 1 本题为新定义问题 命题背景新颖 2 命题方式创新 既有证明题 也有探究性问题 同一个题目中多种方式相结合 2 解决本题要注意以下几个问题 对于此类压轴型新定义数列题 首先要有抢分意识 得一分是一分 多尝试解答 仔细分析 认真翻译 其次 要有运用数学思想方法的意识 如构造 分类等 第 1 问中e数列a5的首尾都是0 则必须先增后减或先减后增 或者摆动 第 2 问条件在后边 因此 前推后是证明条件的必要性 不可颠倒 前推后比较容易 应该先证明 第 3 问和第 1 问相呼应 所以在推理时要善于前后联系 善于发现矛盾 从而找到解决问题的突破口 1 已知数列 an a1 a2 a3 an 如果数列 bn b1 b2 b3 bn满足b1 an bk ak 1 ak bk 1 其中k 2 3 n 则称 bn 为 an 的 衍生数列 若数列 an a1 a2 a3 a4的 衍生数列 是5 2 7 2 则 an 为 若n为偶数 且 an 的 衍生数列 是 bn 则 bn 的 衍生数列 是 解析 由b1 an bk ak 1 ak bk 1 k 2 3 n可得 a4 5 2 a3 a4 7 解得a3 4 又7 a2 a3 2 解得a2 1 由 2 a1 a2 5 解得a1 2 所以数列 an 为2 1 4 5 由已知 b1 a1 a1 an b2 a1 a2 b1 a2 a1 an 因为n是偶数 所以bn an 1 n a1 an a1 设 bn 的 衍生数列 为 cn 则ci bi 1 i b1 bn ai 1 i a1 an 1 i b1 bn ai 1 i a1 an 1 i an a1 ai 其中i 1 2 3 n 则 bn 的 衍生数列 是 an 答案 2 1 4 5 an 2 2012 上海高考改编 对于项数为m的有穷数列 an 记bk max a1 a2 ak k 1 2 m 即bk为a1 a2 ak中的最大值 并称数列 bn 是 an 的控制数列 如1 3 2 5 5的控制数列是1 3 3 5 5 1 若各项均为正整数的数列 an 的控制数列为2 3 4 5 5 写出所有的 an 2 设 bn 是 an 的控制数列 满足ak bm k 1 c c为常数 k 1 2 m 求证 bk ak k 1 2 m 解 1 数列 an 为 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 2 3 4 5 3 2 3 4 5 4 2 3 4 5 5 2 证明 因为bk max a1 a2 ak bk 1 max a1 a2 ak ak 1 所以bk 1 bk 因为ak bm k 1 c ak 1 bm k c 所以ak 1 ak bm k 1 bm k 0 即ak 1 ak 因此 bk ak 1 求数列 an