高中数学 331、2 两条直线的交点坐标、两点间的距离课件 新人教A版必修2.ppt

3 3直线的交点坐标与距离公式 3 3 1两条直线的交点坐标3 3 2两点间的距离 一 阅读教材p102 105回答1 已知两条直线的方程分别是l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0 如果l1与l2相交且交点为p x0 y0 则p点的坐标应满足方程组 如果p点的坐标是方程组 的惟一解 则p点是直线l1与l2的 因此 两条直线是否有交点 就要看方程组 是否有解 当方程组 有无穷多个解时 说明直线l1与l2当方程组无解时 说明直线l1与l2 交点 惟一 平行 重 合 2 已知两直线l1 y k1x b1和l2 y k2x b2 1 若l1与l2相交 则k1k2 2 若l1 l2 则k1k2 b1b2 3 若l1与l2重合 则k1k2 b1b2 在横线上填 或 3 已知直线l1 a1x b1y c1 0和l2 a2x b2y c2 0 a1b1c1 0 a2b2c2 0 5 用坐标法解决几何问题的步骤是 第一步建立直角坐标系 第二步用坐标表示相关的量进行有关代数运算 第三步把代数运算结果 翻译 成几何关系 二 解答下列问题1 直线l1 x y 1 0 l2 x y 3 0 l1与l2的交点坐标为 2 直线l1 y kx 3与l2 x y b 0相交于点a 1 0 则k b 3 过点 1 2 与直线y 2x 3平行的直线方程为 4 两点a 1 2 b 3 1 的距离为 5 直线ax 2y 1 0与直线2x 3y 1 0垂直 则直线x ay 2a 3 0在y轴上的截距为 1 2 4 2x y 4 0 1 本节学习重点 两条直线的位置关系及两点间距离公式 本节学习难点 含字母系数时两直线位置关系的讨论 两点间距离公式的推导 1 利用二元一次方程组的系数关系判断解的情况或直线的交点个数时 应注意系数为零的情况 2 经过两相交直线l1 a1x b1y c1 0和l2 a2x b2y c2 0的交点的直线可表示为a1x b1y c1 a2x b2y c2 0 不表示l2 r 此结论反过来也成立 用它求经过两直线交点的直线方程时 避免了繁杂的计算 3 两点间距离公式的推导采用的构造三角形的方法 由于平行于坐标轴的线段长易求 因此构造了直角三角形p2qp1 从而推导出 p1p2 的距离公式 例1 求经过点 2 3 且经过两条直线l1 x 3y 4 0 l2 5x 2y 6 0交点的直线方程 解析 解方程组 点评 上述解法是一般求解方法 也可设所求直线为 x 3y 4 5x 2y 6 0 过两直线l1 x 3y 4 0和l2 2x y 5 0的交点和原点的直线的方程为 a 19x 9y 0b 9x 19y 0c 19x 3y 0d 3x 19y 0 答案 d 点评 1 解出交点坐标x y以后 可将x y值代入各选项检验 或用两点式写出方程即可 例2 已知点a 1 2 b 3 4 c 5 0 求证 abc为等腰三角形 已知点a 3 6 在x轴上的点p与点a的距离等于10 则点p的坐标为 答案 5 0 或 11 0 分析 设出点p的坐标 根据两点间距离公式 列方程求解 例3 k为何值时 直线l1 y kx 3k 2与直线l2 x 4y 4 0的交点在第一象限 点评 直线l1 y k x 3 2过定点a 3 2 故讨论两直线交点在第一象限可用数形结合法 如图 l2 x 4y 4 0与坐标轴交点b 0 1 c 4 0 满足条件时 kac k kab 已知直线l1 x my 6 0 l2 m 2 x 3y 2m 0 试求m为何值时 l1与l2 1 重合 2 平行 3 垂直 4 相交 解析 当l1 l2 或重合 时 a1b2 a2b1 1 3 m 2 m 0 解得m 3或m 1 1 当m 3时 l1 x 3y 6 0 l2 x 3y 6 0l1与l2重合 2 当m 1时 l1x y 6 0 l2 3x 3y 2 0 l1 l2 3 当l1 l2时 a1a2 b1b2 0 4 m 3且m 1时 l1 l2相交 点评 要注意表达的准确性 xy 0时 有x 0或y 0 xy 0时 有x 0且y 0 例4 若某种产品在市场上的需求数量q与价格p之间的关系为p 3q 5 0 供应数量q与价格p之间的关系为p 2q 25 0 单位分别是 万件 和 万元 试求市场的供需平衡点 即供应量和需求量相等的点 解析 由已知 需求线和供应线的方程分别为p 3q 5 0 p 2q 25 0 它们的图像都是直线 如下图所示 在经济工作中 习惯上以横轴表示数量 纵轴表示价格 供应线与需求线的交点 就是市场供需平衡点 此点的坐标可由方程组 即当供应数量和需求数量都是4万件时 市场达到供需平衡 此时每万件商品价格为17万元 总结评述 一般来说 当供应量大于需求量时 价格将要下跌 供应量小于需求量时 价格可能上涨 这就是所谓的供求律 a b两个厂距一条河分别为400m和100m a b两厂之间距离500m 把小河看作一条直线 今在小河边上建一座提水站 供a b两厂用水 要使提水站到a b两厂铺设的水管长度之和最短 问提水站应建在什么地方 分析 这是一个对称问题 点a关于河的对称点a 与点b的连线 交小河于点p 则 pa pb pa pb 此点即为所求 证明略 解析 如右图 以小河所在直线为x轴 过点a的垂线为y轴 建立直角坐标系 则点a 0 400 过点b作bc ao于点c 在 abc中 ab 500 ac 400 100 300 由勾股定理得bc 400 b 400 100 故提水站 点p 在距o点320m处 如右图 时 到a b两厂的水管长度之和最短 例5 abd和 bce是在直线ac同侧的两个等边三角形 用坐标法证明 ae cd 已知ao是 abc的边bc的中线 证明 ab 2 ac 2 2 ao 2 oc 2 证明 取bc边所在直线为x轴 边bc的中点o为原点建立直角坐标系如图 设b a 0 c a 0 a m n 其中a 0 则 ab 2 ac 2 m a 2 n2 m a 2 n2 2 m2 a2 n2 ao 2 oc 2 m2 n2 a2 ab 2 ac 2 2 ao 2 oc 2 总结评述 用解析法 坐标法 解决几何问题的一个关键环节 就是建立恰当的平面直角坐标系 建系的原则是 1 若题目中出现一个定点 常以定点为原点建立直角坐标系 2 若已知两定点 常以两定点的中点 或其中一个点 为原点 两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系 3 若已知两条互相垂直的定直线 则以它们为坐标轴建立直角坐标系 4 若已知一定点和一定直线 常以定点到定直线的垂线段的中点为原点 该垂线段所在直线为x轴建立直角坐标系 或以该定点向定直线作垂线的垂足为原点 定直线为x轴建立直角坐标系 5 若已知定角 常以定角的顶点为原点 定角的角平分线为x轴建立直角坐标系 6 建系时要使尽可能多的点落在坐标轴上 或充分利用图形的对称性 例6 已知直线l kx y 1 2k 0 k r 求证 直线l过定点 分析 该直线方程表示一族直线 过同一定点 求直线系的定点可用分离参数法或赋值法 解析 将直线变形为 y 1 k x 2 由点斜式方程知 不论k为何值 直线l过定点 2 1 设直线l1 a1x b1y c1 0与l2 a2x b2y c2 0相交于p点 求证 方程a1x b1y c1 a2x b2y c2 0 r 表示过l1与l2交点p的直线 证明 设p点坐标为 x0 y0 由题意 a1x0 b1y0 c1 0 a2x0 b2y0 c2 0 a1x0 b1y0 c1 a2x0 b2y0 c2 0 即曲线 a1x b1y c1 a2x b2y c2 0过p点 直线l1与l2相交 a1b2 a2b1 0 原方程可变形为 a1 a2 x b1 b2 y c1 c2 0 a1b2 a2b1 0 a1 a2与b1 b2不同时为0 否则将有a1b2 a2b1 0 原方程表示过p点的直线 总结评述 本例给出的方程习惯上称作直线系方程 在一个直线方程中含有一个参数如 当 变化时 直线也变化 但无论 怎样变化 得到的所有直线都具有某种性质 如平行 过定点等 这样的直线系我们已学过的有 1 平行直线系与ax by c 0平行的直线ax by c1 0 c1 c 与ax by c 0垂直的直线bx ay c1 0 与直线y kx b平行的直线y kx b1 b1 b 2 中心直线系过定点p x0 y0 的直线y y0 k x x0 不包括垂直于x轴的直线 过两直线a1x b1y c1 0与a2x b2y c2 0交点的直线a1x b1y c1 a2x b2y c2 0 不包括第二条直线 一 选择题1 若两直线kx y 1 0和x ky 0相交 且交点在第二象限 则k的取值范围是 a 1 0 b 0 1 c 0 1 d 1 答案 a 2 过直线2x y 4 0与x y 5 0的交点 且平行于直线x 2y 0的直线的方程是 a x 2y 11 0b 2x y 1 0c x 2y 8 0d 2x y 8 0 答案 a 3 已知a 1 0 b 1 0 c 0 则 abc的形状为 a 等腰三角形b 直角三角形c 钝角三角形d 等边三角形 答案 d 解析 ab bc ac 2 abc为等边三角形 故选d 二 填空题4 直线ax 3y 1