高中数学 431、2 空间直角坐标系、空间两点间的距离公式课件 新人教A版必修2.ppt

4 3空间直角坐标系 4 3 1空间直角坐标系4 3 2空间两点间的距离公式 1 以点o为坐标原点 建立三条两两互相垂直的数轴轴 轴 轴 这时称建立了一个空间直角坐标系o xyz 教材中所用的坐标系都是 其规则是 2 数轴ox上点m用实数x表示 直角坐标平面上的点m用一对有序实数表示 建立空间直角坐标系后 空间的点m可用有序实数组表示 右手直角坐标系 让右手拇指指向x轴正方向 食指指向y轴正方向 则中指能指向z轴正方向 x y x y z x y z 3 空间内两点m x1 y1 z1 n x2 y2 z2 则 mn 4 在如图的正方体中 已标出了原点 x轴和z轴正向 请画出y轴正向 答案 5 空间两点a 1 0 1 b 2 0 0 之间的距离为 6 在空间直角坐标系中 已知点a 1 0 2 b 1 3 1 点m在y轴上 且m与a与b的距离相等 则m的坐标是 答案 0 1 0 解析 由题意可设m 0 y 0 又 ma mb 本节学习重点 空间直角坐标系的建立 本节学习难点 确定点在空间直角坐标系中的坐标和由坐标确定点的位置 1 空间直角坐标系的建立 1 在数轴上 一个实数就能确定点的位置 在坐标平面上 一对有序实数 x y 才能确定一点的位置 在空间确定一点的位置需要三个实数 如要确定一架飞机在空中的位置 我们不仅要指出地面上的经度 纬度 还需要指出飞机距地面的高度 如下图 oabc d a b c 是单位正方体 以o为原点 分别以射线oa oc od 的方向为正方向 以线段oa oc od 的长为单位长 建立三条数轴 x轴 y轴 z轴 这时我们说建立了一个空间直角坐标系o xyz x轴 y轴 z轴叫做坐标轴 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面 分别称为xoy平面 yoz平面 zox平面 在空间直角坐标系中 三条坐标轴两两互相垂直 轴的方向通常按右手系选择 方法 一 从z轴的正方向看 x轴正半轴沿逆时针方向旋转90 能与y轴的正半轴重合 方法 二 让右手拇指指向x轴正方向 食指指向y轴的正方向 则中指能指向z轴的正方向 方法 三 伸开右手 让四指指向x轴正向 拇指指向z轴正方向 则四指自然弯曲90 就指向y轴的正向 2 在平面上画空间直角坐标系o xyz时 常使 xoy 135 yoz 90 2 空间直角坐标系中 点的坐标的确定如下图 设m为空间一个定点 过m分别作垂直于x轴 y轴 z轴的平面 依次交x轴 y轴 z轴于点p q r 设点p q和r在x轴 y轴和z轴上的坐标分别为x y z 那么点m就对应唯一的有序数组 x y z 记作m x y z 其中x y z也可称为点m的坐标分量 反之 任意三个实数的有序数组 x y z 就能确定空间一个点的位置与之对应 我们可以在x轴 y轴 z轴上依次各取坐标为x y z的点p q r 分别过p q r各作一个平面 分别垂直于x轴 y轴 z轴 这三个平面的唯一交点就是有序实数组 x y z 确定的点m 一般地 确定点p x y z 的位置的方法为 先在xoy平面内 找到点p1 x y 0 和平面直角坐标系找法一样 从p1沿与z轴平行的直线 区分正负 找到点p x y z 与z轴正向相同为正 否则为负 这样 我们就在空间任意一点m与三个有序的实数组 点的坐标 之间 建立起一一对应的关系m x y z 其中x叫做点m的横坐标 也叫点m的x坐标 y叫做点m的纵坐标 也叫点m的y坐标 z叫做点m的竖坐标 也叫点m的z坐标 xoy平面 通过x轴和y轴的平面 是坐标形如 x y 0 的点构成的点集 其中x y为任意实数 yoz平面 通过y轴和z轴的平面 是坐标形如 0 y z 的点构成的点集 其中y z为任意实数 xoz平面 通过x轴和z轴平面 是坐标形如 x 0 z 的点所构成的点集 其中x z为任意实数 x轴是坐标形如 x 0 0 的点构成的点集 其中x为任意实数 y轴是坐标形如 0 y 0 的点构成的点集 其中y为任意实数 z轴是坐标形如 0 0 z 的点构成的点集 其中z为任意实数 坐标轴或坐标平面上的点的坐标特点是 无谁谁为0 3 三个坐标平面把空间分为八部分 每一部分称为一个卦限 在坐标平面xoy上方 分别对应该坐标平面上四个象限的卦限 称为第 第 第 第 卦限 在下方的卦限称为第 第 第 第 卦限 在每个卦限内 点的坐标各分量的符号是不变的 例如在第 卦限内 三个坐标分量x y z都为正数 在第 卦限内 x为负数 y z为正数 4 空间两点间的距离公式设p1 x1 y1 z1 p2 x2 y2 z2 则 例1 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是bb1 d1b1的中点 棱长为1 求e f点的坐标 已知点a在空间直角坐标系o xyz中的坐标为 2 4 3 试建立空间直角坐标系 画出该点的位置 解析 先在x轴上找到表示 2的点 过该点作y轴的平行线 在y轴上找到表示4的点 过该点作x轴的平行线 两直线相交于p点 过p点作z轴的平行线 与z轴负方向同向的方向上截取3个单位 即得a点 例2 已知v abcd为正四棱锥 o为底面中心 ab 2 vo 3 试建立空间直角坐标系 并写出各顶点的坐标 解析 因为所给几何体为正四棱锥 其底面为正方形 对角线相互垂直 故以o为原点 互相垂直的对角线ac bd所在直线为x轴 y轴 ov为z轴建立如图所示坐标系 点评 本题中由于所给几何体是正四棱锥 故建系方法比较灵活 除答案所给方案外 也可以正方形abcd的任一顶点为原点 交于这一顶点的两条边所在直线分别为x轴 y轴建系 如以a为顶点ab ad所在直线分别为x轴 y轴建系 等等 例3 1 已知点a 1 2 11 b 4 2 3 c 6 1 4 则 abc的形状是 a 等腰三角形b 等边三角形c 直角三角形d 等腰直角三角形 2 点b是点a 1 2 3 在坐标平面yoz内的射影 则 ob 等于 答案 9 0 0 或 1 0 0 例4 在平面直角坐标系中 点p x y 的几种特殊的对称点的坐标如下 1 关于原点的对称点是p x y 2 关于x轴的对称点是p x y 3 关于y轴的对称点是p x y 那么 在空间直角坐标系内 点p x y z 的几种特殊的对称点坐标 1 关于原点的对称点是p1 2 关于横轴 x轴 的对称点是p2 3 关于纵轴 y轴 的对称点是p3 4 关于竖轴 z轴 的对称点是p4 5 关于xoy坐标平面的对称点是p5 6 关于yoz坐标平面的对称点是p6 7 关于zox坐标平面的对称点是p7 解析 1 x y z 2 x y z 3 x y z 4 x y z 5 x y z 6 x y z 7 x y z 总结评述 记忆方法 关于谁对称谁不变 其余变相反 如 关于x轴对称的点 横坐标不变 纵坐标 竖坐标变为原来的相反数 关于xoy坐标平面对称的点 横 纵坐标不变 竖坐标变为原来的相反数 设点b是点a 2 3 5 关于xoy坐标面的对称点 则 答案 a 解析 点a 2 3 5 关于坐标平面xoy的对称点是b 2 3 5 解析 据空间点的坐标的确定方法 我们来确定m的横坐标 p q m在xoy坐标平面上的射影为p1 q1 m1 则 pp1 qq1 mm1 m为pq中点 m1为p1q1的中点 又p1 q1 m1在x轴上射影为p2 q2 m2 则 p1p2 q1q2 m1m2 m2为p2q2的中点 由空间点的坐标定义知 p2 q2的横坐标分别为x1 x2 已知a 1 2 1 c与a关于平面xoy对称 b与a关于x轴对称 则b c两点间的距离和bc中点的坐标依次为 答案 4 1 0 1 解析 由已知得c 1 2 1 b 1 2 1 一 选择题1 点a 2 0 3 在空间直角坐标系的位置是 a y轴上b xoy