高考数学一轮复习 第二章 第8讲 函数与方程课件 理 苏教版 .ppt

第8讲函数与方程 考点梳理 1 函数零点的定义一般地 我们把使函数y f x 的值为0的实数x称为函数y f x 的零点 2 几个等价关系方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与 有交点 函数y f x 有 1 函数的零点 x轴 零点 3 函数零点的判定 零点存在性定理 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 那么函数y f x 在区间 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个 也就是f x 0的根 f a f b 0 a b c 2 二次函数y ax2 bx c a 0 零点的分布 对于在区间 a b 上连续不断且 的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点逐步逼近 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 3 二分法 f a f b 0 一分为二 零点 一个复习指导本讲复习时 应充分利用二次函数的图象 理顺三个 二次 的关系 进而把握函数与方程之间的关系 重点解决 1 求函数的零点 2 求方程解的个数 3 根据函数零点情况求解参数的取值范围 另外 函数的零点问题常结合导数来考查 难度较大 助学 微博 零点存在性定理是函数y f x 存在零点的充分不必要条件若函数y f x 在闭区间 a b 上的图象是连续不间断的 并且在区间端点的函数值符号相反 即f a f b 0 则函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使f c 0 这个c就是方程f x 0的根 这就是零点存在性定理 满足这些条件一定有零点 不满足这些条件也不 能说就没有零点 如图 f a f b 0 f x 在区间 a b 上存在零点 并且有两个 解析数形结合求解 答案1 考点自测 2 2013 扬州调研 若函数f x x2 2a x 4a2 3的零点有且只有一个 则实数a 3 2013 泰州学情调查 已知函数f x 3ax 2a 1在区间 1 1 内存在x0 使f x0 0 则实数a的取值范围是 答案 log32 1 5 2012 常州模拟 若函数f x x2 ax b的两个零点是 2和3 则不等式af 2x 0的解集是 2 函数f x 3x 7 lnx的零点位于区间 n n 1 n n 内 则n 考向一判断函数在给定区间上零点的存在性 例1 1 2011 山东卷 已知函数f x logax x b a 0 且a 1 当2 a 3 b 4时 函数f x 的零点x0 n n 1 n n 则n 解析 1 令y1 logax y2 b x 函数f x 的零点就是这两个函数图象交点的横坐标 由于直线y b x在x轴上的截距b满足31 3 4 0 根据函数零点定理可得函数f x 的零点在区间 2 3 内 故n 2 2 求函数f x 3x 7 lnx的零点 可以大致估算两个相邻自然数的函数值 如f 2 1 ln2 由于ln2 lne 1 所以f 2 0 f 3 2 ln3 由于ln3 1 所以f 3 0 所以函数f x 的零点位于区间 2 3 内 故n 2 答案 1 2 2 2 方法总结 判断函数在某个区间上是否存在零点 要根据具体题目灵活处理 当能直接求出零点时 就直接求出进行判断 当不能直接求出时 可根据零点存在性定理 当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断 训练1 1 2010 天津卷改编 函数f x 2x 3x的零点所在的一个区间是 填序号 2 1 1 0 0 1 1 2 答案 1 2 例2 1 2012 大纲全国卷改编 已知函数y x3 3x c的图象与x轴恰有两个公共点 则c 考向二函数零点个数的判断 答案 1 2或 2 2 4 解析 1 f x 3x2 3 3 x 1 x 1 则当x 1或1时 f x 取得极值 f 1 0或f 1 0 即c 2 0或c 2 0 c 2或 2 方法总结 函数零点个数的判断方法 1 直接求零点 令f x 0 如果能求出解 则有几个解就有几个零点 2 零点存在性定理 利用定理不仅要求函数在区间 a b 上是连续不断的曲线 且f a f b 0 还必须结合函数的图象与性质 如单调性 奇偶性 才能确定函数有多少个零点 3 利用图象交点的个数 画出两个函数的图象 看其交点的个数 其中交点的横坐标有几个不同的值 就有几个不同的零点 1 若方程有两根 其中一根在区间 1 0 内 另一根在区间 1 2 内 求m的范围 2 若方程两根均在区间 0 1 内 求m的范围 考向三二次函数的零点分布问题 例3 已知关于x的二次方程x2 2mx 2m 1 0 解 1 由条件 抛物线f x x2 2mx 2m 1与x轴的交点分别在区间 1 0 和 1 2 内 如图 1 所示 得 1 2 抛物线与x轴交点落在区间 0 1 内 如图 2 所示 2 方法总结 本题重点考查方程的根的分布问题 熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义是正确解此题的关键 用二次函数的性质对方程的根进行限制时 条件不严谨是解答本题的易错点 有且仅有一个零点 有两个零点且均比 1大 2 若函数f x 4x x2 a有4个零点 求实数a的取值范围 解 1 f x x2 2mx 3m 4有且仅有一个零点 方程f x 0有两个相等实根 0 即4m2 4 3m 4 0 即m2 3m 4 0 m 4或m 1 法一设f x 的两个零点分别为x1 x2 训练3 2012 泰州高三调研 1 m为何值时 f x x2 2mx 3m 4 则x1 x2 2m x1 x2 3m 4 2 令f x 0 得 4x x2 a 0 即 4x x2 a 令g x 4x x2 h x a 作出g x h x 的图象 由图象可知 当0 a 4 即 4 a 0时 g x 与h x 的图象有4个 交点 即f x 有4个零点 故a的取值范围为 4 0 利用导数可判断函数图象的变化趋势及单调性 而函数的单调性往往与方程的解交汇命题 因此 可借助导数这一工具来研究函数的零点问题 热点突破9利用导数来研究函数的零点问题 1 求函数f x 的解析式 2 判断函数f x 在 0 内的零点个数 并加以证明 审题与转化 第一步 第 1 问需对a分类讨论 利用f x 的正负与f x 单调性的关系求得结果 第 2 问需要经过二次求导 原因是一次求导不能判断其导数的正负 还需第二次求导 再结合零点存在定理判断函数在某个区间内零点存在情况 当x m 时 有g x g m 0 即f x 0 从而f x 在 m 内单调递减 又f m 0 f 0 且f x 在 m 上的图象是连续不断的 从而f x 在 m 内有且仅有一个零点 综上所述 f x 在 0 内有且只有两个零点 反思与回顾 第三步 本题综合考查了导数法在函数的单调性 最值及函数零点的判断 要深刻体会数形结合思想在函数零点问题中的应用 答案6 高考经典题组训练 答案6 为6 1 求函数h x f x g x 的零点个数 并说明理由 2 设数列 an n n 满足a1 a a 0 f an 1 g an 证明 存在常数m 使得对于任意的n n 都有an m 1 求a和b的值 2 设函数g x 的导函数g x f x 2 求g x 的极值点 3 设h x f f x c 其中c 2 2 求函数y h x 的零点个数 4 2012 江苏卷 若函数y f x 在x x0处取得极大值或极小值 则称x0为函数y f x 的极值点 已知a b是实数 1和 1是函数f x x3 ax2 bx的两个极值点 解 1 由题设知f x 3x2 2ax b 且f 1 3 2a b 0 f 1 3 2a b 0 解得a 0 b 3 2 由 1 知f x x3 3x 因为f x 2 x 1 2 x 2 所以g x 0的根为x1 x2 1 x3 2 于是函数g x 的极值点只可能是1或 2 当x0 故 2是g x 的极值点 当 21时 g x 0 故1不是g x 的极值点 所以g x 的极值点为 2 3 令f x t 则h x f t c 先讨论关于x的方程f x d根的情况 d 2 2 则 d 2时 由 2 可知 f x 2的两个不同的根为1和 2 注意到f x 是奇函数 所以f x 2的两个不同的根为 1和2 当 d 0 f 1 d f 2 d 2 d0 于是f x 是单调增函数 从而f x f 2 2 此时f x d无实根 同理 f x d在 2 上无实根 当x 1 2 时 f x 0 于是f x 是单调增函数 又f 1 d0 y f x d的图象不间断 所以f x d在 1 2 内有唯一实数根 同理 f x d在 2 1 内有唯一实根 当x 1 1 时 f x 0 f 1 d 0 y f x d的图象不间断 所以f x d在 1 1 内有唯一实根 由上可知 当 d 2时 f x d有两个不同的根x1 x2满足 x1 1 x2 2 当 d 2时 f x d有三个不同的根x3 x4 x5满足 xi 2 i 3 4 5 现考虑函数y h x 的零点 当 c 2