高考数学总复习 第六章 第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件 文.ppt

第三节二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题 第六章不等式 推理与证明 考纲要求 1 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组 2 了解二元一次不等式的几何意义 能用平面区域表示二元一次不等式组 3 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题 并能加以解决 课前自修 知识梳理 一 二元一次不等式表示的平面区域在平面直角坐标系中 设有直线ax by c 0 b不为0 及点p x0 y0 则 1 若b 0 ax0 by0 c 0 则点p在直线的上方 此时不等式ax by c 0表示直线ax by c 0上方的区域 2 若b 0 ax0 by0 c 0 则点p在直线的下方 此时不等式ax by c 0表示直线ax by c 0下方的区域 注 若b为负 则可先将其变为正 由此可知 二元一次不等式ax by c 0在平面直角坐标系中表示直线ax by c 0某一侧所有点组成的平面区域 我们把直线画成虚线以表示区域不含边界直线 当我们在坐标系中画不等式ax by c 0所表示的平面区域时 此区域应包括边界直线 则把边界直线画成实线 由于对在直线ax by c 0同一侧的所有点 x y 把它们的坐标 x y 代入ax by c 所得到的实数的符号都相同 所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点 x0 y0 从ax0 by0 c的正负情况 即可判断ax by c 0表示直线哪一侧的平面区域 特殊地 当c 0时 直线不过原点 通常把原点作为特殊点 二 线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 统称为线性规划问题 满足线性约束条件的解 x y 叫做可行解 由所有可行解组成的集合叫做可行域 类似函数的定义域 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解 线性规划问题一般用图解法 其步骤如下 1 根据题意 设出变量x y 2 找出线性约束条件 3 确定线性目标函数z f x y 4 画出可行域 即各约束条件所示区域的公共区域 5 利用线性目标函数作平行直线系f x y t t为参数 6 观察图形 找到直线f x y t在可行域上使t取得所求最值的位置 以确定最优解 给出答案 生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题 基础自测 2 2012 佛山一中期中 设x y满足约束条件则的最大值是 a 5b 6c 8d 10 3 2012 安徽卷 若x y满足约束条件则x y的取值范围为 4 2011 安徽示范高中联考 已知实数x y z满足条件若使z取得最大值的有序数对 x y 有无数个 则a 考点探究 考点一 画出给定不等式组所表示的区域 例1 试画出不等式组所表示的平面区域 解析 分别画出不等式x y 1 2x y 4 x 1所表示的平面区域 它们的公共区域就是不等式组所表示的平面区域 如图所示 变式探究 解析 由于所求平面区域的点的坐标要同时满足两个不等式 因此二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集 即各个不等式表示的平面区域的公共部分 不等式y 3x 12表示直线y 3x 12下方的区域 不等式x 2y表示直线y x上方的区域 取两区域重叠的部分 图中的阴影部分就表示原不等式组的解集 考点二 求由不等式组所表示的封闭区域的面积 例2 2011 柳州市调研 在平面直角坐标系中 不等式组所表示的平面区域的面积是 a 4b 4c 2d 2 思路点拨 本题考查简单的线性规划的可行域 三角形的面积 解析 由题意 画出已知的不等式组表示的平面区域 即 abc所在区域 如图所示 其中三个顶点分别为a 2 4 b 2 0 c 0 2 于是 abc的面积为s abc 4 故选b 答案 b 变式探究 2 2012 广东六校联考 已知点n x y 在由不等式组确定的平面区域内 则n x y 所在平面区域的面积是 a 1b 2c 4d 8 解析 作出不等式组表示的区域 图中阴影部分 它是一个等腰直角三角形 面积为 4 2 4 故选c 答案 c 考点三 求线性规划问题的最优解 例3 设x y满足约束条件分别求 1 z 6x 10y 2 z 2x y 3 z 2x y x y均为整数 的最大值 最小值 思路点拨 由于所给的约束条件及目标函数均为关于x y的一次式 所以此问题是简单线性规划问题 使用图解法求解 解析 1 先画出可行域 如图所示中 abc的区域 且求得a 5 2 b 1 1 c 作出直线l0 6x 10y 0 再将直线l0平移 当l0的平行线过b点时 可使z 6x 10y达到最小值 当l0的平行线过a点时 可使z 6x 10y达到最大值 所以zmin 16 zmax 50 2 同上 作出直线l0 2x y 0 再将直线l0平移 当l0的平行线过c点时 可使z 2x y达到最小值 当l0的平行线过a点时 可使z 2x y达到最大值 所以zmin zmax 8 点评 1 线性目标函数的最大 小 值一般在可行域的顶点处取得 也可能在边界处取得 如 本题第 1 题中z 6x 10y的最大值可以在线段ac上任一点取到 2 求线性目标函数的最优解 要注意分析线性目标函数所表示的几何意义 在y轴上的截距或其相反数 变式探究 3 2012 泉州市质检 已知实数x y满足则z 2x y的最大值是 a 5b 1c 2d 2 解析 画出的可行域是如图所示的阴影部分 当直线z 2x y与圆弧相切时z取得最大值 所以2 zmax 2 故选d 答案 d 考点四 线性规划的实际应用 例4 2012 江西卷 某农户计划种植黄瓜和韭菜 种植面积不超过50亩 投入资金不超过54万元 假设种植黄瓜和韭菜的产量 成本和售价如下表 为使一年的种植总利润 总利润 总销售收入 总种植成本 最大 那么黄瓜和韭菜的种植面积 单位 亩 分别为 a 50 0b 30 20c 20 30d 0 50 思路点拨 这个问题的数学模型是二元线性规划 为此 需要确定线性约束条件和线性目标函数 解析 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩 y亩 总利润为z万元 则目标函数为z 0 55 4x 1 2x 0 3 6y 0 9y x 0 9y 线性约束条件为即画出不等式组表示的可行域如图所示 易求得点a 0 50 b 30 20 c 45 0 平移直线z x 0 9y 可知当直线z x 0 9y经过点b 30 20 即x 30 y 20时 z取得最大值 且zmax 48 万元 故选b 答案 b 点评 线性规划的实际问题包括两种基本类型 第一种是已知一定数量的人力 物力资源 求如何运用这些资源 使完成的任务量最大 收到的效益最大 第二种是给定一项任务 问如何统筹安排才能使完成该项任务使用的人力 物力资源量最小 变式探究 4 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐 已知1个单位的午餐含12个单位的碳水化合物 6个单位的蛋白质和6个单位的维生素c 1个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物 6个单位的蛋白质和10个单位的维生素c 另外 该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物 42个单位的蛋白质和54个单位的维生素c 如果1个单位的午餐 晚餐的费用分别是2 5元和4元 那么要满足上述的营养要求 并且花费最少 应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐 解析 设为该儿童分别预订x个单位的午餐和y个单位的晚餐 所花的费用为z 则z 2 5x 4y 由题意知x y满足 即 画出可行域如图所示 可行域的四个顶点a 4 3 b 9 0 c 2 5 d 0 8 将目标函数z所表示的直线在可行域上平移 当目标函数过点a 即直线6x 6y 42与6x 10y 54的交点a 4 3 时z取得最小值 即要满足营养要求 并且花费最少 应当为该儿童分别预定4个单位的午餐和3个单位的晚餐 1 确定二元一次不等式表示的平面区域的方法与技巧 确定二元一次不等式表示的平面区域时 经常采用 直线定界 特殊点定域 的方法 1 直线定界 即若不等式不含等号 则应把直线画成虚线 若不等式含有等号 把直线画成实线 2 特殊点定域 即在直线ax by c 0的某一侧取一个特殊点 x0 y0 作为测试点代入不等式检验 若满足不等式 则不等式表示的就是包括该点的这一侧 否则就表示直线的另一侧 特别地 当c 0时 常把原点作为测试点 当c 0时 常选点 1 0 或者 0 1 作为测试点 2 线性规划问题的求解策略与步骤 解决简单线性规划问题的方法是图解法 借助直线 把线性目标函数看成斜率为常数的一组平行直线 与平面区域 可行域 的交点 直线在y轴上的截距的最大值或最小值求解 其一般步骤是 1 设出所求未知数 2 列出约束条件 即不等式组 3 建立目标函数 4 作出可行域 5 运用图解法求出最优解 3 特别注意 解线性规划题时应先确定可行域 注意不等式中 与 对可行域的影响 还要注意目标函数z ax by中b0在求解时的区别 简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛 主要解决的问题是 在资源的限制下 如何使用资源来完成最多的生产任务 或是给定一项任务 如何合理安排和规划 能以最少的资源来完成 如常见的任务安排问题 配料问题 下料问题 布局问题 库存问题 常解法是将实际问题转化为数学模型 归结为线性规划 使用图解法解决 图解法解决线性规划问题时 根据约束条件画出可行域是关键的一步 一般地 可行域可以是封闭的多边形 也可以是一侧开放的非封闭平面区域 第二是画好线性目标函数对应的平行直线系 特别是其斜率与可行域边界直线斜率的大小关系要判断准确 通常最优解在可行域的顶点 即边界线的交点 处取得 但最优整数解不一定是顶点的坐标值 它应是目标函数所对应的直线平移进入可行域最先或最后经过的那一整点的坐标 感悟高考 品味高考 1 2012 福建卷 若函数y 2x图象上存在点 x y 满足约束条件则实数m的最大值为 a b 1c d 2 解析 x y 3 0与y 2x的交点为 1 2 结合图形观察可知 只有m 1才能符合条件 故选b 答案 b 高考预测 1 2012 中山市期末 已知变量x y满足则z log4 2x y 4 的最大值为 a 2b c d 1 解析 作出可行域如图 可求得点p坐标为 1 2 当直线z1 2x y移动经过点p时 z