高考数学总复习 7.7 立体几何中的向量方法课件 理 新人教A版.ppt

最新考纲展示 1 理解直线的方向向量与平面的法向量 2 能用向量语言表述直线与直线 直线与平面 平面与平面的垂直 平行关系 3 能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理 包括三垂线定理 4 能用向量方法解决直线与直线 直线与平面 平面与平面的夹角的计算问题 了解向量方法在研究立体几何问题中的应用 第七节立体几何中的向量方法 直线的方向向量及平面的法向量 1 直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行 或重合 的非零向量 一条直线的方向向量有个 2 平面的法向量直线l 平面 取直线l的方向向量 则这个向量叫做平面 的法向量 显然一个平面的法向量有个 它们是共线向量 无数 无数 通关方略 1 通常取直线上两个特殊点构成直线的方向向量 当直线平行于x轴 y轴或z轴时 直线的方向向量可分别取i 1 0 0 j 0 1 0 k 0 0 1 2 一个平面的法向量有无数多个 任意两个都是共线向量 3 若能找出平面的垂线 则垂线上取两个特殊点可构成平面的一个法向量 4 若通过解三元一次方程组 仅两个方程组成 求平面的法向量时 不妨取z 1 1 若平面 1 2互相垂直 则下面可以是这两个平面的法向量的是 a n1 1 2 1 n2 3 1 1 b n1 1 1 2 n2 2 1 1 c n1 1 1 1 n2 1 2 1 d n1 1 2 1 n2 0 2 2 解析 两个平面垂直时其法向量也垂直 只有选项a中的两个向量垂直 答案 a 利用空间向量表示立体几何中的平行 垂直 设直线l m的方向向量分别为a b 平面 的法向量分别为u v 则 1 线线平行 线面平行 面面平行 2 线线垂直 线面垂直 面面垂直 l m a b a kb k r l a u a u 0 u v u kv k r l m a b a b 0 l a u a ku k r u v u v 0 通关方略 利用空间向量证明平行垂直关系的关键是确定直线的方向向量及平面的法向量 同时要结合图形根据要证的平行或垂直关系转化为直线方向向量与平面的法向量之间的关系 答案 c 利用向量求空间角 1 两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a b的方向向量为a b 其夹角为 则cos cos 其中 为异面直线a b所成的角 2 直线和平面所成角的求法如图所示 设直线l的方向向量为e 平面 的法向量为n 直线l与平面 所成的角为 两向量e与n的夹角为 则有sin cos 3 求二面角的大小 1 如图 ab cd是二面角 l 的两个面内与棱l垂直的直线 则二面角的大小 2 如图 n1 n2分别是二面角 l 的两个半平面 的法向量 则二面角的小大 n1 n2 或 n1 n2 解析 l与 所成角应为30 答案 a 4 如图 在棱长为1的正方体abcd a1b1c1d1中 m和n分别是a1b1和bb1的中点 那么直线am与cn所成角的余弦值为 利用空间向量证明平行与垂直 例1 在长方体abcd a1b1c1d1中 aa1 2ab 2bc e f e1分别是棱aa1 bb1 a1b1的中点 1 求证 ce 平面c1e1f 2 求证 平面c1e1f 平面cef 反思总结1 用向量证平行的方法 1 线线平行 证明两直线的方向向量共线 2 线面平行 证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直 证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 3 面面平行 证明两平面的法向量为共线向量 转化为线面平行 线线平行问题 2 用向量证明垂直的方法 1 线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直 即证它们的数量积为零 2 线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线 或将线面垂直的判定定理用向量表示 3 面面垂直 证明两个平面的法向量垂直 或将面面垂直的判定定理用向量表示 利用空间向量求空间角 例2 2014年皖北四市联考 已知单位正方体abcd a1b1c1d1 e f分别是棱b1c1 c1d1的中点 试求 1 ad1与ef所成角的大小 2 af与平面beb1所成角的余弦值 3 二面角c1 db b1的正切值 利用空间向量解决探索性问题 例3 2013年高考北京卷 如图 在三棱柱abc a1b1c1中 aa1c1c是边长为4的正方形 平面abc 平面aa1c1c ab 3 bc 5 1 求证 aa1 平面abc 2 求二面角a1 bc1 b1的余弦值 解析 1 证明 因为aa1c1c为正方形 所以aa1 ac 因为平面abc 平面aa1c1c 且aa1垂直于这两个平面的交线ac 所以aa1 平面abc 2 由 1 知aa1 ac aa1 ab 由题知ab 3 bc 5 ac 4 所以ab ac 如图 以a为原点建立空间直角坐标系a xyz 则b 0 3 0 a1 0 0 4 b1 0 3 4 c1 4 0 4 反思总结解决立体几何中的条件追溯型问题的基本策略是执果索因 其结论明确 需要求出使结论成立的充分条件 可将题设和结论都视为已知条件 即可迅速找到切入点 这类题目要求考生变换思维方向 有利于培养考生的逆向思维能力 变式训练2 如图所示 在三棱锥p abc中 ab ac d为bc的中点 po 平面abc 垂足o落在线段ad上 已知bc 8 po 4 ao 3 od 2 1 证明 ap bc 2 在线段ap上是否存在点m 使得二面角a mc b为直二面角 若存在 求出am的长 若不存在 请说明理由 空间向量在立体几何中的应用 利用空间向量解决立体几何中平行与垂直的证明 空间角的求法及探索存在型问题一直是高考每年必考内容之一 多以解答题出现 解