高三数学一轮复习 第二章 第二节 函数的单调性与最大(小)值课件 理 新人教A版 .ppt

第二节函数的单调性与最大 小 值 1 增函数 减函数一般地 设函数f x 的定义域为i 区间d i 如果对于任意x1 x2 d 且x1 x2 则都有 1 f x 在区间d上是增函数 2 f x 在区间d上是减函数 f x1 f x2 f x1 f x2 2 单调性 单调区间的定义若函数f x 在区间d上是 或 则称函数f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 区间d叫做f x 的 增函数 减函数 单调区间 3 函数的最值 f x m f x0 m f x m f x0 m 1 如图2 2 1所示函数f x 的图象 则函数f x 的单调增区间是 0 0 吗 提示 不是 其单调增区间为 0 0 2 对于函数f x x d 若x1 x2 d且 x1 x2 f x1 f x2 0则能否确定f x 在d上的单调性 1 人教a版教材习题改编 如果二次函数f x 3x2 2 a 1 x b在区间 1 上是减函数 则 a a 2b a 2c a 2d a 2 答案 c 解析 结合函数的图象易知选d 答案 d 3 函数f x x 3 ex的单调增区间是 解析 由f x x 3 ex 得f x x 2 ex 由f x 0 得x 2 故f x 的增区间是 2 答案 2 审题视点 1 根据复合函数的单调性求解 2 用定义法或导数法求解 尝试解答 1 由x2 1 0得x 1或x 1 函数f x 的定义域为 1 1 令t x2 1 因为y log2t在t 0 上为增函数 t x2 1在x 1 上是减函数 所以函数f x 的递减区间为 1 当a 0时 f x 0 当a 0时 f x 0 当a 0时 f x 在 1 1 上为减函数 当a 0时 f x 在 1 1 上为增函数 1 解答本题 1 时 应先求定义域 在定义域内求单调区间 2 函数单调性的判定方法有 1 定义法 2 图象法 3 利用已知函数的单调性 4 导数法 3 函数y f g x 的单调性应根据外层函数y f t 和内层函数t g x 的单调性判断 遵循 同增异减 的原则 当x1 x2 1 时 x1 x2 0 则f x1 f x2 0 即f x1 f x2 故函数在 1 上是减函数 当x1 x2 1 时 x1 x2 0 则f x1 f x2 0 故函数在 1 上是增函数 2013 惠州调研 用min a b c 表示a b c三个数中的最小值 设f x min 2x x 2 10 x x 0 则f x 最大值为 a 4b 5c 6d 7 思路点拨 明确f x 的意义 数形结合求f x 的最大值 尝试解答 如图所示 在同一坐标系中作出y x 2 y 2x y 10 x x 0 的图象 根据f x 定义知 f x min 2x x 2 10 x x 0 的图象 如图实线部分 答案 c 求函数最值 值域 的常用方法1 利用单调性是求函数最值的最主要方法 函数图象是单调性的最直观体现 函数的最大 小 值是图象的最高 低 点的纵坐标 本题借助图象的直观性求得最大值 2 配方法 若函数是二次函数 常用配方法 3 基本不等式法 当函数是分式形式且分子 分母不同次时常用此法 4 导数法 当函数较复杂时 一般采用此法 5 换元法 用换元法时一定要注意新变元的范围 定义新运算 当a b时 a b a 当a b时 a b b2 则函数f x 1 x x 2 x x 2 2 的最大值等于 a 1b 1c 6d 12 解析 依题意 当 2 x 1时 1 x 1 2 x 2 f x 1 x 2 x 2 且f x 在 2 1 上为增函数 答案 c 思路点拨 分a 0和a 0两种情况讨论 1 已知函数的解析式 能够判断函数的单调性 确定函数的单调区间 反之 已知函数的单调区间可确定函数解析式中参数的值和范围 可通过列不等式或解决不等式恒成立问题进行求解 2 不等式m f x 恒成立 m f x max m f x 恒成立 m f x min 此时实数a b是方程x2 x 1 0的两根 但方程x2 x 1 0无实根 因此不存在满足条件的实数a b 1 闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值 当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到 2 开区间上的 单峰 函数一定存在最大 小 值 函数单调性的判定方法 1 定义法 取值 作差 变形 定号 下结论 2 利用图象与性质 3 导数法 利用导数研究函数的单调性 函数的单调性与最值是高考考查的重点内容 主要涉及单调性的判断 求函数的单调区间与最值 函数单调性的应用 考查数形结合 转化与化归等数学思想 其中利用函数的单调性解不等式应引起高度重视 12分 2013 深圳调研 函数f x 对任意的m n r 都有f m n f m f n 1 并且x 0时 恒有f x 1 1 求证 f x 在r上是增函数 2 若f 3 4 解不等式f a2 a 5 2 规范解答 1 设x1 x2 x2 x1 0 当x 0时 f x 1 f x2 x1 1 2分f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 1 4分 f x2 f x1 f x2 x1 1 0 f x1 f x2 f x 在r上为增函数 6分 规范解答之一利用函数的单调性解不等式 2 m n r 不妨设m n 1 f 1 1 f 1 f 1 1 f 2 2f 1 1 8分f 3 4 f 2 1 4 f 2 f 1 1 4 3f 1 2 4 f 1 2 f 2 2 2 1 3 f a2 a 5 2 f 1 10分 f x 在r上为增函数 a2 a 5 1 3 a 2 即a 3 2 12分 解题程序 第一步 设x1 x2得x2 x1 0 从而f x2 x1 1 第二步 根据x2 x2 x1 x1证明f x2 f x1 0 从而证明单调性 第三步 求f 1