高考数学总复习 77立体几何中的向量方法课件 理 新人教B版.ppt

第七节立体几何中的向量方法 这时点p的位置被t的值完全确定 通常称作直线l以t为参数的参数方程 向量a称为该直线的方向向量 向量方程 二 平面的法向量1 平面的法向量已知平面 如果向量n的基线与平面 垂直 则向量n叫做平面 的或说向量与平面 2 平面的向量表示式设a是空间任一点 n为空间内任一非零向量 任取两点m1 m2 m1 m2和a三点不共线 且 n 0 n 0 则适合条件 n 0 的点m都在平面am1m2内 式通常称为一个平面的 法向量 n 正交 向量表示式 三 利用空间向量证明平行与垂直若直线l l1 l2的方向向量分别为v v1 v2 平面 的法向量分别为n1 n2 利用向量证明空间中平行关系与垂直关系的基本方法列表如下 四 三垂线定理及其逆定理1 三垂线定理如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直 则它也和垂直 2 三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线和垂直 则它也和垂直 这条斜线 这个平面的一条斜线 这条斜线在平面内的射影 五 利用空间向量求空间角1 向量法求异面直线所成的角若异面直线a b的方向向量分别为a b 异面直线所成的角为 则cos cos a b 的取值范围是 2 向量法求线面所成的角求出平面的法向量n 直线的方向向量a 设线面所成的角为 则sin cos n a 的取值范围是 疑难关注 1 平面法向量的求法设出平面的一个法向量n x y z 利用其与该平面内的两个不共线向量垂直 即数量积为0 列出方程组 两个方程 三个未知数 此时给其中一个变量恰当赋值 求出该方程组的一个非零解 即得到这个法向量的坐标 注意 赋值不同得到法向量的坐标也不同 法向量的坐标不唯一 1 课本习题改编 已知a 1 1 1 b 0 2 1 c ma nb 4 4 1 若c与a及b都垂直 则m n的值分别为 a 1 2b 1 2c 1 2d 1 2 3 课本习题改编 已知两平面的法向量分别为m 0 1 0 n 0 1 1 则两平面所成的二面角的大小为 a 45 b 135 c 45 或135 d 90 4 2013年烟台模拟 已知向量a 1 2 3 b 1 1 1 则向量a在向量b方向上的投影为 5 2013年商丘模拟 设a 1 0 0 b 1 0 1 c 0 1 1 d 1 1 1 则直线ad与平面abc的夹角为 1 如图所示 在四棱锥p abcd中 pa 平面abcd 底面abcd为矩形 且pa ad e f分别为线段ab pd的中点 求证 1 af 平面pec 2 af 平面pcd 考向二利用空间向量求空间角 例2 2012年高考天津卷 如图 在四棱锥p abcd中 pa 平面abcd ac ad ab bc bac 45 pa ad 2 ac 1 1 证明pc ad 2 求二面角a pc d的正弦值 3 设e为棱pa上的点 满足异面直线be与cd所成的角为30 求ae的长 在本例条件下求直线pb与平面pcd所成角的正弦值 考向三利用空间向量求距离 例3 2011年高考四川卷 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 bac 90 ab ac aa1 1 d是棱cc1上的一点 p是ad的延长线与a1c1的延长线的交点 且pb1 平面bda1 1 求证 cd c1d 2 求二面角a a1d b的平面角的余弦值 3 求点c到平面b1dp的距离 2 2010年高考江西卷 如图 bcd与 mcd都是边长为2的正三角形 平面mcd 平面bcd ab 平面bcd ab 2 1 求点a到平面mbc的距离 2 求平面acm与平面bcd所成二面角的正弦值 答题模板 用空间向量解决立体几何综合问题 典例 13分 2012年高考福建卷 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 aa1 ad 1 e为cd的中点 1 求证 b1e ad1 2 在棱aa1上是否存在一点p 使得dp 平面b1ae 若存在 求ap的长 若不存在 说明理由 3 若二面角a b1e a1的大小为30 求ab的长 思路导析 建系设点 表示出相关点坐标 表示相关向量后进行运算 名师点评 向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化 避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦 使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化 简单化 主要是建系 设点 计算向量的坐标 利用数量积的夹角公式计算 1 2011年高考大纲全国卷 已知点e f分别在正方体abcd a1b1c1d1的棱bb1 cc1上 且b1e 2eb cf 2fc1 则面aef与面abc所成的二面角的正切值等于 1 证明 aa1 bc 2 求aa1的长 3 求二面角a bc a1的余弦值 解析 1 证明 取bc b1c1的中点分别为d和d1 连接a1d1 dd1 ad 由bb1c1c为矩形知 dd1 b1c1 因为