高考数学 10.6 空间向量的概念及运算复习课件 理.ppt

10 6空间向量的概念及运算 1 在正方体abcd a1b1c1d1中 下列各式的运算结果为ac1的共有 a 1个b 2个c 3个d 4个 d 2 已知o a b c为空间四点 又为空间的一个基底 则 a o a b c四点共线b o a b c四点共面但不共线c o a b c四点中有三点共线d o a b c四点不共面 d 3 若a 2x 1 3 b 1 2y 9 且a b 则 a x 1 y 1b c d 解析 因为a b 所以所以 c 4 已知正四面体abcd的棱长为1 点f g分别是ad dc的中点 则 解析 因为所以 5 已知a b是空间两向量 若 a 2 b 2 则cos a b 解析 由 a b 2 a b 2 a2 2a b b2 22 2a b 22 7 所以所以 一 空间向量及其加减与数乘运算1 空间向量 在空间 我们把具大小有和方向的量叫做向量 空间向量也用有向线段表示 并且方向相同且长度相等的有向线段表示同一向量或相等向量 2 空间向量的加法 减法与数乘 如下图 我们定义空间向量的加法 减法与数乘向量为 r a b a 空间向量的加法与数乘运算满足如下运算律 1 加法交换律 2 加法结合律 3 数乘分配律 a b b a a b c a b c a b a b 二 共线向量与共面向量1 如果表示空间向量的有向线段所在的直线 则这些向量叫做共线向量或平行向量 a平行于b 记作a b 互相平行或重合 2 共线向量定理 对于空间任意两个向量a b b 0 a b的充要条件是存在实数 使 推论 如果直线l为经过已知点a且平行于已知非零向量a的直线 那么对任一点o 点p在直线l上的充要条件是存在实数t 满足等式 其中向量a叫做直线l的方向向量 a b 3 共面向量定理 如果两个向量a b不共线 则向量p与向量a b共面的充要条件是存在实数对x y 使 推论 空间一点p位于平面mab内的充要条件是存在有序实数对x y 使 p xa yb 三 空间向量基本定理1 空间向量基本定理 如果三个向量a b c不共面 那么对空间任一向量p 存在一个唯一的有序实数组x y z 使 我们把 a b c 叫做空间的一个基底 a b c都叫做基向量 推论 设o a b c是不共面的四点 则对空间任一点p 都存在唯一的有序实数组x y z 使 p xa yb zc 2 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直 且长都为1 则这个基底叫做单位正交基底 通常用 i j k 来表示 四 空间直角坐标系1 在空间选定一点o和一个 以点o为原点 分别以i j k的方向为正方向建立三条数轴 x轴 y轴 z轴 它们都叫做坐标轴 这时我们说建立了一个空间直角坐标系o xyz 点o叫做原点 向量i j k叫做坐标向量 通过两个坐标轴的平面叫做坐标平面 分别称为平面 平面 平面 单位正交基底 i j k xoy yoz xoz 2 在空间直角坐标系o xyz中 对空间任一点a 对应一个向量oa 于是存在唯一的有序实数组x y z 使 则有序实数组 x y z 叫做oa在空间直角坐标系o xyz中的坐标 记为 即a点坐标为 x y z 五 空间向量的直角坐标运算设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a b a1b1 a2b2 a3b3 a ba1 b1 a2 b2 a3 b3 r a ba1b1 a2b2 a3b3 0 六 两个向量的数量积1 已知空间两个向量a b 则a b的数量积为 a b 其中 a b 表示向量a b的 其范围为 2 空间向量的数量积有如下性质 e为单位向量 1 a e 2 a b 3 a 2 a b cos a b 夹角 0 a cos a e a b 0 a a 3 空间向量满足如下运算律 1 a b 2 a b 3 a b c a b b a a b a c 考点1 空间向量的线性运算及应用例题1 三棱锥o abc中 m n分别是oa bc的中点 g是 abc的重心 用基向量 分析 要想用已知向量表示未知向量 只需结合图形 紧扣基底 充分运用空间向量加法和数乘向量的运算律 解析 点评 用已知向量表示未知向量 一是要选好基底 二是要以图形为指导 利用平面图形的性质 比如重心与中点等特殊量的关系等等 考点2 空间向量的数量积及应用例题2 已知正方体abcd a1b1c1d1 cd1和dc1相交于点o 连接ao 求证 ao cd1 证明 因为 所以 0 所以即 点评 利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化成向量 并用已知向量表示未知向量 然后通过向量的运算去计算或证明 但要注意 和向量 的方向 拓展训练 如图所示 已知abcd 从平面abcd外一点o引向量求证 1 四点e f g h共面 2 平面efgh 平面abcd 分析 欲证四点共面 只需证明eh ef eg共面 利用a b c d四点共面可证 利用向量的平行可以证明线线平行 从而证得面面平行 证明 1 因为四边形abcd是平行四边形 所以则所以e f g h共面 2 因为又由 1 的证明知于是ef ab eg ac 所以ef 平面abcd eg 平面abcd 又ef eg e 所以平面abcd 平面efgh 点评 用向量共面来证明四点共面和用向量共线证明线线平行 从而证明面面平行 是立体几何中常用的向量方法 考点3 空间向量基本定理及应用例题3 如图 在平行六面体abcd a1b1c1d1中 a1ab a1ad bad 60 aa1 3 ab ad 2 1 求证 aa1 bd 分析 条件较集中于点a处 故可取为解决问题的基向量 将各问题中的有关向量 都用基向量来表示 再进行相应运算 解析 3 在 a1ab中 由余弦定理得 a1b2 9 4 2 2 3 cos60 7 即a1b 7 又所以 2 2 cos60 2 3 cos60 1 点评 本题提供的是利用空间向量的基本运算来处理立体几何中的证明问题的一般方法 在复习中 应加强这方面的思考 备选题 如图 直三棱柱abc a b c 中 bc ab bc a c 求证 ab a c 证明 证法一 向量基底法 因为bc ab 所以即所以同理 由bc a c可得因为直三棱柱abc a b c 所以故 得又所以将两边平方得将两边平方得即所以即ab a c 证法二 向量坐标法 以ab所在直线为x轴 在平面abc上以过a且垂直于ab的直线为y轴 aa 所在直线为z轴 建立直角坐标系 设有关点的坐标为a 0 0 0 b b 0 0 a 0 0 a c x y 0 则b b 0 a c x y a 从而因为所以 x b y a b 0 a 0 所以a2 b2 bx 同理 由可得a2 x2 bx y2 将 代入得所以故即ab a c 点评 1 适当选取三个不共面的向量作为基底 把已知条件转化为各个向量间的关系 通过运算得到结果 这就是向量法解立体几何题的重要策略之一 基底法 2 建立适当的坐标系 设出相关点的坐标 表示出相关向量 把已知条件转化为各向量间的关系 通过运算得到结论 这也是向量法求解立体几何题的重要策略 坐标法 1 利用向量解几何问题的基本方法是 把长度 线段 或角度转化为向量表示 并用已知向量表示未知向量 然后通过向量运算去计算或证明 关键是基底或坐标系的选取和运算变形能力 2 注意一些常用结论 1 基本定理 给定空间向量的一个基底 a b c 对于空间任一向量p存在唯一的有序实数组 x y z 使p xa yb zc 2 向量共线 垂直的充要条件 a ba b