高三数学一轮复习 2.9函数与方程课件.ppt

备考方向要明了 考什么 怎么考 1 结合二次函数的图象 了解函数的零点与方程根的联系 判断一元二次方程根的存在性及根的个数 2 根据具体函数的图象 能够用二分法求相应方程的近似解 高考对本节内容的考查主要体现在以下几个方面 1 结合函数与方程的关系 求函数的零点 2 结合根的存在性定理或函数的图象 对函数是否存在零点及零点个数 方程是否存在实数根及方程根的个数 进行判断 3 利用零点 方程实根 的存在性求相关参数的值或范围 如2012年高考t18 归纳知识整合 1 函数的零点 1 定义 使函数y f x 的值为0的实数x称为函数y f x 的零点 2 函数的零点与相应方程的根 函数的图象与x轴交点间的关系 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与有交点 函数y f x 有 x轴 零点 3 函数零点的判定 零点存在性定理 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是一条不间断的曲线 且 则函数y f x 在区间上有零点 探究 1 函数的零点是函数y f x 与x轴的交点吗 是否任意函数都有零点 提示 函数的零点不是函数y f x 与x轴的交点 而是y f x 与x轴交点的横坐标 也就是说函数的零点不是一个点 而是一个实数 并非任意函数都有零点 只有f x 0有根的函数y f x 才有零点 f a f b 0 a b 2 若函数y f x 在区间 a b 内有零点 则y f x 在区间 a b 上的图象是否一定是一条不间断的曲线 且有f a f b 0呢 提示 不一定 由图 1 2 可知 3 函数零点具有哪些性质 提示 对于任意函数 只要它的图象是连续不间断的 其函数零点具有以下性质 1 当它通过零点且穿过x轴时 函数值变号 2 相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 2 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 x1 0 x2 0 3 二分法的定义对于在区间 a b 上连续不断且的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 f a f b 0 一分为二 自测牛刀小试 1 教材习题改编 下列函数图象与x轴均有交点 其中不能用二分法求图中函数零点的是 解析 由图象可知 图 所对应的零点左右两侧的函数值的符号是相同的 不能用二分法求解 答案 2 根据表格中的数据 若判定方程ex x 2 0的一个根所在的区间 k k 1 k z 则k 解析 令f x ex x 2 则f 1 0 37 10 即f 1 f 2 0 所以方程ex x 2 0的一个根所在的区间为 1 2 所以k 1 答案 1 3 若函数f x x2 ax b的两个零点是2和3 则函数g x bx2 ax 1的零点是 确定函数零点所在的区间 自主解答 1 f x ex x 4 f x ex 1 0 函数f x 在r上单调递增 f 1 e 1 4 e 30 f 1 f 2 0 2 由条件可知f 1 f 2 0 即 2 2 a 4 1 a 0 即a a 3 0 解得0 a 3 答案 1 1 2 0 3 若方程xlg x 2 1的实根在区间 k k 1 k z 内 则k为何值 答案 2 判断函数零点个数 例2 1 2012 天津高考 函数f x 2x x3 2在区间 0 1 内的零点个数是 答案 1 1 2 3 答案 3 根据函数零点的存在情况求参数 1个口诀 用二分法求函数零点的方法用二分法求零点近似值的口诀为 定区间 找中点 中值计算两边看 同号去 异号算 零点落在异号间 周而复始怎么办 精确度上来判断 3种方法 函数零点个数的判断判断函数零点个数的常用方法有 1 解方程法 令f x 0 如果能求出解 则有几个解就有几个零点 2 零点存在性定理法 利用定理不仅要求函数在区间 a b 上是连续不断的曲线 且f a f b 0 还必须结合函数的图象与性质 如单调性 奇偶性 周期性 对称性 才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质 3 数形结合法 转化为两个函数的图象的交点个数问题 先画出两个函数的图象 看其交点的个数 其中交点的横坐标有几个不同的值 就有几个不同的零点 1 若连续不断的函数f x 在定义域上是单调函数 则f x 至多有一个零点 2 连续不断的函数 其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 3 连续不断的函数图象通过零点时 函数值可能变号 也可能不变号 4 函数零点的存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点 而不能判断函数的不变号零点 而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件 数学思想 利用数形结合思想解决与方程的根有关的问题 在解决与方程的根或函数零点有关的问题时 如果按照传统方法很难奏效时 常通过数形结合将问题转化为函数图象的交点的坐标问题来解决 解析 依题意得 函数f x 是以2为周期的函数 在同一坐标系下画出函数y f x 与函数y g x 的图象 结合图象得 当x 5 5 时 它们的图象的公共点共有8个 即方程f x g x 0在区间 5 5 内的解的个数是8 答案 8 解析 画出函数f x 的图象如图所示 根据图象可知当k 0 1 时 方程f x k有两个不同的实根 答案 0 1 1 2012 郑州模拟 若定义在r上的偶函数f x 满足f x 2 f x 且当x 0 1 时 f x x 则函数y f x log3 x 的零点个数是 解析 由题意可知 函数y f x 是周期为2的偶函数 在同一直角坐标中